Leçons sur les hypothèses cosmogoniques : professées à la Sorbonne

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COURS DE LA FAClJL'i:^: DES SCIENCES DE PARIS

LEÇONS

SIR LES

HYPOTHÈSES COSMOGONIÛUES

PROFESSÉES A LA SORBONNE

PAR

H. POINCARE

MEMBRE DE l'aCADÉMIE FRANÇAISE ET DE l'ACADÉMIE DES 8CIBNCK8

Rédigées par Henri YERGNE,

Ingénieur des Arts et Manufactures, Docteur es sciences mathématiques

PARIS

LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE A. HERMANN ET FILS

LIBRAIRES DE S. M. LE ROI DE SUÈDE
6, RUE DE LA SORBONNE, 6

1911

LEÇONS

s L'a LFS

HYPOTHÈSES COSMOGONKjlES

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COURS DK LA FACIXTK DKS SCIKXCKS DK l'AllIS

LECOXS

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IIYPOTHI^SES COSMOOOMQIES

PIJOFESSÉES A LA SOlîliO.X.NE

PAR

H. POINCARE

NK.MBRK DE l'aCADKMIE KllANiJAlSK ET DE l"aCADÉ.\IIE DES SCIENCES

Rédigées par Henri VERGNE,

Ingénieur dos Arts et Manul'actures, Docteur es sciences mathénialiques

DHPAliTMtNT OT MATViEMATiCS
UNIVERSITY OF TORONTO

PARIS

LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE A. HERMANX ET FILS

LIBKAIUES DE S. M. LE ItOI DE SL EUE
6, ItUE DE LA SORBONNE, G

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COI'YRKiHT BY A. HeRMAXX I;T FiLS, IHl.

PRÉFACE

Le problèmo de l'origine du Monde a de lout temps préoccupé
tous les hommes qui rélléchissent ; il est impossible de contempler
Je spectacle de l'Univers étoile sans se demander comment il s'est
formé ; nous devrions peut-être attendre pour chercher une solu-
tion que nous en ayons patiemment rassemblé les éléments, et
<|ue nous ayons acquis par là quelque espoir sérieux de la trouver ;
mais si nous étions si raisonnables, si nous étions curieux sans
impatience, il est probable (|ue nous n'aurions jamais créé la
Science et que nous nous serions toujours contentés de vivre notre
petite vie. Notre esprit a ilonc réclamé impérieusement cette solu-
tion, bien avant (ju'elle lût mûre, et alors qu'il ne possédait que
de vagues lueurs, lui permettant de la deviner plutôt que de l'at-
teindre. Et c'est pour cela que les hypodièses cosmogoniques sont
si nombreuses, si variées, qu'il en nait clia(|ue jour de nouvelles,
tout aussi incertaines, mais tout aussi plausibles que les théories
plus anciennes, au milieu desquelles elles viennent prendre place
sans parvenir à les faire oublier.

On pourrait penser que l'Univers a toujours été ce qu'il est
aujourd'hui, que les êtres minuscules qui rampent à la surface des
astres sont périssables, mais c[ue les astres eux-mêmes ne changent
pas, et qu'ils poursuivent glorieusement leur vie éternelle, sans
se soucier de leurs misérables et éphémères parasites. Mais il y a
deux raisons de rejeter cette manière de voir.

Le système solaire nous présente le spectacle d'une parfaite
harmonie; les orbites des planètes sont toutes presque circulaires,
toutes à peu près dans un même plan, toutes parcourues dans le

PoiNCARli.

HÏI'OTIIESES COS.MOGOMyUES

même sens. Ce ne peut être l'effet du hasard ; on pourrait supposer
qu'une intelligence infinie a établi cet ordre au début une fois pour
toutes et pour toujours, et tout le monde se serait contenté autre-
fois de cette explication ; aujourd'hui on ne se satisfait plus à si
bon marché ; certes il y a encore bien des gens qui tiennent un
Dieu créateur pour une hypothèse nécessaire, mais ils ne conçoi-
vent plus l'intervention divine comme le faisaient leurs devanciers ;
leur Dieu est moins architecte et plus mécanicien ; et il reste alors
à expliquer par quel mécanisme il a tiré l'ordre du chaos. Si l'or-
dre que nous constatons n'est pas du au hasard, et si on renonce
à l'attribuer à quelque décret divin immédiatement exécutoire, il
faut qu'il ait succédé au chaos, il faut donc que les astres aient
changé. Et c'est bien ainsi qu'a raisonné Laplace.

D'autre part, le second principe de la Thermodynamique, le
principe de CAR^0T, nous apprend que le Monde tend vers un état
final; l'énergie «se dissipe», c'est-à-dire que le frottement tend
constamment à transformer le mouvement en chaleur et que la
température tend partout à s'uniformiser. L'état iinal du Monde
est donc un état d'uniformité ; cet état, qu'il doit atteindre, n'est
pas atteint encore; donc le monde change et môme il a toujours
changé.

Et voilà le champ ouvert aux hypothèses; la plus vieille est celle
de Laplace; mais sa vieillesse est vigoureuse, et, pour son âge,
elle n'a pas trop de rides. Malgré les objections qu'on lui a oppo-
sées, malgré les découvertes que les astronomes ont faites et qui
auraient bien étonné Laplace, elle est toujours debout, et c'est
encore elle qui rend le mieux compte de bien des faits ; c'est elle
qui répond le mieux à la question que s'était posée son auteur.
Pounpioi l'ordre règne-t-il dans le système solaire, si cet ordre
n'est pas dû au hasard ? De temps en temps une brèche s'ouvrait
dans le vieil édifice; mais elle était promplement réparée et l'édi-
lice ne tombait pas.

On sait en quoi consiste cette hypothèse. Le système solaire est
sorti d'une nébuleuse qui s'étendait autrefois au delà de l'orbite de
Neptune ; cette nébuleuse était animée d'un mouvement de rotation

uniforme : elle ne pouvait être liomoj^vne, elle était condensée et
même fortement condensée vers le centre; elle était formée d'un
noyau relativement dense qui est devenu le Soleil, entouré d'une
atmosphère d'une ténuité extrême (jui a donné naissance aux pla-
nètes. Elle se contractait par refroidissement, abandonnant de
temps en temps à l'équateur des anneaux nébuleux; ces anneaux
étaient instables ouïe devenaient promptement; ils devaient donc se
rompre et linalemcnt se rassembler en une seule masse spliéroïdale.
Au moment où le système commence à se former, il y rogne
déjà un commencement d'ordre; les mouvements internes de la
nébuleuse ne sont pas capricieux et désordonnés; ils se ramènent
à une rotation uniforme ; c'est cette harmonie initiale quia produit
l'harmonie finale que nous admirons, mais cette harmonie initiale
est aisée à expliquer. Les frottements internes de la masse ont dû
promptement détruire les irrégularités de ses mouvements intes-
tins et ne laisser subsister qu'une rotation d'ensemble parfaitement
régulière. Promptement? Cela dépend du sens que l'on attache à
ce mot; les inégalités disparaîtront promptement ?i l'on regarde
quelques milliards d'années comme un délai très court. Quand on
veut faire le calcul en attribuant à la matière de la nébuleuse la
viscosité des gaz que nous connaissons, on arrive à des chiffres
fantastiques. Et ce n'est pas tout : le refroidissement même et la
contraction qui en résulte tendent à troubler cette harmonie si len-
tement conquise, et, pour qu'elle se conserve, il faut que celte
contraction et l'évolution entière du système soient aussi prodi-
gieusement lentes. D'autant plus que l'on a établi qu'il faut des
centaines de millions d'années pour que les diverses parties d'un
même anneau, en se mouvant séparément suivant les lois de
KEPLER, finissent par se choquer et se coller les unes aux autres ;
phénomène qui ne doit être regardé pourtant (jue comme un court
épisode dans l'évolution générale. Ces chiffres ne doivent pas nous
effrayer : ils sont en désaccord avec l'âge que d'autres théories
attribuent au Soleil et aux étoiles; mais ces théories soulèvent de
leur côté de grandes diflicultés. Une réflexion toutefois s'impose;
d'autres svstèmes semblables au nôtre devaient subir en même

IIYPOTIILSES COSMOGOMOL'ES

temps la même évolulion ; chacun d'eux occupait un espace consi-
dérable s'étendant hien au delà du rayon de notre Soleil actuel ;
si celle évolution a duré trop longtemps, on est obligé de compter
avec la probabilité d'un choc, venant tout détruire avant qu'elle
soit terminée.

Pour Paye, l'origine des planètes est toute différente; c'est à
l'intérieur de la masse nébulaire elle-même que les planètes et le
Soleil se sont dilïérenliés ; dès qu'un commencement de condensa-
tion s'est produit en certains points, ces points sont devenus des
centres d'attraction, ils ont attiré la matière environnante, s'en sont
nourris pour ainsi dire, jusqu'à ce qu'ils aient lini par absorber
toute l'atmosphère très ténue de la nébuleuse primitive et par se
mouvoir dans le vide. Cette théorie conduit à de singulières consé-
quences: Mercure serait plus vieux que Neptune et la Terre elle-
même plus vieille que le Soleil. Les planètes étaient autrefois
beaucoup plus éloignées du Soleil, et Mercure par exemple était à
la dislance de Saturne ; elles se sont graduellement rapprochées
de l'aslre central en conservant des orbiies circulaires. On ne peut
pas dire que Fave ne rend pas compte de la faiblesse des excentri-
cités et des inclinaisons ; du moins il cherche à le faire et il est bien
décidé à donner les coups de pouce nécessaires pour obtenir ce
résultat; mais l'explication qu'il donne est bien imprécise et bien
moins satisfaisante pour l'esprit que celle de Laplace. 11 avait cru
devoir abandonner les idées de Laplace, incapables d'après lui
d'expliquer le mouvement rétrograde du satellite de Neptune. Il
croyait, comme Laplace lui-même, que le sens de la rotation d'une
planèle dépend de la distribution des vitesses dans l'anneau qui
lui a donné naissance. Nous savons aujourd'hui que celte distri-
bution ne peut être qu'éphémère, puisque l'anneau est instable,
qu'elle ne peut donc avoir aucune influence sur le résultat final ;
que les rotations de toutes les planètes ont dû être primitivement
rétrogrades quelle (|ue soit leur origine, et que l'inlluence des
marées a pu seule les rendre direcles. Dans ces conditions, nous
n'avons plus aucune raison de préférer l'hypothèse de Fave à celle
de Laplace.

La théorie de M. i»u Licomiks dérive à la fois de celle de Faye et
de celle de Ka>t. Pour lui, le point de départ, n'est plus la nébu-
leuse de Laplace, dont les mouvements sont déjà régularisés par le
frottement, c'est un chaos véritable. Au lieu d'une masse gazeuse
dont les diverses parties sont rendues plus ou moins solidaires les
unes des autres par l'elVel de la viscosité, et (|ui forme en tout cas
un coiiliiiu, nous n'avons plus qu'un essaim tie projectiles se croi-
sant au hasard dans tous les sens. Que sont ces projectiles? Ce
peuvent être des météorites solides, ou d'énormes bulles de gaz,
peu importe; entre eux il n'y a que le vide ou une atmosphère
assez ténue pour ne pa'S gêner la liberté de leurs mouvements. De
temps en tcm[)S ces mouvements sont troublés, soit parce que ces
corps approchent beaucoup les uns des autres, soit parce qu'ils se
choquent physicjuement. Et ce sont ces chocs qui produisent l'évo-
lution ; s'il n'v avait ni choc, ni résistance passive, ou même si les
corps qui se choquent étaient parfaitement élastiques, ces projec-
tiles, malgré l'attraction qu'ils exercent les uns sur les autres,
pourraient circuler iniléfiniment sans montrer aucune tendance à
la concentration ; de même que, dans le vide, les planètes tourne-
raient perpétuellement autour du Soleil, sans jamais tomber sur
l'astre qui les attire. Supposons au contraire deux planètes circu-
lant en sens contraire sur la même orbite circulaire; avant d'avoir
décrit une demi-circonférence, elles se rencontreront, leur vitesse
sera détruite par le choc, si on les suppose dépourvues d'élasticité,
et elles tomberont ensemble sur le Soleil, augmentant ainsi la
masse de l'astre central. De pareils chocs peuvent devenir fréquents
dans un milieu constitué comme l'imagine M. du Lico.ndés ; il va donc
une concentration progressive de la masse ; on la voit peu à peu s'or-
ganiser, les planètes et le Soleil se difîérenlient, puisse nourrissent
delà matière qui les entoure et finissent par tout absorber. On peut
montrer que par le jeu même de ces chocs, on arrive à un système
d'orbites peu excentriques et peu inclinées. Bien que se faisant
au hasard et pour ainsi dire aveuglément, ces chocs transforment
le chaos en un cosmos admirablement réglé, oîi l'uniformité pri-
mitive a fait place à la variété, mais à une variété harmonieuse.

HYPOTHESES COSMOGO!<IQUES

La nébuleuse de M. du Ligondès, sillonnée en tous sens par des
projectiles se mouvant au hasard, ressemble beaucoup au gaz de
!a théorie cinétique. Peu importe que les projectiles soient de taille
très différente, puisque dans un cas ce sont des atomes et dans
l'autre des météorites, ou de petits astres. Et cependant la Thermo-
dynamique et la théorie cinétique nous enseignent que les gaz,
comme le monde physique tout entier, tendent sans cesse vers
l'uniformité. Les lois du hasard et celles des grands nombres ten-
dent à niveler très rapidement les inégalités que le gaz peut pré-
senter, jusqu'à ce que la température et les vitesses deviennent
uniformes dans toute la masse. Prenons comme point de départ un
système de molécules gazeuses dont les vitesses, au lieu d'être
fortuitement réparties, seraient harmonieusement distribuées, de
manière à faire une sorte de cosmos pareil au système solaire ; au
bout de peu de temps, nous serons retombés dans le chaos, les
masses primitivement ditférentiées se seront confondues en une
seule, les vitesses seront de nouveau réparties suivant la loi de
Maxwell, qui est celle du hasard. Comment deux mécanismes en
apparence idendiques ont-ils pu produire deux effets opposés? La
réponse est aisée : dans la théorie cinétique des gaz, on regarde
les molécules gazeuses comme parfaitement élastiques, il n'y a rien
qui ressemble à une résistance passive, la force vive n'est jamais
détruite ; dans l'hypothèse de M. du Ligondks, les corps en se cho-
quant perdent leur force vive, au moins en partie, et la transfor-
ment en chaleur; nous avons vu que c'était là l'origine d'une
tendance à la concentration et par conséquent à la différentia-
tion. Nos projectiles peuvent donc subir deux sortes de pertur-
bations ; de brusques déviations causées par l'attraction newto-
nienne, quand deux masses viennent à se rapprocher sans se
toucher, et des chocs physiques. Les premières perturbations,
de beaucoup les plus fréquentes, se font sans perle de force
vive, elles sont tout à fait assimilables aux chocs des molécules
gazeuses dans la théorie cinétique : elles tendent donc à maintenir
le chaos, ou morne à le rétablir, et à faire régner partout la loi
de Maxwell. Les chocs physiques au contraire entraînent des résis-

tances passives; c'est à eux (|ue nous devons l'organisation du
cosmos.

Kt alors une réllexion s'impose; on admet en général que les
atomes ne sont soumis à aucune résistance passive, de sorte qu'ils
se comportent dans le choc comme des corps élastiques: ils suivent
ainsi sans restriction les lois de la Mécanique théorique. Si les
corps de dimension sensible semblent s'en écarter à tel point (jue
les phénomènes observés sont irréversibles, c'est qu'ils se com-
posent d'atomes très nombreux et que la loi des grands nombres
intervient. Cela va bien si les atomes sont eux-mêmes regardés
comme des points matériels et si le mot « atome » doit être entendu
au sens étymologique; mais il est loin d'en être ainsi; les éléments
d'un gaz dans la théorie cinéli(|ue sont les « molécules » et chacune
d'elles contient plusieurs atomes chimiques; chaque atome à son
tour est formé d'électrons, et il serait puéril de supposer qu'on
n'ira jamais plus loin et que les électrons ne se résoudront pas un
jour en éléments plus petits. Une molécule en un mot est un édi-
fice aussi compliqué que le système solaire; ses éléments ultimes
très nombreux doivent obéir à la loi des grands nombres, de sorte
que dans l'intérieur de l'atome lui-même, il y aura des résistances
passives. Ne pourrait-on concevoir (|ue ces résistances jouent le
même rôle que dans la théorie de M. du Licomiès et ne pourraient-
elles tendre à produire la dilTérentialion a l'encontre du principe
de Caunot ?

Dans la théorie de M. See, les planètes ne se sont pas détachées
du Soleil, non plus que la Lune delà Terre. Tous ces astres ont
eu de tout temps une existence individuelle.

Les planètes ont été captées par le Soleil et la Lune par la Terre.
Comment s'est faite cette capture ? Le Soleil était autrefois entouré
d'une atmosphère ; dès qu'un astre vagabond y pénétrait, il éprou-
vait une résistance; son orbite, d'aboril hyperbolique devenait
elliptique par suite de la diminution de vitesse ; puis elle se rap-
prochait de la forme circulaire, en même temps que son rayon
décroissait. L'astre ainsi capté aurait fini par tomber sur le Soleil,
s'il avait continué à subir la résistance de l'atmosphère solaire,

HYPOTHESES GOSMOGOMQUES

mais cette atmosphère absorbée par le Soleil est devenue de plus
en plus tenue et a fini un jour par disparaître ; à partir de ce mo-
ment les orbites des planètes n'ont plus varié. Cette théorie rend
bien compte de la faiblesse des excentricités, mais elle n'explique
pas celle des inclinaisons.

Il ne faudrait pas croire que si notre système solaire a évolué
dans le passé, il a atteint aujourd'hui son état définitif; que
l'atmosphère plus ou moins ténue dans laquelle nageaient pour
ainsi dire les corps célestes ayant été résorbée et ayant disparu,
les planètes, désormais séparées les unes des autres par le vide,
sont ainsi soustraites à une résistance passive. Même à distance,
ces résistances peuvent entrer en jeu ; on sait qu'on a construit des
moteurs qui utilisent la puissance des marées; ces moteurs ne
peuvent créer de l'énergie, il faut qu'ils l'empruntent à une source
quelconque, et cette source ne peut être que la force vive des corj^s
célestes. Si l'homme n'avait pas construit de moteurs, l'énergie
ainsi empruntée n'aurait pas été utilisée, elle se serait perdue inu-
tilement en frottements, en chocs des vagues sur les côtes; mais
dans un cas comme dans l'autre, la force vive des astres va sans
cesse en diminuant; la vitesse de rotation de la Terre diminue
constamment, mais avec une extrême lenteur; cela est arrivé beau-
coup plus rapidement pour la Lune et le processus s'est pour-
suivi jusqu'à ce ({ue la durée de sa rotation soit devenue exacte-
ment égale à celle de sa révolution ; de telle sorte que notre satellite
nous présente toujours la même face.

Ce phénomène a joué dans l'évolution cosmogonique un rôle
que Sir G. II. Darwin a bien mis en évidence. Deux causes ten-
daient à modifier la rotation des planètes ; l'action des marées dont
nous venons de parler tendait à la ralentir et, plus exactement, à
lui donner même sens et même durée qu'à la révolution de l'astre-
autour du Soleil ; d'autre part, le refroidissement et la contraction,
en diminuant le moment d'inertie, tendait au contraire à l'accé-
lérer. La première de ces deux causes a transformé la rotation des-
planètes primitivement rétrograde en une rotation directe de même-
durée que la révolution orbitale; c'est ensuite que la seconde-

cause, devenue prépondérante, a donné à ces planètes une rotation
qui est restée directe, mais (|ui est devenue beaucoup plus rapide.

La durée du jour va donc sans cesse en augmentant, mais, par
une sorte de réaction, celle du mois augmente également, la Lune
s'éloigne constamment de la Terre. Au moment de sa formation,
notre satellite touchait pres(|ue la surface de notre globe ; le mois
et le jour avaient même tlurée, cinci ou six de nos heures actuelles ;
en revanche, quand de longs siècles seront écoulés, le mois et le
jour redeviendront égaux entre eux, à peu près égaux à deux de
nos mois actuels, et la Terre présentera toujours la même face à la
Lune, comme la Lune à la Terre.

Toutes ces hypothèses, si divergentes d'ailleurs, ont un caractère
commun ; ce sont des théories de Mécanique rationnelle, d'Astro-
nomie mathématique; elles font peu d'emprunts aux sciences
physiques; elles sont par l;i incomplètes. Les physiciens, dont l'in-
tervention était aussi inévitable qu'elle était désirable, se sont sur-
tout préoccupés de l'origine de la chaleur solaire. Des mesures
précises nous ont montré l'étonnante dépense de chaleur (|ue fait
le Soleil a chaque seconde. Quelles ressources a-t-il (lui lui per-
mettent une telle prodigalité? Oii a-t-il pu emmagasiner une pro-
vision d'énergie suflisante pour des millions d'années? Lt (luelle a
pu être l'origine de celte provision? On a pu penser d'abord que
cette énergie était d'origine chimique, le Soleil brûlerait comme
un gros morceau de charbon : cette hypothèse n'est pas tenable ;
à ce compte, le Soleil n'aurait été qu'un feu de paille éphémère, à
peine capable d'éclairer les hommes pendant la durée de l'histoire.

Et alors Lord Ki:lvi.n et Helmholtz ont pensé que l'énergie solaire
pouvait être d'origine mécani(|uo; on a songé d'abord aux météo-
rites qui tombent comme une pluie constante à sa surface, et dont
la force vive est constamment détruite el transformée en chaleur.
Cela ne suffisait pas encore ; mais si les divers matériaux dont est
formé le Soleil ont été autrefois séparés par de grandes distances
et se sont ensuite concentrés sous l'inlluence de l'attraction, le
travail de cette attraction a dû être énorme; s'il s'est transformé
en force' vive, puis en chaleur, nous avons une provision de cha-

HYPOTHESES COSMOGONIQUES

leur dix mille fois plus grande que celle que donnerait la combus-
tion d'un globe de charbon gros comme le Soleil.

La nébuleuse solaire a sans doute été froide au début et elle
s'est échauffée parce qu'elle se contractait.

Nous voilà bien loin de la nébuleuse de Laplack, primitivement
très étendue parce qu'elle était très chaude et qui se contractait
parce qu'elle se refroidissait. On est ainsi amené à se demander
comment va se comporter une masse gazeuse soumise à la gra-
vitation; elle ne peut perdre de la chaleur sans se refroidir, ni se
refroidir sans se contracter, ni se contracter sans s'échauffer. Que
va-t-il en résulter en somme 'i Sa température va-t-elle s'élever
bien qu'elle perde de la chaleur par rayonnement, comme si sa
chaleur spécifique était négative ? Ou bien enfin allons-nous avoir
à la fois contraction et refroidissement? On peut donner une ré-
ponse a celte question s'il s'agit d'un gaz parfait: s'il est mono-
atomique ou diatomique, il se contractera quand il perdra de la
chaleur par rayonnement, mais sa température augmentera, il se
comportera comme si sa chaleur spécifique était négative; au
contraire, il se contractera en se refroidissant, s'il est polyato-
mique ou bien encore s'il est assez condensé pour s'écarter nota-
blement des lois d'un gaz parfait.

Quoi qu'il en soit, on n'aura ainsi de chaleur que pour
5o millions d'années; et alors les transformistes et les géologues
ont jeté les hauts cris : « Cinquante millions d'années, qu'est-ce
que c'est que cela! Comment voulez-vous qu'en aussi peu de
temps, nous fassions évoluer les espèces, que nous engloutissions
des continents et que nous en fassions surgir de nouveaux, que
nous élevions deux chaînes de montagnes pareilles aux Alpes,
comme les chaînes calédonienne et hercynienne et que nous les
rasions ensuite par le lent mécanisme de l'érosion ':' » Ces plaintes
paraissent légitimes, et il faut bien 200 millions d'années depuis
le début du dévonien ; mais alors d'où vient la chaleur solaire, si
son origine n'est ni mécanique, ni cliimi(|uc au sens ordinaire du
mot? La question paraissait sans réponse quand on a découvert le
radium. Lui seul paraissait capable de tout expliquer; tout au

moins il nous montrait qu'il reste bien des mystères à découvrir
et qu'il ne faut pas se hâter d'affirmer ([u'un phénomène est inex-
plicable.

La théorie de Laplack, comme toutes celles que nous venons
d'exposer, ne sort pas des limites du système solaire. Lapla<:e sans
aucun doute ne négligeait pas de propos délibéré les autres sys-
tèmes, mais il pensait qu'ils devaient tous être plus ou moins
semblables au nôtre et que ce qui convenait à l'un convenait
aux autres. D'ailleurs ils lui semblaient séparés par de trop
grandes distances pour pouvoir réagir les uns sur les autres. Les
progrès de l'astronomie stellaire ne nous permettent plus de
nous attarder à ce point de vue ; le télescope nous révèle dans le
ciel étoile une variété beaucoup plus riche que tout ce qu'on
aurait pu attendre. Nous avons d'abord les étoiles doubles, qui
sont loin d'être des exceptions; on peut estimer que sur trois
étoiles il v a pour le iiKinis une étoile double. Parfois les deux
composantes sont faciles à séparer, parfois aussi elles se touchent
presque et, si l'une d'elles est peu lumineuse, des éclipses pério-
diques se traduisent pour nous par des variations d'éclat. C'est
alors la spectroscopie ou la photométrie qui nous apprennent qu3
nous avons affaire à un système double et qui nous permettent
d'en déterminer l'orbite. Est-il possible que le même mécanisme
ait pu donner naissance à un système comme le notre où un corps
central a absorbé la presque totalité de la masse et oii des planètes
minuscules sont séparées par des distances énormes ; et à un de
ces systèmes singuliers oii la masse est à peu près également par-
tagée entre deux ou trois composantes et où, dans certains cas, les
distances des astres sont comparables à leurs dimensions?

A ces systèmes doubles, la théorie de Laplace n'est évidemment
pas applicable (et d'ailleurs les excentricités ne sont généralement
pas très petites) ; mais on peut imaginer d'autres hypothèses;
considérons une nébuleuse en rotation comme celle de Laplace,
mais qui en diffère parce que sa masse, au lieu d'être concentrée
presque tout entière dans un noyau central, est à peu près uni-
formément répartie. En se refroidissant, elle se contractera et sa

HYPOTIIi;sES COSMOr,O.NK)LKS

rotation va s'accélérer; elle s'aplatira de plus en plus; quanti
l'aplatissement aura dépassé une certaine limite, elle s'allongera
dans un sens de façon à présenter trois axes inégaux ; c'est la
figure que, dans le cas d'homogénéité parfaite, on appelle un
ellipsoïde de Jacobi; plus tard encore cette ligure s'étranglera dans
sa partie médiane et finira par se diviser en deux masses, inégales
sans doute, mais comparables. 11 est possible que ce soit là l'ori-
gine des étoiles doubles; mais sans sortir de notre système solaire,
il est possible que ce soit également celle de la Lune. Ce satellite
est plus petit que la Terre, mais le rapport des masses est loin
d'être aussi faible que pour les satellites de Jupiter, de Saturne,
ou même de Mars.

Ce n'est pas tout : les étoiles simples elles-mêmes ne sont pas
toutes pareilles entre elles ; le spectroscope nous a montré combien
elles diffèrent, et il est assez naturel de supposer qu'elles difTèrent
surtout par l'Age et que les dilTérenls types spectraux corres-
pondent à différents types de l'évolution. Si même elles se sont
toutes formées en même temps, il peut y avoir bien des raisons
pour lesquelles certaines d'entre elles ont vieilli plus vile que les
autres. D'autres objets sollicitent encore l'attention de l'astronome ;
il y a d'abord les amasstellaires, puis les nébuleuses dont les unes
sont résolubles, tandis que les autres montrent par leur spectre
qu'elles sont entièrement formées d'un gaz très subtil. Ces nébu-
leuses présentent les formes les plus variées, disques, anneaux,,
spirales ou amas irréguliers. Les premiers qui les ont examinées
avec quelque soin ont été naturellement conduits à les assimiler à
la nébuleuse de Laplace, ou à celles des théories rivales qui ad-
mettent toutes le même point de départ. Ces nébuleuses sont-elles
de futures étoiles ou de futurs amas d'étoiles; on était d'abord
invinciblement porté à le penser; on en est bien moins sur au-
jourd'hui.

Il semble que nous avons sous les yeux des objets qu'il suffit
de comparer pour reconstruire tout le passé des astres, comme le
naturaliste qui a dans le champ de son microscope des cellules
présentant toutes les phases de la division cellulaire, et (|ui peut

reconsliluer à coup sûr toute l'iiisloire de cette division, bien (|ue
ces cellules soient désormais fixées et inertes.

La cosmogonie va-t-clle donc sortir de l'àgc des Inpothèses et
de l'imagination pour devenir une science expérimentale, ou tout
au moins une science d'observation? Bien mieux, de temps en
temps nous voyons naître une étoile, qui s'allume inopinément
dans le Ciel, pour diminuer promptement d'éclat et prendre un
spectre qui rappelle celui des nébuleuses planétaires; de sorte
qu'on n'a jamais vu une nébuleuse se transformer en étoile comme
le voulait Laplack '), et que, au contraire, on a vu souvent une
étoile se transformer en nébuleuse. La nature n'est-elle pas là
surprise en flagrant délit dans sa fonction créatrice?

11 ne faut pas pourtant se leurrer de vaines illusions ; de trop
grandes espérances seraient au moins prématurées. Et ce qui le
prouve, c'est la diversité des opinions des astronomes sur l'évo-
lution des étoiles, et en particulier sur l'origine des étoiles nou-
velles. La première pensée, la plus naturelle, a été que les nébu-
leuses sont extrêmement chaudes et représentent la première
phase de révolution, et pour ainsi dire l'enfance des astres, et
qu'on rencontre ensuite les étoiles blanches, puis les étoiles jaunes
et enfin les étoiles rouges de plus en plus vieilles et en même
temps de plus en plus froides. Pour Sir N. Lockver, l'histoire du
monde stellaire a été plus compliquée; les nébuleuses, sont au
contraire très froides (et sur ce point je crois que tout le monde
est aujourd'hui d'accord et qu'on regarde la lumière dont elles
brillent comme d'origine électri(jue). Elles ne sont en réalité qu'un
essaim de météorites ; par leurs chocs incessants, ces météorites
s'échaufTent, se vaporisent et forment finalement une masse
gazeuse extrêmement chaude, en un mot une étoile : les chocs
ont alors cessé et le calme renaît; par l'effet du rayonnement,
l'étoile se refroidit peu à peu et finit par s'éteindre et s'encroûter ;
elle repasse dans l'ordre inverse par les stades de température

(^) Il ne faut pas tirer de là un argument contre la théorie de Laplace.
l'illustre astronome n'ayant jamais prétendu qu'une nébuleuse devait se
transformer en étoile en quelques jours ou en quelques mois.

HYPOTHESES COSMOGOMQUES

qu'elle a parcourus dans son ascension, de sorte que le cycle
complet sera : nébuleuse, étoile rouge, étoile jaune, étoile blanche,
étoile jaune, étoile rouge, étoile éteinte. Les étoiles de la série
ascendante sont néanmoins bien différentes des étoiles correspon-
dantes de la série descendante ; toute la masse des premières est
brassée par de violents courants de convection ; les météorites
n'ont pas encore entièrement disparu et leurs chocs entretiennent
l'agitation; les secondes jouissent d'un calme relatif; Sir N.
LocKYER croit pouvoir distinguer cette différence par l'étude de
leurs spectres.

Les NovcH, depuis l'époque de Ticho-Buahé, ont surexcité l'ima-
gination des astronomes. Leur apparition est brusque et a les
allures d'un cataclysme. Est-ce une éruption qui serait en grand
analogue à celles qui produisent les protéburances solaires? On a
mieux aimé recourir à l'hypothèse d'un choc, et c'est en effet
l'idée que l'aspect de ces phénomènes nous suggère irrésistible-
ment. Mais il y a bien des façons de comprendre les circonstances
et les effets d'un choc. Sont-ce deux corps solides qui s'échauffent
subitement dès que leur rencontre a détruit leur force vive? Est-ce
un corps solide énorme, ou une étoile peu brillante, ou encore un
essaim de météorites qui pénètre dans une nébuleuse et qui doit
son incandescence au frottement? Ou bien encore, comme le veut
Arrhemus, les soleils encroûtés ne conservent-ils pas dans leurs
ilancs une provision d'énergie énorme, sous forme radioactive par
exemple? Cette provision qui demeure inutilisée et comme latente,
tant qu'elle reste emprisonnée dans la croûte, ne peut-elle être
libérée subitement, si un choc vient à briser cette croûte ? Elle se
dépense alors en peu de temps ; de sorte que le choc produirait
de la chaleur, non comme quand une balle a frappé une cuirasse
(ju'elle n'a pu traverser et qu'elle retombe toute rougie sur le sol ;
mais comme quand la fusée d'un obus chargé de matières explo-
sives détone à la rencontre d'un obstacle. Il est certain que les
NovcC se montrent souvent entourées de nébulosités ; mais ces
nébulosités sont-elles la cause ou l'effet du phénomène ; est-ce
parce que l'étoile les a rencontrées qu'elle est subitement devenue

brillante; ou est-ce quehjue {l«'n'hel (lu'i^Ile rejette de son sein et
comme la fumée de l'explosion. De tout cela nous ne savons
rien.

Le mystère s'accroît (|uan(l au lieu de considérer tdiaijue étoile
en particulier, on en envisage l'ensemble et (ju'on réiléchit sur
leurs mutuels rapports. Les «'toiles ont-elles piis naissance en
même temps, ou s'allument-elles successivement, pendant (pie
d'autres s'éteignent? Si elles ont même date île naissance, les unes
ont-elles vieilli plus vite que les autres, et est-ce pour celte raison
qu'elles sont aujourd'hui dilVérentes? Mais alors à côté des étoiles
brillantes, n'y a-l-il pas, en beaucoup plus grand nombre, des
étoiles éteintes dont la masse inutile encond)re les cieux? Comment
pouvons-nous le savoir '( Peut-être les considérations suivantes,
dont la première idée est due à Lord Ki:i.vi.\, peuvent-elles aider à
résoudre la question. La Voie Lactée est formée d'étoiles fort nom-
breuses, s'attirant mutuellement et se mouvant dans tous les sens;
elle nous olfre donc l'imaiic d'un gaz, dont les molécules s'attirent
et sont animées de vitesses dans les directions les plus diverses ;
chaque étoile joue ainsi le rôle d'une molécule gazeuse. Cette assi-
milation semble légitime et l'on peut songer à étendre à l'univers
stellaire les résultats de la théorie cinétique des gaz. Un gaz sou-
mis à l'attraction ne\vtonienne prendra au bout de peu de temps
un état d'équilibre adiabatique ou les vitesses moléculaires obéiront
à la loi de Maxwell et où la température croîtra vers le centre; la
température centrale dépendra de la masse totale du gaz et de son
volume total. Cette température est mesurée par les vitesses molé-
culaires. Appli([uons ces principes à la Voie Lactée ; les vitesses
stellaires que nous observons appartiennent aux astres voisins de
nous et par conséquent du centre de la Voie Lactée : elles corres-
pondent donc à la « température centrale », et elles peuvent nous
renseigner sur les dimensions et sur la masse totale de cette agglo-
mération détoiles assimilée à une énorme bulle gazeuse. On
trouve ainsi que le télescope en a presque atteint les limites
extrêmes, et qu'il doit y avoir peu d'étoiles obscures; si en effet
il y en avait beaucoup plus que d'astres brillants, elles concour-

HYPOTHESES COSMOGOMQUES

raient à l'atlraclion totale et les mouvements propres des étoiles
seraient beaucoup plus grands que ceux qu'on a observés.

Cela paraît reposer sur des raisonnements irréfutables; si la
Voie Lactée a atteint l'état stable vers lerjuel elle tend nécessaire-
ment, tout ce que nous venons de dire est vrai, et les mouvements
propres doivent être répartis conformément à la loi de Maxwell.
Le sont-ils? l'observation seule peut répondre; or il paraît bien
qu'elle répond, non. D'après Kapteyn et d'autres astronomes tout
se passe comme si on se trouvait en présence de deux essaims
d'étoiles, obéissant séparément à la loi de Maxwell, mais avec des
constantes dijfèrentes ; ces deux essaims se pénètrent d'ailleurs
nmtuellement et ne sont pas séparés. Il semble que deux voies
lactées qui avaient atteint leur état d'équilibre final se sont un jour
rencontrées, et n'ont pas encore exercé l'une sur l'autre une action
assez prolongée pour que les difterences qui les distinguent se
soient entièrement nivelées. Elles sont semblables à deux bulles
gazeuses qui se seraient rencontrées, mais n'auraient pas encore
eu le temps de se mélanger. Nous retrouvons ainsi, sous une forme
nouvelle et inattendue, cette intervention du clioc, dont l'impor-
tance cosmogonique a été mise en évidence par l'étude des Novœ,
et que nous retrouvons à la base de certaines théories, telles que
celle de M. Belot.

Si néanmoins les conclusions de Lord Kelvln subsistent dans
leurs traits généraux, et si le nombre des étoiles éteintes n'est pas
énorme, nous devons penser que tous les llambeaux de notre ciel
se sont allumés à peu près en même temps et que l'âge de la Voie
Lactée ne dépasse pas un petit nombre de vies d'étoiles.

L'une des théories cosmogoniques les plus récentes, et à coup
sur l'une des plus originales, est celle de M. Svame Aurhenujs.
Pour lui, les astres ne sont pas, comme on le pense d'ordinaire,
des individus à peu près étrangers les uns aux autres, séparés par
des vides immenses et n'échangeant guère que leurs attractions et
leur lumière ; ils échangent bien d'autres choses, de l'électricité,
de la matière et jusqu'à des germes vivants. La pression de radia-
tion est une force qui émane des corps lumineux et (jui repousse

les corps légers, c'est elle qui forme les queues des comètes dont
la matière très ténue est repousséc par la lumière du Soleil. C'est
elle aussi (|ui, d'après M. Aiu!iii;mi s. chasserait du Soleil de très
petites particules, et les pousserait jusque sur la Terre, jusqu'aux
planètes et jusqu'aux lointaines nébuleuses, (les particules Uniraient
par s'agglutiner en formant les météorites; et ces météorites, péné-
trant dans la masse des nébuleuses, deviendraient des centres de
condensation autour desquels la matière commencerait ;i se con-
centrer; nous retrouvons ensuite toute l'histoire des étoiles, leur
naissance presque obscure, leur splendeur, leur décadence abou-
tissant à l'encroûtement final. Cet encroûtement ne serait pas tou-
tefois la mort définitive; mais seulement le début d'une longue
période de vie latente, obscure et silencieuse juscpiau jour où un
choc libérerait brusquement cette énergie endormie. L'explosion
qui en résulterait donnerait naissance à une nébuleuse et le cycle
recommencerait.

La vie latente doit être beaucoup plus longue que la vie bril-
lante; d'où il suit (|u'il doit y avoir beaucoup plus d'étoiles
obscures que d'étoiles visibles, contrairement aux vues de Lord
Kelvin.

Pour M. AuuiiR.Mis. le monde est infini et les astres y sont dis-
tribués d'une façon sensiblement uniforme; si nos télescopes sem-
blent assigner des limites à l'Univers, c'est parce qu'ils sont trop
faibles, et c|ue la lumière qui nous vient des soleils les plus éloi-
gnés est absorbée en route. On a fait ;i celte hypothèse une double
objection. D'une part, si la densité des étoiles est constante dans
tout l'espace, leur lumière totalisée devrait donner au Ciel entier
l'éclat même du Soleil. Cela serait vrai si le vide interstellaire
laissait passer toute la lumière qui le traverse sans en rien garder,
de sorte que l'éclat apparent d'un astre varierait en raison inverse
du carré de la distance. Il suffit, pour échapper à cette dilliculté,
de supposer que le milieu qui sépare les étoiles est absorbant; il
peut d'ailleurs l'être très peu. L'autre objection, c'est que l'attrac-
tion newtonienne serait inlinie ou indéterminée ; pour nous tirer
d'afl'aire, il nous faut alors supposer que la loi de >>.wt().\ n'est pas

PoiNCARK.

HYPOTHKSES COSMOGOMOUES

rigoureusement exacte, et que la gravitation subit une sorte d'ab-
sorption, se traduisant par un facteur exceptionnel. Si on consent
à faire cette hypothèse, les conclusions de Lord Kelvix ne s'im-
posent plus, car nous les avons établies en partant de la loi de
Newton ; la Voie Lactée ne serait plus assimilable à une bulle ga-
zeuse dont la densité et la température augmente vers le centre,
mais à ce que nous pouvons voir d'une masse gazeuse indéfinie
et homogène, de densité et de température uniforme.

Ce n'est pas tout : le monde de M. Arrhemus n'est pas seulement
infini dans l'espace, mais il est éternel dans le temps ; c'est sur-
tout ici que ses vues sont géniales et qu'elles nous apparaissent
Gomme suggestives, quelques objections qu'elles soulèvent d'ail-
leurs. L'Univers est comme une vaste machine thermique, fonc-
tionnant entre une source chaude et une source froide; la source
chaude est représentée par les Étoiles et la source froide par les
nébuleuses. Mais nos machines thermiques ne tarderaient pas à
s'arrêter, si on ne leur fournissait sans cesse de nouveaux com-
bustibles ; abandonnées à elles-mêmes, les deux sources s'épuise-
raient^, c'est-à-dire que leurs températures s'égaliseraient et fini-
raient par se mettre en équilibre. C'est là ce qu'exige le principe
de CAR>ioT. Et ce principe lui-même est une conséquence des lois
de la Mécanique statistique. C'est parce que les molécules sont très
nombreuses qu'elles tendent à se mélanger et à ne plus obéir
qu'aux lois du hasard. Pour revenir en arrière, il faudrait les
démêler, détruire le mélange une fois fait; et cela semble impos-
sible ; il faudrait pour cela le démon de Maxwell, c'est-à-dire un
être très délié et très intelligent, capable de trier des objets aussi
petits.

Pour q,ue le monde pût recommencer indéfiniment, il faudrait
donc une sorte de démon de Maxwell automatique. Ce démon,
M, Arrhemus croit l'avoir trouvé. Les nébuleuses sont très froides,
mais très peu denses,, très peu capables par conséquent de retenir
par leur attraction les corps en mouvement qui tendent à en sortir.
Les molécules gazeuses sont animées de vitesses diverses, et plus
les vitesses sont grandes en moijcnne plus le gaz est chaud. Le

rôle du démon de Max\vei.l, sil voulait refroidir une enceinte,
serait de trier les molécules chaudes, c'est-à-dire celles dont la vi-
tesse est grande et de les expulser de l'enceinte, où ne resteraient
que les molécules froides. (3r, les molécules qui ont le pluç de
chances de s'échapper de la nébuleuse, sans y être retenues par la
gravitation, ce sont précisément les molécules à grande vitesse, les
molécules chaudes; les autres restant seules, la néhuleuso pourra
rester IVoide tout en recevant de la chaleur.

On peut tenter de se placer à d'autres points de vue, de dire
par exemple qu'ici la véritable source froide, c'est le vide avec la
température du zéro absolu et qu'alors le rendement du cycle de
C.vuNOT est égal à 1. D'autre part, ce qui distingue la chaleur de la
force vive mécanique, c'est que les corps chauds sont formés de
molécules nombreuses dont les vitesses ont des directions diverses,
tandis que les vitesses qui produisent la force vive mécanique ont
une direction uni(|ue; réunies, les molécules gazeuses forment un
gaz ([ui peut être froid et dont le contact refroidit; isolées, au con-
traire, elles seraient des projectiles dont le choc réchaufferait. Or,
dans le vide interplanétaire, elles sont séparées par d'énormes
distances et pour ainsi dire isolées ; leur énergie s'élèverait donc
en dignité, elle cesserait d'être de la simple « Chaleur » pour être
promue au rang de « Travail ».

Bien des doutes subsistent toutefois ; le vide ne va-t-il pas se
combler, si le monde est infini; et, s'il ne l'est pas, sa matière
en s'échappant, ne va-t-elle pas s'évaporer jusqu'à ce qu'il ne reste
rien? De toutes manières, nous devrions renoncer au rêve du
« Retour éternel « et de la perpétuelle renaissance des mondes ; il
semble donc que la solution de M. Akrhkmus est encore insuf-
sante; ce n'est pas assez de mettre un démon dans la source froide,
il en faudrait encore un dans la source chaude.

Après cet exposé, on attend sans doute de moi une conclusion,
et c'est cela qui m'embarrasse. Plus on étudie cette question de
l'origine des astres, moins on est pressé de conclure. Chacune des
théories proposées est séduisante par certains côtés. Les unes
donnent d'une la(;on très satisfaisante l'explication d'un certain

HÏPOTlIbSES COSMOGOMQLES

nombre de faits; les autres embrassent davantage, mais les expli-
cations perdent en précision ce qu'elles gagnent en étendue; ou
bien, au contraire, elles nous donnent une précision trop grande,
mais qui n'est qu'illusoire et qui sent le coup de pouce.

S'il n'y avait que le système solaire, je n'hésiterais pas à pré-
férer la vieille hypothèse de Laim.aci:; il y a très peu de choses à
faire pour la remettre à neuf. Mais la variété des systèmes stellaires
nous oblige à élargir nos cadres, de sorte que l'hypothèse de
Laplack, si elle ne doit pas être entièrement abandonnée, devrait
être modifiée de façon à n'être plus (ju'une forme, adaptée spécia-
lement au système solaire, d'une hypothèse plus générale qui
conviendrait à l'Univers tout entier et qui nous expliquerait à la
fois les destins divers des Etoiles, et comment chacune d'elles s'est
fait sa place dans le grand tout.

Or, sur ce point, les données sont insuflisantes et nous avons
encore beaucoup à attendre de l'observation. Les deux courants
d'étoiles de Kaptkv.n existent-ils et y en a-t-il d'autres ? Que sont
les nébuleuses et en particulier les nébuleuses spirales ? Sont-elles
à des distances énormes, en dehors de la Voie Lactée, et sont-elles
elles-mêmes des voies lactées vues de loin? Ou bien, malgré la
nature de leur spectre, sont-elles incapables d'être assimilées a des
amas de vraies étoiles; devons-nous accepter la mesure de Boulin
au sujet de la parallaxe de la nébuleuse d'Andromède et la conclu-
sion que See en tire, et qui nous représenterait cet objet céleste
comme formé de soleils sans doute, mais de soleils gros comme
les astéroïdes qui circulent entre Mars et Jupiter? Est-il possible
d'admettre que notre système solaire soit sorti d'une des espèces
de nébuleuses que nous connaissons, par exemple des nébuleuses
spirales, ou planétaires, ou annulaires ? Voilà une question à laquelle
on ne pourra tenter de répondre que quand on connaîtra mieux la
nature, la distance et par conséquent les dimensions de ces
corps.

Un fait qui frappe tout le monde, c'est la forme spirale de cer-
taines nébuleuses; elle se rencontre beaucoup trop souvent pour
(ju'on puisse penser qu'elle est due au hasard. On comprend

combien esl iiicomplelo toute théorie cosmogoiii(|ue (|ui en lail
abstraction. Or, aucune d'elles n'en rend compte d'une manière satis-
faisante et l'explication (|ue j'ai ilonnée moi-même un jjur, par
manière de passe-temps, ne vaut pas mieux que les autres. Nous
ne pouvons donc terminer (|uc par un point d'interrogation.

llvMll PolNCAUi:.

• LEÇONS

SI IV

LES HYPOTHÈSES COSMOGOMOUES

CHAPITRE I.

HYPOTHÈSE DE KANT.

1. Emmanuel K.wt a exposé ses idées sur la conslilulion et l'ori-
gine de l'Lnivcrs dans un Ouvrage publié en 17Ô5 sous le titre
Albjemcinc ISatunjeschichle iiivl Tlworie des llimnicls {'), et il les a
reproduites en ijGo dans un autre écrit : Der ein:i<j miUjUclic lieweis-
fjnuul zu eincr Dcmonslration des Daseins Galles. Nous empruntons
au Livre de II. Fate : SurrOn'fjine du Monde Paris, riauthier-Villars,
'r édit., 1907, p. i3i et suiv. la traduction de quelques [)assages
du grand philosophe allemand.

(( Les conditions mécaniques du système planétaire dont toutes les
parties tournent dans le même sens autour du Soleil, dans des cercles
couchés à peu près sur le même plan de son équateur, ont frappé tous
les chercheurs. Tous se sont accordés à y voir TeHet d'un mouvement
d'ensemble déterminé par quelque cause naturelle. De là, les tour-
billons de Descartes qui ont conservé des adhérents longtemps après
que Neavton eut prouvé qu'il n'y avait au ciel rien de semblable, et
que les queues des comètes traversaient ces prétendus tourbillons sans
s'y laisser dévier. » (p. i32.)

Ainsi, Descartes avait rempli l'espace de ses tourbillons, tandis
que Neanto.n avait montré qu'il est vide de toute matière pondérable.
Kaxt cherchera alors à expliquer les particularités du système pla-

(') On Irouvora la traJuclion complète de cet Ouvrage à la fin du Livre de
C. WoLK : Les llYpollièses cosinotjoniqucs Pari}, Gaulhier-Villar», 1886^.

PonCABÉ. I

IIYPOTHKSES COSMO(;OMni ES

né'aiic, en supposant que l'espace, acliiellenient vide, ne l'a pas tou-
jours été. Il admet qu'à l'origine la matière qui compose les astres
était répandue dans tout l'espace, où elle lorniait une sorte de chaos
nébnlaire uniforme dont les particules s'attiraient mutuellement sui-
vant la loi de Newton. Cet état d'uniformité serait instable, tout
centre de condensation, si petit qu'il soit, devenant immédiatement
centre d'attraction.

Donc, d'après Kant, l'uniformité doit engendrer la diversité, l'ho-
mogène doit produire l'hétérogène; — c'est là un point que nous
étudierons et discuterons plus loin en détail (*) — disons seulement
dès maintenant qu'E.MMAivLEL K.v?iT n'est pas en contradiction, mal-
gré les apparences, avec le second princi[)e de la Thermodynamique,
qu'on énonce parfois de cette façon un peu vague : l'état final des
systèmes est l'homogénéité.

C'est un peu [)lus loin que Ka>t se met en opposition absolue avec
les principes de la Mécanique :

« yUlmettons donc, dit-il, qu'à l'origine la matière du Soleil et des
planètes ait été répandue dans tout cet espace, et qu'il se soit trouvé
quelque part, là oi"i le Soleil s'est clïectivement formé, une légère
})répondérance de densité et par suite d'attraction. Aussitôt une ten-
dance générale s'est prononcée vers ce point, les matériaux y ont
alllué et, peu à peu, cette masse première a grandi. Bien que des maté-
riaux de densités dilïérentes se trouvassent partout, cependant les plus
lourds ont dû particulièrement se presser dans cette région centrale ;
car, seuls, ils ont réussi à pénétrer à travers ce chaos de matériaux
plus légers, et à s'approcher du centre de la gravitation générale. Or,
dans les mouvements qui devaient résulter de la chute inégale de ces
corps, les résistances produites entre les particules se gênant les unes
les autres n'ont pu être si parfaitement les mêmes en tout sens, qu'il
n'en soit résulté, çà et là, des déviations latérales. En pareil cas s'ap-
plique une loi générale des réactions mutuelles des corps, à savoir que
ces corps se détournent et talonnent, pour ainsi dire, jusqu'à ce qu'ils
aient trouvé le chemin de la moindre résistance. Ces déviations laté-
rales aboutissent donc forcément à une circulation commune, dans le
même sens et dans la même région. Et même les particules dont le

[>} Au Cliapitrc V, à l'occasion tic l'liv|)Olli(jse de M. du Licjomji:;

IIYPÛTUKSE DE KANT

"Soleil a élé forme lui sont parvenues aiïeclées déjà par ce genre de
-déviation, en sorte que le cor[)s résultant, le Soleil, s'est trouvé animé
d'une rotation dans le même sens. » (p. i32-i33.)

La pensée de K wr, à larpiclle aucun mathématicien ne saurait se
rallier, se comprend sans difliculté et il est aisé de voir quelle a été
l'urigine de l'erreur; dans une fuule la police impose parfois un sens
•déterminé de circulation afin d'éviter les heurts et les encombrements.
Ka>t imagine qu'il s'établit entre les particules en mouvement une
•sorte de police spontanée et automatique, par reilet des chocs eux-
'inèmes. Inutile d'ajouter que les allirmalions de Ka>t sont en con-
'tradiction formelle avec le principe des aires, d'après lequel le
moment de rotation d'un svstème soustrait à toute action extérieure
est constant : ce moment de rotation doit rester toujours nul s'il
l'est initialement. Il est donc impossible qu'un système parlant du
repos ait engendré le système solaire, pour lequel le moment de
rotation n'est pas nul : or, Ka\t suppose explicitement que la ma-
tière primitive du Soleil part du repos. Pourquoi Ivant n'a-t-il pas
supposé, comme le fit plus tard Laplace, une rotation initiale? C'est
que Laplace se bornera à considérer la nébuleuse d'où est sorti le
système solaire, tandis que IvA>r a voulu essayer d'expliquer la for-
mation de la Voie Lactée tout entière. Peut-être aussi KANra-t-il
•trouvé plus philosophique de ne pas supposer un mouvement initial.

2. Quoi qu'il en soit. Kant pense que, vers le centre de sa nébu-
leuse, va se former une condensation prépondérante (Soleil , autour de
laquelle les particules vont circuler, à peu près dans un même plan,
suivant les lois de Kkpi.er ; ces particules donneront par la suite des
•condensations secondaires (planètes) :

« Ainsi l'équateur solaire n'est autre chose que le plan de cette cir-
culation générale. Or, les particules qui se trouvaient hors de ce plan
ont dû, en vertu des lois de la gra\italion, aller le rencontrer quelque
part dans leur mouvement de circulation et s'y accumuler, surtout
vers la région centrale. D'ailleurs, au milieu de ces particules se
poussant, se résistant l'une à l'autre, celles-là seules ont du continuer
-à se mouvoir librement en cercles concentriques qui étaient arrivées
•à ces cercles juste avec la vitesse linéaire exigée par les lois des forces
■centrales. Cette vitesse résulte de la hauteur de chute ; la déviation.

IIYPOTHliSES COSMOrjOMQLES

latérale résulte de ces conflits incessants dont le résultat final est d'ar-
river à la direction de moindre résistance. Quant aux particules, en
Lien plus grand nombre, pour qui la vitesse n'était pas dans la pro-
portion voulue, elles ont continué leur chemin en s'approchant de
])lus en plus du Soleil et ont contribué à le former.

(( Ainsi le système premier se trouve transformé, par les lois com-
binées de l'attraction et de la résistance, en un autre système dans
lequel tout l'espace compris entre deux plans parallèles, assez rappro-
chés de part et d'autre du centre du Soleil, est parcouru librement
par des particules se mouvant dans des cercles, chacune avec la vitesse
qui répond à sa distance au centre. Comme leurs résistances mu-
tuelles sont, là, aussi faibles que possible, cet état de choses durerait
indéfiniment si leur attraction n'intervenait pour le modifier et y
faire naître les germes de formations nouvelles, les planètes. En elTet,
les particules voisines décrivant des cercles presque égaux et paral-
lèles, elles se trouvent comme en repos les unes par rapport aux au-
tres : alors, s'il se trouve quelque centre d'attraction prépondérante,
les particules voisines tendront vers ce point et y formeront une masse
dont l'attraction toujours croissante finira par s'étendre et ramasser
au loin de nouveaux matériaux. Évidemment les corps ainsi formés
seront animés, autour du Soleil, des mêmes mouvements circulaires
que leurs éliments primitifs. » (p. i3'4-i35.)

3. Ka^it essaie ensuite d'expliquer la rotation directe des planètes
et la formation de leurs satellites :

(I Tout ce qui s'est passé en grand autour du Soleil, se répétera en
petit autour de toute planète, pourvu que sa sphère d'attraclion ait
acquis une extension suffisante. » (p. io5.)

Pour expliquer ce sens direct de rolalion des planètes et de révo-
lution des satellites, Kant donne, il faut l'avouer, des raisons fort in-
sulïisantes. Il semblerait même que les particules, se mouvant autour
du Soleil selon la troisième loi de Kkplkh, auraient tendance à en-
gendrer des planètes à rolalion rétrograde, puisque les particules ont
une vitesse linéaire d'autant plus grande qu'elles sont plus proches
du Soleil. — \ous discuterons plus loin les raisons que l'on peut invo-
quer pour expliquer les rotations directes.

llYPOriltSE DE KAST

4. Kant s'occupe aussi de la formation de l'anneau de Saluine :

« Pour monlier, par un autre e\em[)le, que la simple action de
la gravitation, en réunissant des élcmenls dispersés, produit nécessai-
rement des ellets d'une telle régularité, je vais dire comment l'anneau
de Saturne a pu et dû se former par une voie entièrement mécanique.
Que l'on veuille bien m'accordcr seulement ceci : à l'origine, sous
l'influence de la chaleur, l'atmosphère de Saturne s'est développée
bien au delà de ses limites actuelles ; plus tard, elle s'est refroidie, et
les particules atmosphériques qui s'étaient élevées ont commencé ù
retomber sur la planète. Cela posé, le reste suit avec une rigueur
toute mécanique. Les particules de cette atmosphère, en s'élevant, ont
emporté avec elles la vitesse de rotation qu'elles possédaient primiti-
vement, selon la place qu'elles occupaient sur la planète. Elles ont
donc dû, d'après les règles des forces centrales, décrire librement des
cercles autour du centre. Mais il s'en est trouvé dont la vitesse était
insufiisante pour que la force centriluge fît exactement équilibre à
leur pesanteur; celles-là ont dû s'cnlre-choqucr, se ralentir et linalc-
ment retomber sur la planète, tandis que les autres, à vitesses plus
grandes, continuaient à se mouvoir librement sur leurs orbites cir-
culaires. Celles-ci devaient nécessairement traverser à chaque révolu-
tion le plan de l'équateur de la planète, et s'y ramasser de manière
à former une sorte de limbe dans le prolongement de ce plan. Ce
limbe, formé ainsi de particules se mouvant librement autour de la
planète, ne pouvait être qu'un anneau constitué principalement par
les molécules équatoriales, puisque celles-ci possédaient, en s'élevant,
la plus grande \itessc.

« Et comme il n'y a, entre toutes les distances au centre, qu'une
seule distance pour laquelle cette vitesse équatoriale soit compatible
avec le mouvement libre dans un cercle, on pourra décrire dans le
plan de ce limbe une circonférence concentrique à Saturne, au de-
dans de laquelle toutes les particules devront retomber sur la planète.
Les autres particules comprises entre cette circonférence et le bord
extérieur du limbe, sous forme d'anneau, continueront à circuler
autour de la planète sans jamais retomber sur elle.

« Cette solution nous fournit immédiatement le moyen de déter-
miner la durée inconnue de la rotation de Saturne. En ellet, la vitesse
de circulation des particules situées au bord interne de l'anneau étant

HYPOTHESES COSMO<;ONIQUES

égale h colle que possède un point de l'équateur de Saturne en vertu
de sa rotation, il suffira de calculer la durée de sa révolution au
moyen de celle d'un des satellites, pour avoir la durée de la rotation
de la planète. On trouve ainsi 6''25'"52^ » (p. i^3-i^\.)

Sans nous arrêter à ce chiffre beaucoup trop faible, disons que
Kant fait ensuite quelques réflexions intéressantes sur la stabilité de
l'anneau de Saturne, 11 le considère comme formé de particules tour-
nant indépendamment les unes des autres autour do la planète, selon
la troisième loi de Kepler; et il pense que, dans l'anneau se produi-
sent « des lignes de rupture qui le divisent en amicaux concentriques
isolés l'un de l'autre. » (p. i^J-) Cette idée est d'autant plus remar-
quable que Kaa't ne connaissait pas la grande division de Cassim.

Enfin, si, parmi les planètes, Saturne est la seule qui possède un
anneau, c'est, d'après Kant, parce que sa densité est faible et sa rota-
tion très rapide. 11 s'ensuit que le rapport de la force centrifuge à la
gravité est plus grand pour Saturne que pour les autres planètes.

5. Les comètes, selon Ka>t, ont une origine analogue à celle des
planètes. Dans un chapitre assez confus, il s'efforce de montrer qu'elles
ont dû se former à de grandes distances du Soleil, et, d'après ses
idées, l'orbite d'un astre doit s'éloigner d'autant plus de la forme cir-
culaire que l'astre s'est formé plus loin du Soleil. Le sens du mouve-
ment des comètes devrait être, en général, le même que celui des
planètes, c'est-à-dire direct; et si, de son temps, on connaissait dix-
neuf comètes rétrogrades, Kant fut porté à en attribuer au moins
quelques-unes à une illusion d'optique.

6. Tels sont les traits principaux de la Cosmogonie delvAM'. On voit
qu'il eut l'idée d'attribuer une commune origine au Soleil et à toutes
les planètes. 11 ht même, à ce sujet, une curieuse remarque : si le
Soleil et les planètes sont formés des mômes éléments, la densité
moyenne de celles-ci doit être égale à celle du Soleil ; or, adoptant
les nombres de Buffox, Ka>t trouve que le rapport de ces densités
est celui de 61 à 65, coïncidence assez curieuse. Malheureusement,
ses affirmations sont trop souvent en contradiction avec les principes
de la Mécanique.

CHAPITRE IL

HYPOTHÈSE DE LAPLACE.

7. IvANTavaitélcndu ses conceptions à l'ensemble du monde slellaae,
à toute la A oie Lactée. Laplace, dans sa célèbre bypotbèse, se borne
à en\isager la formation du système solaire. La nébuleuse de Kant
était une espèce de cbaos : les matériaux, s'étant agglomérés autour
de certains centres de condensation, formaient conmie un essaim de
météores indépendants, dont les mouvements, primilivcmcnl désor-
donnés, se seraient plus tard ordonnés, par suite des cbocs et des
frottements. La nébuleuse de L.vpl.vce, au contraire, est une véritable
atmospbèie (jazcuse animée, dès l'origine, d'un mouvement de rota-
tion bien uniforme. Au centre de cette atmosplière L.m'lace suppose
une forle condensation. C est donc une sorte d'étoile nébuleuse, cons-
tituée par une masse centrale fluide, Soleil déjà à demi formé, entourée
d'une atmospbère extrêmement ténue s'étendant à une très grande
distance, l'ensemble tournant d'un seul bloc. En se contractant, cette
atmospbère abandonnera, dans le plan de l'équateur, une série d'an-
neaux successifs d'oiî naîtront les planètes.

8. Les premières idées de Laplace sur la formation du système
solaire sont indiquées dès la première édition (1796) de V Exposilion
du Sysli'inc du Monde. Mais c'est seulement dans des éditions posté-
rieures que l'exposé complet de la tbéorie de Laplace devient l'objet
de la Note VU et dernière. Nous suivrons ici le texte du Tome M des
Œuvres Complètes de Laplace (Paris, Gauthier-Villais, i884, p.
4f)8-5og.)

« On a, dit l'Auteur, pour remonter à la cause des mouvements
primitifs du système planétaire, les cinq pbénomènes suivants : les
mouvements des planètes dans le même sens et à peu près dans un
même plan.; les mouvements des satellites dans le même sens que
ceux des planètes; les mouvements de rotation de ces dillérents corps

8 ini'OTHESES COSMOr.OXIQLES

et du Soleil, dans le même sens que leurs mouvements de projection
et dans des plans peu dilTérents ; le peu d'excentricité des orbes des
planètes et des satellites ; enfin, la grande excentricité des orbes des
comètes, quoique leurs inclinaisons aient été abandonnées au
liasard .

« BuFFOx est le seul que je connaisse, qui, depuis la découverte du
vrai système du monde, ait essayé de remonter à l'origine des pla-
nètes cl des satellites. 11 suppose qu'une comète, en tombant sur le
Soleil, en a cliassé un torrent de matière qui s'est réuni au loin, en
divers globes plus ou moins grands et plus ou moins éloignés de cet
astre : ces globes, devenus par leur refroidissement opaques et solides,
sont les planètes et leurs satellites. » (p. 498.)

Lai'lace n'avait donc pas connaissance des travaux de Kant, puis-
qu'il ne cite que Buffon. Il n'a pas de peine à réfuter la tbéorie de
ce dernier, car elle n'explique pas les cinq pliénomènes qu'il a rap-
pelés. Lai'lace se den)ande alors s'il est possible de s'élever à la véri-
table cause de ces pbénomènes :

« Quelle que soit sa nature, puisqu'elle a produit ou dirigé les
mouvements des planètes, il faut qu'elle ait embrassé tous ces corps,
et, vu la distance prodigieuse qui les sépare, elle ne peut avoir été
qu'un fluide d'une immense étendue. Pour leur avoir donné dans le
même sens un mouvement presque circulaire autour du Soleil, il
faut que ce fluide ait environné cet astre comme une atmosplière. La
considération des mouvements planétaires nous conduit donc à penser
qu'en vertu d'une cbaleur excessive, l'atmosplière du Soleil s'est pri-
mitivement étendue au delà des orbes de toutes les planètes, et qu'elle
s'est resserrée successivement jusqu'à ses limites actuelles.

(( Dans l'élat primitif oïl nous supposons le Soleil, il ressemblait
aux nébuleuses que le télescope nous montre composées d'un noyau
plus ou moins brillant, entouré d'une nébulosité qui, en se conden-
sant à la surface du noyau, le transforme en étoile. Si l'on conçoit,
par analogie, toutes les étoiles formées de cette manière, on peut
imaginer leur état antérieur de nébulosité précédé lui-même par
d'autres états dans lesquels la matière nébuleuse était de plus en plus
diflïise, le noyau étant de moins en moins lumineux. On arrive ainsi,
en remontant aussi loin qu'il est possible, à une nébulosité tellement

\

IIYPOTIIKSIC DE I.AI'LACE

difTuse, que l'on pouirail à peine en soupronncr rexistcncc. »
(p. 499-500.)

L'étoile nébuleuse à forte condensation centrale n'est donc pas,
pour Laplace, l'état tout à fait [)rimortiial, puisqu'il lui suppose un
état antérieur. Mais il s'occupe seulement de la faron dont les planètes
ont pu naître aux dépens île l'almosjjhère qui entoure le iioNau cen-
tral de la nébuleuse, il lonunence par rejeter l'Iiypollièse qui attri-
buerait aux planètes une origine extérieure à la nébuleuse, celle-ci
les ayant captées ; puis il montre que l'almosphère de la nébuleuse,
en se contractant, abandonne une série d'anneaux :

<« Mais comment l'atmosplière solaire a-t-elle déterminé les mou-
vements de rotation et de révolution des planètes et des satellites? Si
ces corps avaient [)énélré |)rolbiidément dans cette atmospbère, sa
résistance les aurait fait tomber sur le Soleil; on peut donc conjec-
turer que les planètes ont été formées à ses limites successives, par la
condensation des zones de vapeurs, qu'elle a dû, en se refroidissant,
abandonner dans le plan de son équaleur.

(( ... L'atmosphère du Soleil ne peut pas s'étendre indéfiniment;
sa limite est le point où la force centrifuge due à son mouvement de
rotation balance la pesanteur; or, à mesure que le refroidissement
resserre l'atmosphère et condense à la surface de l'astre les molécules
qui en sont voisines, le mouvement de rotation augmente ; car, en
vertu du principe des aires, la somme des aires décrites par le rayon
vecteur de chaque molécule du Soleil et de son atmosphère et pro-
jetées sur le plan de son équateur étant toujours la même, la rotation
doit être plus prompte quand ces molécules se rapprochent du centre
du Soleil. La force centrifuge due à ce mouvement devenant ainsi
plus grande, le point où la pesanteur lui est égale est plus près de ce
centre. En supposant donc, ce qu'il est naturel d'admettre, que l'at-
mosphère s'est étendue à une époque quelconque jusqu'à sa limite,
elle a du, en se refroidissant, abandonner les molécules situées à cette
limite et aux limites successives produites par l'accroissement de la
rotation du Soleil. Ces molécules abandonnées ont continué de cir-
culer autour de cet astre, puisque leur force centrifuge était balancée
par leur pesanteur. Mais, celte égalité n'ayant point lieu par rapport
aux molécules atmosphériques placées sur les parallèles à l'équateur

lO IITPOTlIliSES COSMOGOMQUES

solaire, celles-ci se sont rapprochées, par leur pesanteur, de l'atmos-
phère à mesure qu'elle se condensait, et elles n'ont cessé de lui
appartenir, qu'autant que, par ce mouvement, elles se sont rappro-
chées de cet équalcur. » (p. 5oo-5oi.)

Admettons donc, avec Laplace, un tel ahandon, dans le plan de
réquatetn-, d'anneaux concentriques de vapeurs, — cette question sera
soumise à l'analyse dans le Chapitre suivant, — et demandons-
nous ce que deviennent ces anneaux. Chaque molécule, abandonnée
à elle-même, décrira un cercle en obéissant à la troisième loi de Ivéi'ler

oj-r' = const.,

oj désignant la vitesse angulaire et /• le rayon de l'orbite des différentes
molécules ; d'où il suit que les molécules les plus éloignées du Soleil
auront une vitesse angulaire, et même une vitesse linéaire, moindre
que les molécules les plus rapprochées.

Si donc A et B sont les cercles qui limitent extérieurement et inlé-
rieurcmenl un anneau dont C est la ligne moyenne {/îg. i), la vitesse

• 0

f"J- I-

des molécules situées en A sera tout d'abord inférieure à celle des mo-
lécules situées en B. Mais Laplace invoque le Irotlement mutuel des-
molécules qui tend, dil-il, à égaliser toutes les vitesses angulaires, de
telle façon qu'on ait finalement

oj z= const. ;

par suite la vitesse linéaire des molécules telles que A deviendra supé-
rieure à celle des molécules telles que B. Une seconde cause, d'après
Laplace, a du agir dans le même sens. Par les effets du refroidisse-
ment et de la condensation, l'anneau a dû se rétrécir, si bien que A
et B se seraient rapprochés de la ligne médiane C. En vertu de la loi
des aires, B s'éloignant du centre a du diminuer sa vitesse; A s'erk

IITPOTIIÈSE Dr L.VPLACE

rapprochant a (là augmenter la sienne. Si L.m'lace insiste sur ce lait
que, dans un même anneau, les vitesses linéairesdes molécules les plus
éloignées du centre ont dû finir |)ar être plus grandes, c'est que ce
sera là son principal argument pour expliquer les rotations directes
des planètes. — Toutes ces questions seront disculées plus loin.

9. Voyons maintenant comment Lu-i.ack explique la manière dont
les anneaux, instables en général i>ar eux-mêmes, ont donné nais-
sance aux planètes et celles-ci aux satellites,

M Si toutes les molécules d"un anneau de vapeurs continuaient de
se condenser sans se désunir, elles formeraient à la longue un anneau
liquide ou solide. Mais la régularité que cette formation exige dans
toutes les parties de l'anneau et dans leur refroidissement a dû
rendre ce phénomène exl reniement rare. Aussi le système solaire n'en
otlre-l-il qu'un seid exemple, celui des anneaux de Saturne. Presque
toujours chaque anneau de \apcurs a dû se rompic en plusieurs
niasses qui, mues avec des vitesses très peu dilVércnlcs, ont continué
de circuler à la même distance autour du Soleil. Ces masses ont dû
prendre une forme sphéroïdiquc, avec un mouvement de rotation
dirigé dans le sens de leur révolution, puisque leurs molécules infé-
rieures avaient moins de vitesse réelle que les supérieures; elles ont
donc formé autant de planètes à l'état de vapeurs. Mais si l'une
d'elles a été assez puissante pour réunir successivement par son
attraction toutes les autres autour de son centre, l'anneau de vapeurs
aura été ainsi transformé dans une seule masse sphéroïdique de va-
peurs, circulant autour du Soleil, avec une rotation dirigée dans le
sens de sa révolution. Ce dernier cas a été le plus commun : cependant
le système solaire nous oiïre le premier cas dans les quatre petites
planètes qui se meuvent entre Ju[)iter et Mars, à moins qu'on ne
suppose, avec M. Olbeus, qu'elles formaient primitivement une seule
planète qu'une forte explosion a divisée en plusieurs parties animées
de vitesses dilTérentes.

« Maintenant, si nous suivons les changements qu'un refroidisse-
ment ultérieur a dû produire dans les planètes en vapeurs dont nous
venons de concevoir la formation, nous verrons naître au centre de
chacune d'elles un noyau s'accroissant sans cesse par la condensation
de l'atmosphère qui l'environne. Dans cet état, la planète ressemblait
parfaitement au Soleil à l'état de nébuleuse où nous venons de le

I2 HYl'OTI ÈSES COSMO(;OMQt'ES

considérer; le refroidissement a donc dû produire, aux diverses li-
miles de son atmosphère, des phénomènes semblables à ceux que
nous avons décrits, cest-à-dire des anneaux et des satellites circulant
autour de son centre, dans le sens de son mouvement de rotation, et
tournant dans le même sens sur eux-mêmes. La distribution régulière
de la masse des anneaux de Saturne autour de son centre et dans le
plan de son équateur résulte naturellement de cette hypothèse, et,
sans elle devient inexplicable : ces anneaux me paraissent être des
preuves toujours subsistantes de l'extension primitive de l'atmos-
phère de Saturne et de ses retraites successives. Ainsi les phénomènes
singuliers du peu d'excentricité des orbes des planètes et des satellites,
du peu d'inclinaison de ces orbes à l'équateur solaire, et de l'identité
du sens des mouvements de rotation et de révolution de tous ces
corps avec celui de la rotation du Soleil, découlent de l'hypothèse
que nous proposons et lui donnent une grande vraisemblance. »
(p. 3o2-5o3.)

10. Pour Lm'lace, les comètes sont d'origine étrangère au système
planétaire. Il les considère comme « de petites nébuleuses errantes de
systèmes en systèmes solaires » (p. 5o/i), ce qui expliquerait pourquoi
les orbites des comètes sont aussi bien rétrogrades que directes et,
de plus, pourquoi elles ont de fortes excentricités et inclinaisons. Mais
cette manière de voir n'est plus adoptée en général, car aucune
comète ne présente d'orbite l'ranchement hyperbolique, ce qui ne
manquerait sans doute pas d'arriver si ces astres étaient d'origine
cosmique et nous arrivaient de l'infmi avec des vitesses sensibles
relativement à la vitesse de notre système solaire.

11. Lai'lack voit dans la lumière zodiacale une preuve nouvelle à
l'appui de son hypothèse :

(( Si, dans les zones abandonnées par l'atmosphère du Soleil, il
s'est trouvé des molécules trop volatiles pour s'unir entre elles ou
aux planètes, elles doivent, en continuant de circuler autour de cet
astre, offrir toutes les apparences de la lumière zodiacale. »> (p. ôoO.)

12. L'égalité rigoureuse entre la durée de révolution sidérale de la
Lune et sa durée de rotation sur elle-même, égalité qui fait que la
Lune tourne toujours vers nous un même hémisphère, a été expliquée

HYPOTllîiSE DE LAPI.Ar.E l3

par Laplace en supposant qu'à l'origine les deux mouvements an-
gulaires de rotation et de révolution étaient peu diflorents :

(( Alors, dil-il, l'atlraction de la planète a élabli entre eux une
[)arraite égalité ; mais en même temps elle a donné naissance à une
oscillation périodique dans l'axe du satellite, dirigé vers la planète,
oscillation dont l'élendue dépend de la différence primitive des deux
mouvements. » (p. .J07.)

La Lune, encore fluide, a donc pris une forme allongée dans le
sens de la Terre; son grand axe tendait constamment à être ramené
dans celte direction par l'attraction terrestre, tel un pendule écarté
de la verticale; les oscillations de cet axe produisaient une libnilion.
Mais, dans un corps fluide, la libration est accompagnée de marées
internes qui font naître des frottements; ces frottemenis tondent à
diminuer la libration qui deviendra très petite et pourra finir par dis-
paraître, même si elle était notable au début.

13. Une autre question tout à fait analogue, et c'est par elle que
Lvi'i.ACE teruiine son Exposition, est la question relative à la particu-
larité que présentent les trois premiers satellites de Jupiter. \p[)clant n,
n', n", leurs moyens mouvements et/, /'./"leurs longitudes moyennes
respectives, on a constamment, entre les trois longitudes moyennes,
la relation

/_3/' 4_ 2/'= 180",

et entre les trois moyens mouvements, la relation

n — 3ai' -+- 2ti" = o.

Or, Laplack a montré, dans sa Mécanique Céleste, que, si les con-
ditions initiales ont été telles que ces égalités soient approximative-
ment satisfaites, l'action mutuelle des satellites a suffi pour les main-
tenir satisfaites en moyenne, avec une inégalité périodique d'autant
plus faible que ces égalités étaient plus près d'être rigoureusement
vérifiées initialement. Cette inégalité périodique est tout à fait compa-
rable à la libration dont nous venons de parler. Or, Dklamiuie n'a pu
parvenir à la mettre en évidence au moyen d'observations. Gomme il y
a (( l'infini contre un à parier » que les deux égalités écrites ci-dessus
n'ont pas été rigoureusement vérifiées par les conditions initiales.

• l'i HYPOTHESES COSMOCONIQLES

Laplace conclut que celle inégalité périodique a dû exister au début,
mais qu'une cause l'a lait disparaître : cette cause, c'est la résistance
de milieu qu'opposait l'atmosphère primitive de la plancle au mou-
vement de ses satellites :

(( Dans notre hypothèse, les satellites de Jupiter, immédiatement
après leur formation, ne se sont point mus dans un vide parfait ; les
molécules les moins condensables des atmosphères primitives du
Soleil et de la planète formaient alors un milieu rare, dont la résis-
tance, dilVérente pour chacun de ces astres, a pu approcher peu à peu
leurs moyens mouvements du rapport dont il s'agit, et lorsque ces
'mouvements ont ainsi atteint les conditions requises pour que
1 attraction mutuelle des trois satellites établisse ce rapport en ri-
gueur, la môme résistance a diminué sans cesse l'inégalité que ce
rapport a fait naître, et enfm l'a rendue insensible. On ne peut mieux
comparer ces effets qu'au mouvement d'un pendule animé d'une
grande vitesse, dans un milieu très peu résistant. Il décrira d'abord
un grand nombre de circonférences; mais, à la longue, son mouve-
ment de circulation, toujours décroissant, se changera dans un mou-
vement d'oscillalion, qui, diminuant lui-même de plus en plus par
la résistance du milieu, Unira par s'anéantir; alors le pendule, arrivé
A l'état du repos, y restera sans cesse. » (p. 5o8-5o9.)

CIÏAlMTKi: 111.

ANALYSE DE L'HYPOTHÈSE DE LAPLACE. TRAVAUX DE ROCHE.
ÉTUDE DE LA STABILITÉ DUN ANNEAU. FORMATION DES SATELLITES,

I. — Surfaces de niveau.

14. \ous allons maintenant entier dans le détail de riivpolhèsc de
Lapi.ace, et, comme l'a fait Kocme ('). soumettre celle liypothèsc au
calcul.

Considérons la nébuleuse de Laplace, constituée, nous l'avons dit,
par un noyau central condensé, entouré d'une atmosphère très ténue,
dont la masse est supposée très petite par rapport à celle de la con-
densation centrale. Les couches atmos[)héri(]nes sont supposées parti-
■ciper, en vertu des Irottements, à la rotation du noyau qu'elles
recouvrent, de sorte que l'ensendjle est animé d'une vitesse angulaire
uniforme oj. Désignons par M la masse du noyau que nous supposons
sphérique, et négligeons lattiaclion mutuelle des molécules de
l'atmosphère. Quelle sera, dans ces conditions, la forme des surfaces
de niveau !*

Prenons pour axe des x l'axe de rotation de la nébuleuse, pour
plan des vc le plan perpendiculaire à l'axe de rotation mené par le
centre de gravité o ; et désignons par

r = \ X- -r- V" — y

la distance d'un point quelconque à l'origine.

Le potentiel dû à l'attraction du noyau central est

INI M

V x^

(', Les travaux de E. [iocuE sur ce sujet se Irouvcfit résumés dans son Essai sur
la conslitution et Corijine du sysl'eine solaire, 1878 Acad. de Montpellier, Sec. ion des
Sciences, t. VIII, p. aSoj.

i6

HYPOTHESES COSMOGONIQUES

le polcntlcl dû à la force centrifuge est

L'équation générale des surfaces de niveau (surfaces équipolentielles)
s'écrira donc

M

^ + V (J^ -^- ") = C'

C désignant une constante. Les surfaces de niveau sont donc, comme
il était évident a priori, de révolution autour de ox et symétriques
par rapport au plan yoz. Nous obtiendrons l'équation des méri-
diennes de ces surfaces en faisant ; = o dans l'équation précédente,
ce qui donne

(0

-+- — J" = G.

\Jx^ -t- y^ ■«
Lorsque la constante C est très grande, chaque méridienne (y?^. 2)

A7- a.

se compose d'une petite courbe entourant l'origine et de deux branches
infinies très éloignées, coupant l'axe des y ; l'ensemble de la méri-
dienne est désigné par i dans la figure. Lorsque C diminue, la courbe
entourant l'origine se dilate, les deux branches infinies se rapprochent,
et donnent l'ensemble de courbes 2. Si la constante G diminue encore,
on obtient la courbe .'> qui présente deux points doubles sur l'axe oy,
puis enfin des courbes telles que f\ et 5 qui ne coupent plus l'axe
des y.

AN.VLTSE DE L UïrOTIIL>E DE HPL.VCE I-T

15. Quels sciont les points de ces courbes où la tangente sera pa-
rallèle à oy '} On obtiendra ces points en dilîérentiant par rapport à y
l'équation (i) de ces courbes, ce cpii donne

My

„- -f- lo-V = O .

,.3

Celle équation est satisfaite pour v = o. les points de l'axe des x
sont, en cITel, des somniels pour nos couibes ; elle est satisfaile éga-
lement pour

le lieu des points où la tangente sera parallèle à ovest donc (en dehors
de l'axe des x) un cercle V de rayon

En chaque point de ce cercle, on a

Mv

/•

>lv,

c'est-à-dire que la force centrifuge est égale et opposée à la compo-
sante de la gravité parallèle à oy. En particulier, aux deux points
doubles A et A', la force centrifuge balance exactement la pesanteur,

16. Cela posé, reprenons noire nébuleuse qui tourne tout d'une
pièce. Son atmosphère, qui est supposée s'étendre aussi loin que pos-
sible, se termine nécessairement à la plus grande des surfaces de
niveau dont la méridienne ne dépasse pas le cercle Y , car, au delà de
ce cercle la force centrifuge l'emporterait sur la pesanteur. La surface
libre de l'atmosphère est donc engendrée par la révolution delà courbe
à points doubles o autour de ox : celle surface présente une arête
saillante tout le long de l'équaleur. La surface de niveau qui vient
immédiatement après n'enveloppe pas complètement les précédentes :
elle s'ouvre à l'équaleur, puis se développe en deux nappes infinies,
comme le montre la figure 2.

Lorsque la nébuleuse se contractera par suite du refroidissement,
la vitesse de rotation w augmentera, d'après la loi des aires ; le ravon
7' du cercle F, défini par

PoiSCi

HYPOTHESES COSMOGONIQLES

diminuera : la surface libre de l'atmosphère se conlractcra donc, pour
ainsi dire, en restant semblable à elle-même. Par suite de celle con-
traction, la couche fluide qui se trouve en e\cès descend des pôles
vers réquateur en coulant le long des surfaces de niveau, puis elle
s'échappe, comme par une ouverture, par l'arête saillante que nous
avons signalée. Elle cesse dès lors de faire partie de l'atmosphère de
la nébuleuse : elle forme une zone équatoriale dont les particules con-
tinueront à décrire des cercles autour du centre, dans le plan de
réquateur, puisqu'au moment de l'abandon la force centrifuge faisait
équilibre à la pesanteur.

?sous comprenons donc maintenant la formation des anneaux de-
Laplace : elle est due à la présence, sur la méridienne de la surface
libre, des deux points doubles A et A', dont l'importance a élé mise
en évidence par Roche (').

II. — Nécessité de l'hypothèse d'une condensation centrale.

17. Dans ce qui précède, nous avons, avec Laplace, supposé une
très forte condensation centrale de notre nébuleuse. Aurions-nous pu.
nous dispenser de cette hypothèse ? Il est facile de A^oir que non.

Reprenons en effet, en abandonnant cette hypothèse, la détermi-
nation de nos surfaces de niveau. Le potentiel dû à la force centrifuge
est toujours

Appelant \{x, y, z) le potentiel du à l'allraction, nous aurons pour le
potentiel total

2

TJ(a:, r, z) = Y{x, y, :) + '^ (y- -f- z'). ^ ,

L'équation des surfaces de niveau sera

U(.r, y, :) = C
et l'équation de leurs méridiennes, dans le plan des xy, sera

U(t, yO, ) = C.

(') E. IJociiE : Mémoire sur la Jiijure des nlinosphères des corps célestes, i854
[Acad. de MoidijclUer, Section des Sciences, t. Il, p. 899).

ANALYSE DE L inPOTlltsr: DE LAl'LACi; ig

Polirions- nous avoir, pour la siurace libre île l'atmosphère une
arèle saillanlc, [)ar où la condcnsalion laissera s'échapper des molé-
cules [)our rornicr un anneau? Oui, s'il existe une méridienne présen-
tant des points doubles, ce qui arrivera on général, car les trois
équations

U(a:. j. 0) = C.

-, - = G , - - = G.

déleruiincroiil un point double situé >ur l'axe des y. En elïot, sur cet
axe, on a

dU

par raison de symétrie ; les deux autres équations délermincnt les
valeurs de G et de y.

INous aurons donc bien une méridienne à point double, et de plus,
comme nous l'apprend l'équation

dU

en ce point double la force totale, résultante de la gravité et de la
Torce centrifuge, sera nulle.

Donc il y aura, comme précédemment, abandon de molécules dans
le plan de l'équateur. Ces molécules commenceront par décrire des
cercles autoiu- tie la nébuleuse qu'elles viennent d'abandonner, puis-
qu'au moment de l'abandon la force centrifuge contrebalance la
pesanteur. On pourrait croire, à première vue, que rien n'est changé et
que l'anneau ainsi formé continuera à se comporter comme un anneau
de Lapi.aci-. Il n'en est rien. I\e[)réscntons, en elTet, un anneau AA'
{Jl'j. o) qui vient de se détacher de la nébuleuse. Ses molécules dé-
crivent des cercles autour de l'axe ox sous l'action d'une attiactlon
égale à la force centrifuge. Lorsque le reiroidissement aura contracte
la nébuleuse, la force centrifuge sera bien toujours la môme, mais
l'attraction, qui est celle d'un corps aplati, aura varie, (tandis que,
dans l'hypothèse de Laplace, l'attraction du noyau sphérique ne va-
riait pas avec la condensation). Il semble donc que les orbites des
molécules ne pourront pas rester circulaires, et qu'elles deviendront
excentriques. Mais nous verrons plus loin, à propos de la théorie de

HYPOTHÈSES COSMOUONIQUES

Fa\e, qu'une planète déciivant une oibitc primitivement circulaire et
soumise à une attraction Icnlemenl variable d'après une loi quelconque,
conservera une orbite circulaire.

^

-^

18. On peut encore mettre en évidence la nécessité de supposer une
grande condensation à la nébuleuse de Laplace, par les calculs sui-
vants dus à M. l'oLcnÉ ('). iNous connaissons le moment de rotation
du système solaire : il est approximativement égal au moment de ro-
tation du Soleil autour de son axe, augmenté du moment dû à la
révolution de l'ensemble des planètes autour du Soleil, (le moment
dû à la rotation de cbaque planète autour de son axe étant négligea-
ble). Prenant pour unités le rayon de l'orbite terrestre, la masse du
Soleil et le jour moyen, M. Fouché donne les cbiflres suivants :

Pour le moment dû à la rotation du Soleil

2:^ X 0,000 000 353 8,

Pour le moment dû à la révolution des planètes

2iT X 0,00000961 1 0 ;

on voit donc que la plus grande partie du moment de rotation est dû
aux planètes, et que le moment de rotation total est égal à

2- X 0,000009965/1.

D'après le tliéorème des aires, ce moment n'a pas dû varier depuis
l'origine. Supposons un instant qu'à l'époque où la nébuleuse a aban-
donné l'anneau qui a formé Neptune, celte nébuleuse était homogène.

['j ^I. FoLciiÉ : Comptes rendus de rAcadéinic des Sciences, 2] nov. i88i (t. 90,

p. go3j.

ANALT<E DE L llYPOTHLi^E DE LAPI.ACE

Son moment de rotation (m'iI rlé alors compurahlr à celui d'une sphère
homogène, de même masse que le Soleil, s'élendanl jusf|u'à l'orhitc
de Neptune et tournant avec la vitesse angulaire actuelle de celte pla-
nète. Ce moment de rotation égale

7, — '— X - X (3o,oG - ou 2- X o.ooO oa,
boi8i 0 ^

chiiïre plus de six cents fois phis grand que le précédent. On voit
donc quelle énorme condensation il faut accepter pour réduire le mo-
ment de rotation à la six-centième partie de ce qu'il serait dans le
cas d'homogénéité.

M. Foucnic présente encore la cliosc d'une autre manière. Imagi-
nons, pour prendre un cas simple, la nébuleuse formée d un noyau
sphérique, entouré d'une atmosphère liomogène s'étendant jusqu'à
l'orbite de Neptune, le tout tournant avec la vitesse angulaire actuelle
de celle planète. Le théorème des aires exige que la somme du mo-
ment de rotation du noyau et du moment de rotation de l'atmosphère
soit égale à

u- X 0.000009905^,

par conséquent le moment de rotation de l'atmosphère est inférieur à

2- X 0.000 009 9(m /|.

Or, si nous appelons m la masse de cette atmosphère, son moment
de rotation est comparable à celui d'une sphère homogène de masse
m, c'est-à-dire à

V. ^ V X "i X ? X (iio.oG)- ;
60 1 8 1 0

ce moment devant être inférieur au précédent, il vient

m -< 0.00 1 ()(),

chiffre à peine supérieur à la masse de toutes les planètes réunies. Il
faudrait donc que l'atmosphère tout entière de la nébuleuse se fût
réduite en planètes, si cette atmosphère avait été homogène.

Les calculs précédents ne sont relatifs qu'à des ordres de grandeur;
mais ils sulfisent pour montrer combien est capital, dans la théorie
de L.VPLACE, le fait de la condensation centrale.

HyrOTIIKSES COSMOGOMQUES

19. Sans celte condensation, il aurait fallu, clans le calcul des sur-
faces de niveau, tenir compte de l'attraction des molécules de l'atmo-
sphère les unes sur les autres, ce qui nous aurait donné, pour leurs
méridiennes, des courbes analogues à celles de la figure 4 . L'anneau

J'U- ^■

abandonne aurait eu un profd tel que ACD. Nous allons trouver faci-
lement une limite inférieure à la densité d'un tel anneau. Appliquons
au volume total de l'anneau, c'est-à-dire au volume engendré par la
révolution de ACD autour de ox, la formule bien connue de Green

r/U
dn

AU dz.

où (h représente un élément du volume, c/w un élément de la surface
qui limite ce volume, -j- la dérivée normale intérieure et U le po-
tentiel total

V + V 0-' + -■')

■dont il a été question plus haut. La stabilité exige qu'à la surface ACD
de l'anneau, la force totale soit dirigée vers l'intérieur, c'est-à-dire que

(/U

du

>o.

ce qui donne par conséquent

AUc/- <o.

Or, si p est la densité de l'anneau, nous avons, d'après la formule de
Poissox,

d'ailleurs

par suite

ANVL\SE DE l'hypothèse DE LAI'LVCE 3$

A Y Cx' + ^') = ■"'-'

AU r=r_ /,-0 -I- 2<o2

Si nous admellons, pour simplifier, que la Jcnsilé o est uniforme
•dans loul l'anneau (ou plus généralement, si nous désignons par o la
densité moycniiL' de l'anneau), l'inégalité (2) exige que

/j-O I- 2 (1(2 < o.

<l'oij

0 > — •

' 2Z '

nous avons ainsi une limite inférieure de la densité de l'anneau, et
a foiiinri de la nébuleuse. Lorsqu'on prend pour o) la vitesse angulaire

•de Ne[)tune, on trouve pour 0 un chill're tellement grand que, d'après
ce chilTre, la niasse totale de la nébuleuse serait très supérieure à celle

•du Soleil.

III. — Formation successive des anneaux.

20. Revenons à l'hypothèse de Lvplvce d'une très forte condensa-
tion centrale, hypothèse oij nous négligeons l'action mutuelle des
molécules de l'atmosphère. L'équation des surfaces de niveau est
alors, nous l'avons vu dans la Section I,

r 2 ^ /

-ces surfaces ont leurs méridiennes représentées sur la figure 2.
Si, dans cette équation, nous changeons

X, y, z

Cl)

Ix. ly, \z.

U)

en

|JtO),

M

en

XV-M.

G

en

>-{^-C,

cette équation ne change pas, et la figure 2 est simplement remplacée
par son homothétique, le rapport d'homothétic étant À : c'est un cas
•de similitude mécanique.

24 IIYrOTIlÈSES COSMOGONIQUES

Dans ces conditions,

le volume V se trouve multiplié par X^

le moment d'inertie I se trouve multiplie par l^ix- x '>^- = A-a%

le moment de rotation J =: wl sa trouve multiplié par ^x x V'iJ^ = V'ix^ ;

les deux expressions

o2y j^

"M ' \W

ne changent pas. C'est dire que h forme des surfaces de niveau ne
dépend que de

si l'on adopte comme variables définissant la nébuleuse M, V et o) ;
elle ne dépend que de

J"
VM^ '

si l'on adopte comme variables ^I, V et J. A la surface lenticulaire à
arête saillante (engendrée par la révolution de la méridienne à points
doubles;, correspondront toujours pour ces expressions deux valeurs
bien déterminées A et B. Toutes les fois donc que nous aurons

oi-\ Jfi

nous dépasserons cette surface lenticulaire et la surface libre s'ou-
vrira à l'équateur. Nous aurons donc abandon de molécules et forma-
tion d'un anneau de Laplace.

21. Que se passera-t-il par suite du refroidissement de notre nébu-
leuse!» La masse M du no}au et le moment de rotation J resteront
constants, tandis que Y diminuera ; donc

augmentera et dépassera la limite B : il se formera un anneau. Si le
refroidissement restait uniforme, ce processus serait conliiui, et nous
aurions une plage continue de vapeurs abandonnées dans tout le plan
de l'équateur, et non pas une série discrète d'anneaux séparés les uns
des autres.

AN\L\SE DE L IIYPOTIIUSE DE LAPLVCE

Pour expliquer la formallon successive des anneaux, il faut donc
supposer, avec Roche, que le refroidissement n'est pas uniforme.
Supposons d'abord le refroidissement purement superficiel. V dimi-
nuera, mais fj) ne variera pas sensiblement, le moment d'inertie
n'ayant guère changé, car la densité de l'atiuosphère est très faible.
Quant à M il reste toujours constant. Donc

M

diminuant, il ne se formera pas d'anneau. Si, au contraire, le refroi-
dissement est central, V demeurera constant, tandis que o) ira en
croissant par suite de la condensation du noyau qui diminue le mo-
ment d'inertie. Donc

M

ira en augmentant, dépassera la limite \, et il y aura production
d'un anneau.

Mais un refroidissement central ne sera pas suivi iinincdialenienL de
la formation d'un anneau. En effet, par suite d'une condensation
centrale, la vitesse de rotation du noyau augmentera, celle de la partie
superficielle demeurant la même au moins pendant un certain temps,
car il faut un certain temps pour que le frottement parvienne à com-
muniquer à la périphérie la vitesse angulaire que possède le noyau.
Or, la vitesse angulaire oj, qui importe pour la formation d'un
anneau, c'est celle de la superficie. Pendant un certain intervalle de
temps, oj et Y restent donc constants, et il ne se forme pas d'anneau.

22. Gomment expliquer ces alternances de refroidissement central
et de refroidissement superficiel? Supposons que notre nébuleuse ait

atteint la forme lenticulaire ABA'B' {fig. 3), puis, qu'elle se con-
tracte et arrive à la nouvelle forme lenticulaire AjBiViB i : il se

"26 IIÎPOTIIÈSES COSJrOGO?JinUES

produit alors un anneau cqualorial. En même temps une portion de
fluide almospliérique en excès descend des pôles vers l'équateur,
mettant ainsi brusquement à nu une nouvelle couche A,B,A'i B'i,
qui va se refroidir rapidement. Donc l'instant de l'abandon d'un
anneau est immédiatement suivi d'une période de refroidissement
superficiel, pendant laquelle il ne se formera pas d'anneau. Cette pé-
riode durera jusqu'à ce que, le refroidissement ayant gagné les parties
centrales, le même mécanisme puisse se renouveler. Nous compre-
nons ainsi que les anneaux aient pu se produire dune manière
discontinue.

23. D'après la loi de Bode, la planète de rang n se trouve à une
dislance Xn du Soleil donnée par la formule

x„ = a -\- h",

a el b étant deux constantes. Donc, au moment de l'abandon des
anneaux successifs, le rayon équatorial de la nébuleuse solaire devait
être représenté par cette formule. D'autre part, en vertu de la loi
exponentielle du refroidissement, ce rayon, variable avec le temps t,
devait être représenté par une expression telle que

a + Pe-H

a, Ij, /. étant trois constantes. Par suite, l'époque / de l'abandon de
l'anneau de rang n est donné par l'équation

a -h fc" =; a -h Pe"'''.

Or, attribuer à n une suite de valeurs entières dans le premier membre
de cette équalioTi, revient à attribuer à /, dans le second membre, des
valeurs équidislanles. Donc les époques où la nébuleuse solaire a
abandonné les anneaux successifs ont du croître en progression arith-
métique. Telle est, dans l'ordre d'idées qui nous occupe, la signifi-
cation de la loi de Bode.

24. Revenons à noire nébuleuse cpii abandonne un anneau en
passant, par contraction, de la forme lenticulaire \BA'B' à la nou-
velle forme lenticulaire AiBiA',B'i \ fi'/. ")). 11 y a lieu de remarquer
■que, seules, les molécules qui se trouvaient déjà au voisinage de
l'équateur contribueront à former cet anneau, car les molécules de la

A>\MSE DE L lITPOTIIKSr DE I VPI.ACE

porlion tle fluitlc aluiospliérique en excès qui, des pôles descend vers
l'équaleur en s'écoulanl sur la surface libre, possédaient priinilivement
une vitesse linéaire de circulation d'autant plus petite qu'elles étaient
plus voisines du pùle. Celle vitesse linéaire tendra à diminuer (en vertu
de la loi des aires) quand la molécule se rapprochera de l'équateur.
Les molécules q»ii alTluenl ainsi vers l'équateur ne possèdent donc
pas, en y arrivant, la vitesse nécessaire pour décrire un cercle, mais
une vitesse moindre. Chaque particide A jiarlira donc langentiellement
à l'équateur et décrira, dans le plan de cet équateur, une ellipse AA'
{fin. G , de lover o, d'autant [)lus excentrique que sa vitesse à l'a-
phélie A est plus faible. Les particules qui partent ainsi successive-
ment de A n'ont pas toutes la même vitesse tangentielle ; mais toutes
celles (pii sont animées d'une même vitesse langentielic décrivent la
même ellipse et donnent une Iniincc clltiHi<jiu' intérieure à l'atmos-
phère de la nébuleuse. Il y a ainsi dans le plan de l'équateur des

f"J- 6.
tramées elliptiques, de toutes orientations et de grandeurs diverses,
qui se croisent entre elles. Les chocs résidtant de la coexistence de
toutes ces traînées finiront bientôt par détruire les vitesses radiales et
par ne laisser subsister que la vitesse angulaire de circulation. L'en-
semble des particules (inira par constituer un système de cercles con-
centriques que Roche a appelé anneau intérieur, parce que ses parti-
cules se meuvent à l'intérieur de l'atmosphère et décrivent des cercles
dont le rayon est plus petit que celui de l'équateur.

Suivant les circonstances, un tel anneau intérieur pourra, ou bien
subsister, si la résistance qu'oppose l'atmosphère au mouvement cir-
culairo de ses particules est faible; ou bien se détruire, si la résistance
du milieu atmosphérique est assez forte pour faire tomber ses particules
vers le centre. .C'est principalement pour expliquer la formation de
certains satellites que Uoche a fait jouer un rôle aux anneaux inté-
rieurs.

28

IIYIIOTIIKSES COS.MOGOMQUES

Remarquons que la formalion des traînées elliptiques Aworise les
allernatives entre le refroidissement superficiel et le refroidissement
central, des particules primitivement superficielles, et par suite froides,
tombant vers le centre. Remarquons aussi qu'avec les anneaux inté-
rieurs, RociiE abandonne, au moins en partie, la conception primitive
de Laplace, c'est-à-dire la conception d'une nébuleuse entièrement
gazeuse. Si, en efTet, un anneau intérieur était gazeux, il se mélan-
gerait par dilTusion au reste de l'atmosphère et ne pourrait jamais
subsister. Il faut supposer que cet anneau est formé par des poussières
météoriques tenues en suspension par le gaz de la nébuleuse.

IV. — Discussion de l'hypothèse d'une rotation uniforme.

25. La conception de Laplace repose sur le fait que la nébuleuse
est animée d'une rotation uniforme, due au frottement des couches
atmosphériques les unes sur les autres. C'est aussi le frottement qui,
d'après Laplace, doit, dans les anneaux, augmenter la vitesse des
molécules extérieures et diminuer celle des molécules intérieures, jus-
qu'à rendre uniforme la vitesse angulaire de l'anneau (fig. i, p. lo).

Le frottement est-il vraiment capable de [)roduire ces elTets? L'ob-
servation nous enseigne que, malgré les frottements, l'atmosphère du
Soleil et les atmosphères des planètes ne possèdent pas une rotation
uniforme. D'ailleurs, Heljiholtz a montré combien, pour de grands
volumes fluides, l'influence des Irottements est longue à se faire sentir.
Ecrivons, en elTet, les équations de l'hydrodynamique :

Y A",

tAh-,
■ o;

(3)

(/!' I dp \ (/({ du

dx p dxj dt dx

du du

dy dz

dP I dp\ du d»
dy "^ p dy) ~~ dt "^ " dx ~^

du d'J

dy dz

dP I dp\ div dut
d: '^ p d:) ~'dl "^ " J.r ^

dut div
" dy -^ '" ^7

do d , . d
dt dx ^' ' dy

» + i (?'")

les trois premières sont les équations de ?\avieii, la dernière est l'équa-
tion de continuité.

Dans ces équations P désigne le potentiel des forces extérieures, />

ANALYSE DE l'hYPOTIIKSE DE LAPLACE 29

la pression, o la dcnsilé, y le coelliclenl tic \Uco^ilé, u, v, w les com-
posanles de la ^ilesse.

Si, clan:^ les équalions (3), nous multiplions

X, Y, :, t, Y

par une même conslanlc n, et que nous ne changions pas

P, p, Z, U, V, U',

ces équalions ne chan^^ent pas.

Si donc nous considérons deux \olumes fluides Y, et V^ liomotlié-
tiques l'un de l'autre dans un rapport n, et qu'aux points homologues
nous avons les mêmes valeurs initiales de

1\ p, ?, ", V, 't-;

si, en outre, le coeflicient de viscosité 7 est n fois plus grand pour le
second volume que pour le premier, les phénomènes produits au hout
du temps / pour le premier volume se produiront pour le second au
hout du temps ni. Le frottement agira donc plus lentement sur le
second volume que sur le premier, hien que la viscosité du second
volume soit plus forte.

Hei.muoltz a reconnu que, pour une atmosphère de S kilomètres
d'épaisseur, le temps nécessaire pour réduire par le iVottement de
moitié une différence de vitesse est de '-xi~'\~ ans, soit 4io'*. Ici
l'épaisseur de notre atmosphère est le rayon de l'orbite de Neptune,
soit 4-10^ kilomètres; le temps nécessaire pour réduire les différences
de vitesse de moitié serait donc

Zl.io*. ^o— = 2.10''

années, avec un coefficient de viscosité —0— plus grand que celui de
notre atmosphère ; avec le même coefficient de viscosité, cela Icrait

2.10'^ -^ — = IO--

années. Il faut donc, si l'on veut que la rotation ait pu se maintenir
sensiblement uniforme, que le processus de refroidissement et de pro-
duction des anneaux ait été excessivement lent.

3o

H ïPOTIli;SES COSMOGO.MOLES

26. Cette faiblesse de l'induence du tVoltement, quand il s'agit de
grands volumes fluides, nous conduit à reclierclier s'il ne serait pas
possible d'abandonner l'iiypollièse d'une rotation uniforme de la né-
buleuse, et à étudier les diverses hypothèses que l'on pourrait faire sur
la distribution des vitesses angulaires. Cette question présente beau-
coup d'analogie avec le problème suivant : Quelle sera, dans une
atmosphère (par exemple l'atmosphère terrestre), la distribution sta-
tionnaire des températures ? On pourrait dire, d'une part, que si la
température initiale de l'atmosphère n'est pas uniforme, elle le devien-
dra bientôt par suite de la conductibilité : l'état d'équilibre des tem-
pératures de l'atmosphère serait donc l'état isotherme. On pourrait
penser, d'autre part, supposant la conductibilité négligeable, que les
mouvements internes de l'atmosphère et les brassages qui s'y pro-
duisent finiront par déterminer, pour les températures, l'état d'équi-
libre dit adiabaliqiie .

L'observation montre que dans les couches les plus basses de
l'atmosphère, jusqu'à lo kilomètres environ, on suit la loi adiabatique
parce que ces couches sont brassées constamment par les grandes
perturbations et les cyclones. Plus haut, on retrouve la loi isother-
mique ; plus haut encore, on ne sait rien. Quoique ni l'un ni l'autre

des deux états ne soit cfTccliNement réalisé par ratmos[)hèrc, nous
pouvons essayer d'étendre ces considérations à la distribution des ro-
tations dans une masse fluide tournant autour d'un axe de révolution
x'x [fifj. 7). Décomposons par la pensée la masse fluide en une infi-
nité d'anneaux très déliés, tels que AA', tournant indépendamment
autour de x'x. Chaque anneau possédera une vitesse angulaire oj, et

ANALTSE DE l'iI YPOTUÈSE DE LVPL.VCE 3»

celle vilesse w vaiieia d'un anneau à l'autie. Si nous admettons qu'il
y ait froltcuient des divers anneaux les uns sur les autres, il y aura
tendance à l'uniformisation des vitesses angulaires, et o) deviendra
bieiilùl le même pour toute la masse qui. finalemenl, louiiieia d'une
seule [lièce. Cetclal final correspond à l'équilibre i^ulliermc de l'almos-
phcre dont nous venons de [)arler, le rroltemcnl jouant ici le rôle quc^
jouait plus haut la c iiiductibililé thermique.

Su|)posons au contraire que, le frottement étant négligeable, notre
masse fluide soit le siège de brassages intérieiirs, (ces brassages étant
supposés conserver, pour simplifier, la symétrie de révoluùon de
noire masse aiilour de x'x). Dans ce cas le moment de rotation de
chaque anneau demeurera constant ; et, si on ap[)elle R la distance de
chaijuc molécide à l'axe de rotation, l'état permanent de di^lribulion
des vitesses angulaires sera défini par l'équation

wR- = const.

Cet étal (que nous pourrons encore appeler adiabaliquc) est analogue
à l'équilibre adiabalique des températures : chaque anneau emportant
avec lui, dans son (lé[)lacemont, son moment de rotation, comme tout
à l'heure chaque particule de l'atmosphère conservait la même quan-
tité de chaleur.

Remarquons que, dans celle distribution adiabalique des rotations,
on aurait oj = x sur l'axe de rotation. Cet état n'est donc qu'un
élat limite idéal, doiil on pourra s'a[)[)rocher plus ou moins; il corres-
pond au cas d'un tourbillon recliligne dirigé suivant l'axe.

27. Etudions les conditions d'équilibre d'une telle masse fluide
tournant d'un mouvement permanent autour d'un axe de révolution
ox {Ji'j. 7), la vilesse angulaire oj n'étant plus constante, mais variant
d'un anneau A.V à l'autre. Xous reprenons les équations (3) de l'hy-
drodynamique dans lesquelles nous faisons y = o, car dorénavant
nous négligerons le frottement. Les trois premières équations (3) de-
viennent alors les équations bien connues d'EuLEu. Chaque molécule
tournant, par hypothèse, autour de ox avec une vitesse angulaire o),
nous devons faire

U ^ o, l' = — - lùZ, W = (OJ,

32 HYPOTHÈSES COSMOGOMQLES

et les trois premières équations (3) deviennent

(A)

dp I dl) _

dx p dx

= o,

dP I dp _

dy p dy

= W'V:

dP I dp

'dï '^ pdz "

= 0/2.,

Dans le cas d'isotliermie, p et p sont reliés par la loi de Mauiotte ;
dans le cas d'adiabatic ils sont reliés par une autre formule ; mais,
dans les deux cas, /) est fonction de ^ et

'^P = du

p

est une différentielle exacte. Multipliant les équations (4) respective-
ment par dx, dy, dz et ajoutant les résultats obtenus, nous trouvons

dP + du = i.'>~{ydy -\- zdz),

qui s'écrit

(5) (i(P+ ll) = a)2iyR,

en appelant

R = /Tm^

la distance d'un point à l'axe de révolution.

Le premier membre de l'équation (5) étant une différentielle exacte,
il en est de même du second; donc fjj ne doit dépendre que de R et
nous pouvons poser

io2R = o\l\) ;

l'équation (5) s'écrit alors

d{P -{-U) = d'i,

ce qui nous donne l'intégrale

P H- n — ç =: const.

Les surfaces d'égale pression, qu'on peut encore appeler surfaces de
niveau, s'obtiendront en donnant à FI une valeur constante; elles au-
ront donc pour équation

o — V = G.

ANVI.YSE DE l.'ll YPOTIIKSE DE LAPLACE 33

Dans riiypolhèsc d'un noyau très condensé de masse M, nous pou-
vons écrire

P = _ ^^

;•

ce qui donne pour éfpi.ilion dos surfaces d'égale pression

r

Les méridiennes de ces surfaces s'obliendronl en faisant z ^ o dans
cette équation, ce qui donne

»(v)-+--=!i= = C.
\/x^ -t- j-

Telle est donc l'équation des méridiennes des surfaces de niveau
lorsque la vitesse angulaire o) n'est [)lus constante, mais varie avec la
dislance à l'axe de révolution suivant la loi représentée par

u,n\ = o'(U).

28. La forme de ces méridiennes dépend essentiellement de la
lonction 's. Dans le cas adopté par Laplace et par Rociii:, oj est cons-
tant; alors

?sous retombons sur l'équation

Al

= c

>Y ^ M

^ y/a;- -+- y-

qui a donné les courbes représentées parla figure 2 (p. 16).

Si nous supposions que la distribution des vitesses angulaires suit
la loi adiabatique, nous aurions, Q. étant une constante, les équations

et

L'équation des méridiennes serait alors

Q- . M

2J' V'X-^ -h f

PûINCARÉ.

34

lIÏPOTHtSES COSMOGÛMQUES

ce qui donnerait les combes représentées par la figure 8, Les surfaces
de niveau auraient donc des formes toutes différentes ne se prêtant
pas à la formation d'anneaux.

Remarquons que, dans le cas de la figure 2, si l'on parcourt l'axe
oy depuis 0 jusqu'à l'inlini, la constante C commence par décroître,
puis elle passe [)ar un minimum au point double A et croit ensuite

Jhj. 8.

indéfiniment. Au contraire, dans le cas de la figure (S, la constante G
part de — ce , passe par un maximum au point A, et ensuite décroît.
Donc, lorsque la quantité

M

y

(6)

?(r)

passera par un minimum, quand y varie de o à + 00, les méridiennes
présenteront un point double et il y aura formation d'anneaux de
Laplace. Lorsque cette quantité passera par un maximum, les méri-
diennes affecteront une forme analogue à celle de la ligure 8, incom-
patible avec la production d'anneaux.

Dans les deux cas, qu'il y ait maximum ou minimum, la dérivée
première de la quantité (6) s'annulera au point correspondant :

^(r)-p==o.

ce qui s'écrit

y'

o ;

AXM.ïSE i>E l'iiypotiiksi-: de L\rL.»CE 35

•donc en ce point la force ccnlrifuge fait équilibre à la pesanteur. Mais
il n"v aura minimum, t-t par suite l'ormalion possible d'anneaux, que
>i la dérivée seconde est positive, c esl-à-dire si

O)* -^- 2(o(.) V -I — n- ■> G,
V*

•ce qui s ecriljCn rcni[)i.'i(;ant ,j par son égal oj-,

3(0* -f- 2(0<.j'v > G.

'Cette condition cx[)rime simplement que l'expression

croît avec }'. Cette condition n'est pas réalisée dans la distribution
.dite adiabatique des vitesses, puisqu'alors on a

tov"^ = const.

Nous voyons donc que, pour expliquer la formation des anneaux
-de Laplace, il est absolument nécessaire de supposer qu'on est très
loin de l'adiabatie, et qu'on se ra[)proclic d'une rotation uniforme de
la nébuleuse.

V. — Étude de la stabilité d'un anneau. Anneaux de Saturne.

29. Quoi qu'il en soit des discussions précédentes, supposons qu'un
anneau ait été formé et examinons les conditions de sa stabilité.

La question a été principalement étudiée pour la constitution et la
stabilité des anneaux de Saturne. On peut faire sur la constitution de
ces anneaux trois liypolbèses : ils sont solides, ou fluides, ou formés
d'astéroïdes indépendants très nombreux circulant autour de la pla-
nète. ÎSous allons voir qu'il faut rejeter les deux premières bypothèses
pour des raisons mécaniques. La troisième bypollièse, proposée déjà
par Cassim en lyiô, mais sans preuves à l'appui, semble confirmée
par l'expérience : l'anneau intérieur de Saturne est en elVet transpa-
rent et la lumière le traverse sans trace de réfraction; ce n'est donc
pas un milieu continu. Les observations spectroscopiques montrent,
de plus, "que la vitesse d'une molécule de l'anneau n'est pas la même
sur le bord interne que sur le bord externe.

30 inroTiiKSES cosmogomques

30. Travaux de Lapla.ce et de IIir>. — Laplage, supposant les
anneaux de Saturne solides, a fait remarquer que, si ces anneaux
étaient parfaitement réguliers, ils seraient nécessairement instables,
car un anneau solide régulier, sous l'influence du plus faible déplace-
ment provoqué par la cause la plus légère, tendrait à tomber sur la
surface de la planète.

Supposons, en eff'et, que le centre de Saturne soit en o, le centre
de l'anneau déplacé étant en C {Jig. 9). Soit ab la corde perpendicu-
laire en 0 à oC. 11 est clair que l'altraclion de la planète sur un
aie tel que mit, l'emporte sur son attraction sur un arc tel que m'n'.

Donc le segment amnb de l'anneau est plus attiré par Saturne que le
segment an'm'b. L'anneau tendra par conséquent à s'excentrer davan-
tage et à se joindre à Saturne. Donc un anneau solide ne peut être
stable que s'il est suffisamment irrégulier.

ILux s'est demandé, d'autre part ('), dans l'bypotbèse d'anneaux
solides, quelle résistance on devrait attribuer à ces anneaux pour
qu'ils ne soient pas brisés par l'attraction des satellites. Il est arrivé
à cette conclusion : aucun corps connu, si rigide ou si tenace qu'on
le suppose, ne saurait résister, sans se rompre, aux ellorts qu'il
aurait à supporter.

31. Calculs de Maxwell. — J. Clerk Maxwell avait aussi trouvé
que les anneaux de Saturne ne pouvaient être solides, car leur stabi-
lité exigerait alors des irrégularités si grandes qu'elles sont inad-
missibles. Il examine donc l'hypothèse qui (ad des anneaux de Sa-
turne une multitude d'astéroïdes indépendants : il les assimile à des
cordons de perles disposées circulairement autour de la planète et

(M IIihn : Mémoire, sur les conditions d'ôijuilibre cl sur la nature probable des
cnneaux de Saturne, iS-^i.

ANALYSE DE l'hYPOTIIK-E DE F. VPL\<:E $7

alïectccs de vagues régulièies, soit dans le sens du rayon, soit dans
le sens transversal ; chaque perle est un petit satellite. Puis il cherche
les conditions pour que l'amplitude de ces vagues, nées des pertur-
bations, ne croisse pas indéfiniment, ^oici les grandes lignes de
l'analyse de ^IA\^^EI,l. (').

32. i*icnons d'abord p satellites IV i^. •••' 1*/-. Je même masse v.M
(M désignant la masse de Saturne), équidislanls sur un même cercle

J]çj. lO.

de rayon a concentrique à Saturne {fuj. lo). La distance 2 5 de deux
satellites voisins sur ce cercle est une constante :

P

Ln mouvement possible est celui où chaque satellite parcourrait le
cercle avec une même vitesse angulaire 'a déterminée par l'attraction
de la planète à laquelle s'ajoute la force centrale due à l'attraction de
tous les autres satellites. Appelions ce moxwcxnenl moiwc ment normal,
et cherchons un mouvement plan peu dillcrent de celui-là. Désignons
par

le rayon vecteur du satellite P,, et par

l',- = 2 tO + 0)1 H- 7,-

[* ] Maxwell : On Ihe staOility of ihe molion of Satuni's rings. Cambridge, iSijQ.
Maxwell' s Scienli[ic Papers, t. I, p. 288-376. Voir aussi Tisseuand : Traité de
Mécanique Céleste, t. II, (lliap. xii; et II. Poincauk : Figures d'équilibre d'une masse
jluide, Chap. viii Paris, (laulhier-Villars, 1900 ,

38 HVPOTIIKSES COSMDGONIQUES

son angle polaire. Dans le mouvement normal non troublé, on aurait

p; = G, a, = G ;

et dans un mouvement peu dilTérent, o, et 7, seront petits; nous négli-
gerons leurs carrés et produits.

Écrivons, en coordonnées polaires, les équations de mouvement de
l'un quelconque des satellites, par exemple da satellite \\ :

\ W~'''\dl! ~ r|+ dr, '
^^^ '' d^Vj dv, dr, _ i JK,

'■' di' + ^ (// "(// ~ /•, dv, '

M désigne la masse de Saturne, et

j=p

K, = V

[jiM

_ V^d -^ r) — 2 r^i-j (cos Vj — v^)

est le potentiel perturbateiu' dû à laltraction de tous les autres sa-
tellites sur le satellite Pi. fNous négligeons les attractions exercées
sur Saturne par les satellites, attractions qui se compensent d'ailleurs
presque exactement.)

Chaque satellite donne ainsi deux équations telles que les équations
(i) : il Y a donc en tout 2j) équations entre les O; et les c,. Ces équa-
tions devant admettre la solution

pi = O, ff.- = G,

les termes indépendants des o, et des Ci dans ces équations se détrui-
ront et disparaîtront d'eux-mêmes. Si, dans ces 2/) équations (i)
nous ne conservons que les termes du premier ordre par rapport auv
pi et aux cTm nous obtenons les équations

{ a- a j,

où nous avons désigné par

I rf(oR,) i rf[olV|

a dji '' a di,

ANALYSE DE l'iI YP< > TIIKSE DE LAPLACE Sq

les parties de

qui dépendent elTedivement des o, et des cr.. Les seconds n»end)res
des équations '2 sont des fonctions linéaires des c, et des 7,, puisque
nous nous en tenons aux termes du [)rouiicr ordre. Les équalrons (2)
forment un système d'équations dillércnliellos linéaires à cocIVicients
constants. On pourrait, suivant la méthode classique, les intéj^'rer par
des exponentielles de la forme

^ p, =r ll,e>:(.

Substituant ces valeurs dans les équations (2), on aurait un ensemble
de 2/) équations linéaires homogènes, entre lesquelles on éliminerait
les 11, et les K,. On trouverait ainsi une équation de degré '\p en N.
A chaque racine N correspondrait pour les équations (2) une solution
de la forme (3). Pour que le mouvement normal soit stable, il est
nécessaire que 0, et 7, restent toujours petits. Par suite, il laudrait
écrire que toutes les valeurs de N ont leur partie réelle négative ou
nulle. Cette méthode serait longue, aussi Mvxwkll procède-t-il in-
directement. Il cherche pour les équations (2) une solution [)articu-
lière de la forme

( Pi = A cos {t -^- 2 7îO + nt),
^^ ( cr; = B sin (a H- aytO - ni),

où A, B, n et a désignent des constantes et y un entier positif. 11 se
trouve que, si l'on substitue à 0, et à 7j ces valeurs (4), les seconds
membres des équations '2' prennent respectivement la forme

(o-a[ALY — BM"] cos a -h 2 7tO H- ni ,
lo^ajAMy -f- BN"] sin (a -+- 2-; iO + nt),

OÙ L-., M-, N-. sont trois constantes dépendant de l'entier y. La subs-
titution des valeurs (\) dans les équations (2) conduit donc aux deux
équations

S 3co-A -h 2 oMiB -i- n'-\ = w^afAL; — BM-;],
■( _ n'^B — o (0 /lA = wV [ÀMy -h B.\y],

^JO HYPOTIltsES COSMOGONIQUES

homogènes en A et en B et propres à déterminer n et le rapport . ,

une lois choisi l'entier y ('). Par l'éliminination de A et de B on obtient
l'équation en n

(5) {n^ -f- 3 co2 _ io-^ixL..) (/(» + (o2aN,p _ (2 ^n + (o^aM.,)' = 0.

A chaque racine n de cette équation du quatrième degré corres-
pond pour les équations (2) une solution de la forme (4)- Comme,
dans ces formules (/j), y peut recevoir une série de valeurs entières (^),
on conçoit la possibilité d'obtenir ainsi les intégrales générales des
équations (a).

33. Remarquons que, pour une solution simple telle que la solution
(4), la position et la vitesse du satellite P^à l'époque / sont les mêmes
que la position et la vitesse du satellite P,_i à l'époque

n

On peut donc dire que le mouvement se communique d'un satellite à
l'autre dans le temps

n
Chaque solution simple représente ainsi une onde ou vague élémen-
taire propageant le mouvement avec une vitesse angulaire égale à -, Le

mouvement total est la superposition des mouvements qui corres-
pondent à plusieurs ondes élémentaires. Les ondes les plus dange-
reuses pour la stabilité sont les ondes courtes, c'est-à-dire celles qui
correspondent aux grandes valeurs de y; pour de telles ondes, en
effet, deux satellites voisins pourraient se rapprocher d'une façon
sensible, et leur action mutuelle ne serait plus très petite par rapport
à l'action de Saturne.

34. Pour que le mouvement normal soit stable, il faut que toutes
les valeurs de n soient réelles : sinon les formules (/j) donneraient

(') Ces deux équations sont les mêmes, quel que soit 1 indice i du satellite que
l'on considère.

(^) Si, par exemple, le nombre des satellites est pair, p = a*/, il sulTira de donner
à Y les valeurs i, a, ..,q. yV riiacurie de ces valeurs correspondent '1 valeurs de ;i,
soit en tout l\q valeurs de n. Or, pour chaque valeur de n, les formules ('1) compor-
tent deux arbitraires (savoir a et un facteur constant). On obtient donc ainsi
85 =4/^ constantes arbitraires, comme l'exige l'intégrale générale dos équations (y).

A>ALYSE DE l'iIÏI O TIltsE DE LAPLACE 4 •

pour 0; et 7, des exponentielles en i croissant indéfiniment. Montrons
tout d'abord que, si le nombre des satellites est lini, on peut prendre la
masse aM de chacun d'eux, et par suite la masse totale de l'anneau,
assez petite pour assurer la réalité de toutes les valeurs de n. En eiïet,
le premier membre de l'équation (5) en n est de la forme

]i-[n- — W-) -t- A[JL H- IV'-
Ce premier membre sera donc négatif si, a étant Irî-s petit, on attribue
à n* la valeur — par exemple. Si donc on substitue à n dans le pre-
mier membre de l'équation (5) les valeurs

(•) w

— X) , ~= , G , +7^ 1 +<» »

\l 1 V'2

on trouvera que ce premier membre prend les signes

+ , — , + , — ,-+-•

Ces quatre changements de signe prouvent que les quatre racines de
l'équation (5) sont réelles. Il y a donc stabilité si [j. est suffisamment
petit. Bien entendu, si w est nul il y aura instabilité, et a pourra être
d'autant plus grand que w le sera lui-même : la stabilité croît avec la
rotation, comme il arrive pour une toupie ou un gyroscope.

Si m = 'j.p désigne le rapport de la masse de tous les satellites à la
masse de Saturne, Maxaaell a montré ainsi, qu'il laut, pour qu'il y
ait stabilité, que

On voit que si le nombre p des satellites augmente indéfiniment, leur
masse totale mM (c'est-à-dire la masse de l'anneau) doit tendre
vers zéro ; c'est là un inconvénient de la théorie de Maxwell ; mais
c'est un inconvénient artificiel, car l'hypothèse d'un grand nombre de
petits satellites répartis sur une seule circonférence est trop simple. Il
faudrait supposer une distribution des satellites occupant un certain
volume de l'espace ; alors la difficulté signalée disparaîtrait.

35. Limi/e supérieure de la densilé d'un anneau fluide. — Maxwell
étend son analyse au cas d'un anneau supposé fluide. Malheureuse-
ment, dans cette partie de son Mémoire, les raisonnements manquent
parfois de rigueur et même de clarté, aussi faut-il les considérer seu-

42 HÏPOTIIKSES COSMOGONinUES

lement comme im aperçu, dont la conclusion semble néanmoins
devoir être acceptée.

Décomposons l'anneau supposé fluide en un grand nombre de tran-
ches MXM'N par des plans méridiens (y?^. Il) et assimilons chaque

f"J- TI.

tranche à un des satellites précédents P,. Il s'agit de calculer les-
seconds membres des équations (2), c'est-à-dire (en elTaçant l'indice /)•

(h' ' dji '
On peut concevoir que la quantité

<I rA\)

puisse être faite égale à zéro, car elle représente (à un facteur près) le-
travail élémentaire du, dans un déplacement radial de la tranche, aux,
inégalités de l'anneau ; or, ce travail est très petit.
Calculons à présent la quantité

d{oï\)

~dT'

qui représente (à un facteur près) le travail élémentaire dû aux iné-
galités de l'anneau, dans un déplacement tangentiel de la tranche.

Appelons D la densité du lluidc dans le mouvement normal et
D H- c?D sa densité dans le mouvement troublé. Le théorème de
Poisson donne

A(R4-SR) = — /i-(D + oD),

c'est-à-dire

(5) A(oR) = -/i:r(8D).

A^\LTSE DE I.'llYPOTIlKSE DE LVI'LACE /j5-

puisque dans le mouvement normal on a

A[\ = — /i-l).

Si nous adoptons, ponr un instant, uti ave des x langent à la cir-
conférence movenne de l'anneau, nous reconnaissons que la dérivée

est bien plu> grande que les deux autres, car c'est dans le sens des x
que l'onde de condensation se propage, et nous choisissons les ondes
les plus défavorables à la stabilité, c'est à^dire les plus courtes; l'onde
étant très courte les variations dans le sens de la propagation, c'est-à-
dire dans le sens de l'axe des ./; sont très rapides; nous |)Ouvons donc
écrire, au lieu de l'équation (5),

(O; 'i:g^ = -4.(îD).

La contraction a eu pour ellcl de niulli[)lier la densité de la tranche
par

elle a multiplié son épaisseur par

''^\.
%/..)'

comme sa masse totale n'a pas changé, on doit avoir

oD\ / à-

c'est-à-dire

'^ D ['~''dx) = '^

"* dx ~ D

Alors l'équation (G) donne la suivante

(Le- ax

d'où l'on tire, en intégrant,

— ^j — ■- ou — >,^ = Ix-axJ-.
ax a a-

44 HYPOTHÈSES COSMOGOMOLES

Le second membre de la seconde équation (2) est donc

nous avons vu d'ailleurs que le second membre de la première équa-
tion (2) peut être pris égal à zéro.

Si maintenant dans les équations (2) nous substituons les valeurs
(4) de p et de 7, nous obtenons

( 3<o2A -h 2w/jB 4- n\\ = G,

) — n^B — 2io7iA = 4^DB;

et l'élimination de A et de B entre ces équations conduit à l'équation
en II

OU

n'^ _ (,^2 _ /,;,D)n2 + i2-t«2D = o.

Celte équation bicarrée en n doit, s'il y a stabilité, avoir ses racines
réelles, ce qui exige que

(to- — /JTiD)- — /jSttcu-D > o;

cette inégalité peut s'écrire ainsi :

M' — 5G:tDoj2 -if- i67:-D- >> o.

Nous savons déjà que la masse de l'anneau et, par suite, sa densité
doivent être petites pour qu'il y ait stabilité. Négligeant donc D-, nous
obtenons la condition

w^ > 56-D,
d'oij nous tirons l'inégalité

(7) 4.D<^^

qui fixe une limite supéricnir à la densité de l'anneau. Maxw cll con-
clut que si l'anneau était liquide sa densité ne pourrait pas surpasser
3^ de celle de la |)lancte. Ce résultat est vrai pour tm anneau de
poussières cosmiques comme pour un anneau liquide : la stabilité
ne peut cxi>^tcr que si la densité est suffisamment petite.

ANALYSE DE l.'llïl'OTIIl'.SE DE LAI'LVCE 45

36. Liniile iiifcricurc 'le lu dc/isiti- (11111 (inncaii fln'ulc. — Un cal-
cul ([uc nous avons déjà fait à la fin de la Section II (p. 23), donne
une limite infcrieiire pour la densité d'un anneau fluide homogène
su[)posé tourner d'une seule pièce avec la vitesse angulaire oj : l'an-
neau n'est stable que si sa densité o satisfait à l'inégalité

l8) ? > "^^ •

^ ^ '271

Le même raisonnement nous permet même de dire que, pour une
masse fluide homogène tournant autour d'un axe avec une vitesse an-
gulaire constante o) et soumise à l'altraction mutuelle de ses molé-
cules, aucune fi<i lire ncsl stable si l"mé(jaiilc (8) nesl pas salis/aile f \
Si, dans cette inégalité, nous prenons pour w la vitesse angulaire d'un
satellite dont l'orbite coïnciderait avec l'anneau de Saturne, nous
trouvons que la densité o de l'anneau doit être supérieure à -V de
celle de la planète. Cette condition est incompatible avec celle de
Maxwell et elle nous force à rejeter rhypothèse de la lluidité des
anneaux de Saturne. Comme ces anneaux ne sont pas non plus so-
lides, d'après Maxwef.l et d'après IIiiw, nous sommes amené à les
regarder comme formés d'un grand nombre de corpuscules indépen-
dants : le calcul de MaxwELL nous a appris qu'une telle constitution
peut être stable si la masse totale de l'anneau est assez petite.

37. La limite inférieure de la densité, donnée par l'inégalité (8), a
été trouvée en supposant que la vitesse angulaire o) est la même pour
tout le fluide. AH'ranchissons-nous de cette hypothèse et considérons,
comme dans la Section IV, une masse fluide tournant d'un mouve-
ment permanent autour d'un axe de révolution x'x {/kj. 7, p. 3o),
la vitesse angulaire o) variant d'un anneau élémentaire AA' à l'autre.
Conservant les notations de la Section IV, nous avons (p. 82) la

relation

'j — n — P ^ const.

Or, la pression p est nulle à la surface et positive à l'intérieur du
lluide ; donc

"-j?'

(*) H. PoiNCARÉ : Sur VcquiUbre (Vnne masse Jlulde animcc cVun mouvement de
rolalion, i885 (Bulletin astronojnique, t. II, p. 117).

46

llYI'OTlll:^iES COSMOC;0>'lQtES

■présente un maximum à rinlcrieui-; par conséquent H en est de même
de l'expression

o - P.
Il y a donc certainement, à linléiieur de la masse iluidc, un point
(ou plusieurs) où l'on a

■(9) A('..-P)<o.

Or, rappelons-nous que ç^ ne dépend que de la dislance

R = v/j' + ^'
à l'axe de rotation ; on a

-et comme on a (^p. 32
il vient

Aç = o" + J^ ;

)2R,

\'ji = 2 (.oo)'R -h 2 w- ;
•d'ailleurs, le théorème de Poisson donne

A(-P) = -4::o.

L'inégalité (9} montre donc qu'il existe à l'intérieur de la masse fluide
des points satisfaisant à la condition

{10) 2 w- -H 2ww'R — ZiTTO <; O.

Si nous supposions que 03 ne varie pas avec R, nous retrouverions
la limite inférieure de la densité donnée par l'inégalité (S).

38. Nous pouvons même serrer davantage l'inégalité 'io\ Consi-
dérons un anneau lluide dont la méridienne est QQ' et qui tourne

^_

QK^^Q'

JC

autour de son a\c ox {fig. 12). Nous venons de dire qu'il existe à
l'intérieur du Iluidc des i)uinls A où çj — ■ P est maximum ; le lieu de

\>.Vl.YSE DE L'ilYPOTlirsr l)F, L\1'1.ACK

47

CCS points est ici un cercle d'axe xx cl Je laNOu oV. Uf, en un point
oii c; P est maximum, on a, non seulement

mais encore

A('f-P)<o.

ax-

00 \ ^-df- <"•

€I^^I)<o.

Pour lanncaii de Saturne nous pouvons poser

_ P = -^' ^ et-.

- étant le potentiel dû à ratlracllon de Saturne et c?P étant le poten-
tiel dû à Paltraction de l'anneau sur lui-mOmc. Calculons séparément
les trois dérivées secondes en x, y, r de

O, — ,01

r

ivu point Ade l'axe des y [fuj. 12} où 9 — P passe par un maximum.
Nous trouvons qu'on a, en ce point A,

^■? — O 1-. = i"' + 2 coco 'y , ',1, = '"- '

d:r^ — " ' c(v^ ^'

-j^ = - p • d^2 - Y ' d-j f '

£ et 1' sont de petites quantités positives; d'ailleurs, au point A consi-
déré, ^l diffère peu de or (troisième loi de Kûpler), et l'on peut écrire
approximativement

.=^i ^'':. '4' .,
^=--. ^-=="'' -3-=--

'■3 HYPOTHÈSES COSMOGONIQUES

Il esl aisé de se rendre compte de l'erreur commise en écrivant ces

, M ., .

équations ; on a remplacé ~.^ par «^ ; l'équation exacte s'obtient en

y

écrivant

d(o

dy --
ou

do d M doV _

dy dy r dy ~ '^

ou

M doV

oj-y , H — T — = o.

J J- dy

do P
L'erreur commise est donc de l'ordre de — ,- ; si les dimensions de la

section méridienne de l'anneau sont très petites par rapport au rayon

de l'anneau (c'est-à-dire par rapport à y ou à R) -7,- sera de l'ordre

de — : a étant l'une des dimensions de la section méridienne, il sera

J
donc négligeable non seulement d'une manière absolue, mais devante,

c'est-à-dire devant • et c qui sont du même ordre que 0.

vUors les trois inégalités (11) donnent les trois suivantes

_ o>2 - ç < o.

3 w- -f- 2 tooj'y -{- e -f- £' — lx~p <^ o,
— £' < O.

La première et la troisième sont satisfaites d'elles-mêmes. De la
seconde on lire, en remplaçant r par 11, et se rappelant que 1 et 0'
sont positifs, l'inégalité

(l'î). 3 to- -H 2 w lo'R <^ 4 ■'^p.

donnant pour la densité p une limite inférieure plus précise que la
limite donnée par l'inégalité (10).

Si donc la distribution des vitesses angulaires dans l'anneau est
telle que le premier membre de l'inégalité (12) soit positif, il existera
une limite inférieure de la densité; si, au contraire, ce premier
membre est négatif il n'en existera pas : or, ce premier membre est
positif ou négatif suivant que (,ylV croît ou décroît quand 11 aug-
mente.

ANALYSE DE L inP0TIlî;5E DE LAPLACE .'ig

VI. — Rupture des anneaux de Laplace. Formation des planètes.

39. Kevenons maintenanl aux anneaux abandonnés par la nébu-
leuse de Lmm.ace dans le plan de son équaleur, et montrons qu'il
arrivera un moment oîi ils seront nécessairement instables. Nous
venons de trouver, dans la Section précédente, une limite supérieure
et une limite inférieure pour la densité o d'un anneau fluide. Pour
qu'il y ait stabilité on doit avoir à la fois, d'après les inégalités j)
et (12),

/ 0

(.3) '-■=<û-

4 ~? > -5 *'i' 4-2 0) to'U.

A l'instant où l'anneau est abandonné, sa densité est très petite,
donc la première inéf^alité est vérifiée. De plus, les particules de
l'anneau se mouvant selon la troisième loi de Kepler, on a

w-R^ =^ const.

et par suite, en différcntiant et en divisant par R",

3 w- H- :> w w'R = o ;

la seconde inégalité est donc vérifiée aussi.

Donc l'anneau est stable au début. Mais cet état de cboses ne peut
pas durer. D'abord, par suite du refroidissement, la densité p aug-
mentera et la première inégalité pourra cesser d'être satisfaite.
Ensuite, le frottement des couclies les unes sur les autres tendra,
d'après Lapl\ce, à uniformiser la vitesse angulaire (,) qui deviendra
constante : la dérivée fj)' devenant nulle, les deux inégalités (i3)
deviennent incompatibles, et l'anneau ne peut pas subsister.

40. D'ailleurs, une cause autre que le frottement agit pour rendre
<o uniforme et oï nul. Cette cause est celle qu'indique L.vplace et que
nous avons déjà signalée (Gliap. I, p. lo, fig. i). A l'instant /o oii
l'anneau est abandonné, la troisième loi de Kepler donne, entre la
vitesse angulaire Wo d'une particule et sa distance Ro au centre, la
relation

(M) • wgRg = M.

PoiHCABÉ. 4

irTPOTHliSES COSMOGOMQUES

A une époque ultérieure /, l'anneau s'est rétréci et a diminué d'épaisseur
par suite du refroidissement; le moment de rotation de chaque par-
ticule étant demeuré constant, la nouvelle vitesse angulaire w et la.
nouvelle distance au centre R vérifient Téqtiation

(i5) wR2 = tooR^.

Comparant l'équation (i\) à l'équation i5) il vient

(16) -=i;.vm-

L'anneau étant très mince, nous prenons pour unité son rayons
moyen et nous posons

R = I + s,

c et £p étant de petites quantités. La contraction ). étant mesurée par

le rapport 7- , on a

'0

la vitesse angulaire o) à l'époque / est donnée par l'égalité (16) qui
s'écrit

v/m(i +-;"-..)

Quand la contraction aura atteint la valeur À = , , oj aura atteint, or»

le voit, une valeur constante y M .

Ce mécanisme concourt donc avec le frottement à imiformiser la
vitesse de rotation de l'anneau et à la rendre constante, les particules
les plus e.vternes acquérant ainsi une vilesse linéaire plus grande que
les plus internes, comme le voulait Lapi, ace pour expliquer la rotation
directe des planètes. Malheureusement l'anneau de\icntlra instahie
avant que cet état de rotation uniforme ne soit atteint, puisque les
deux inégalités (i3) seront devenues incompatibles.

A>".VLÏSE DE l'hïPOTIIKSE DE LAPLACE 5t

41. T/anneau. n'étant pins stal)le, se rompra en plusieurs parties,
qui ne seront encore que des masses ga/cuses plus on moins dilVnses,
décrivant chacune un cercle autour du Soleil, à la façon d'un satellite.
Si toutes ces masses gazeuses étaient juste à la même dislance du-
Soleil elles n'arriveraient pas à se rencontrer. Mais, si leurs dis-
tances au Soleil sont un peu diilërentes, leurs vitesses angulaires le
seront aussi, et par suite lune des masses rejoindra l'autre : si la
dilTérence de leurs distances au Soleil est plus petite que la somme
<les ra\ons dos deux niasses, celles-ci se choqueront et se réuniront
en une seule. Nous com[)renons ainsi comment les diverses masses
en lesquelles s'est brisé l'anneau peuvent arriver à se réunir en une
seule et à donner une planète unique.

42. Cause (le l<i rolalioii directe. — Il s'agit maintenant d'expliquer
pourquoi cette planète aura en général un mouvement de rotation
direct, puisque rex[)lication de Laplace est insuflisante. Considérons
deux masses gazeuses M et M' provenant de la rupture de l'anneau
et dont les distances au Soleil sont un peu dilTérentes {Jig- i3).

M'

fiO- i3.

D'après la troisième loi de Kli'leu. la masse la plus éloignée M' a
une vitesse moindre c[ue la plus rapprochée ^I : c'est donc M qui
rejoindra M', \iendra la choquer et se coller à elle. Il semble, à pre-
mière vue, que la planète résultant de ce choc aura un mouvement de
rotation rétrograde, puisque ses parties internes auront des vitesses
plus grandes que ses parties externes. Mais la masse gazeuse globu-
leuse, grossièrement ronde, résultant de la réunion de M et de M',
n'est pas soustraite à toute action extérieure. Elle subit l'attraction
du Soleil ; cette attraction lui fera prendre une forme allongée vers
cet astre, l'attraction solaire tendant toujours à ramener son grand
axe dans cette direction. Il se produira donc dans la masse des
marées internes considérables accompagnées de frottements, qui
tendront à rendre éixales la durée de rotation et la durée de révolution.

HYPOTIFESES COSJIOGOMOIES

Ce mécanisme ne dillère pas de celui qu'invoquait Laplace pour
expliquer le fait que la Lune présente toujours à la Terre le même
hémisphère (Chap. II, p. i3.)

La masse planétaire arrivera donc à présenter une durée de rota-
lion égale à sa durée de révolution, et à ce moment sa rotation sera
devenue divecle. La condensation augmentant \yàv suite du refroidis-
sement, celle vitesse de rotation directe tend à augmenter; mais les
marées tendent à la maintenir égale à celle de révolution. Au déhut,
l'influence des marées l'emportera et les deux vitesses seront égales;
puis, l'influence des marées diminuant, la masse planétaire commen-
cera à présenter une librallon; enfin, la condensation se poursuivant,
l'influence des marées cessera d'être prépondérante et il y aura nne
rotation directe plus rapide que la révolution (voir au Chap. YII ce que
nous disons à propos de la théorie de Darayim). L'action des marées
diminue, en effet, à mesure que la contraction se poursuit, car la
marée sur un astre dépend de la différence entre l'attraction solaire à
la surface de cet astre et l'attraction solaire en son centre ; cette
différence est évidemment plus faible pour un petit astre que pour un
gros.

Cette expliquation de la rotation directe de la plupart des planètes,
fondée sur l'action des marées est, semble-t-il, la meilleure. Si les
planètes les plus extérieures (Uranus et Neptune) ont une rotation
rétrograde, c'est, sans doute, que leur très grand éloignement a rendu
la marée solaire très faible et insulTisante à produire la rotation
directe.

VII. — Formation des satellites.

43. Nous venons de nous rendre compte comment un anneau de
Laplace, en se rompant, a pu se transformer en une masse sphé-
roïdale généralement animée d'un mouvement de rotation direct.
Cette masse sphéroïdale, que nous appellerons nébuleuse planéhure,
pourra à son tour engendrer une planète accompagnée de satellites.
Cette nébuleuse planétaire, en effet, est comparable à la nébuleuse
solaire, mais sous de moindres proportions. Elle pourra, par l'effet
de la condensation, abandonner le long de son équateur des anneaux
nébuleux qui finiront par engendrer des satellites.

ANALYSE DE l'iIYI'OTHÈSE DE LVPLACE 53

Toiîiefois, tandis que la nébuleuse solaire, libre de toute action
extérieure, présentait une ligure de révolution autour de son axe de
rotation, la nébuleuse planétaire est soumise à l'influence de l'attrac-
tion solaire cpii \ produit des marées : sons cette influence la nébu-
leuse planétaire s'allonge dans le sens du Soleil et tend à tourner
constamment vers cet astre les mômes points de sa surface. Ainsi
s'établit, comme nous l'avons dit, l'égalité entre les durées de rota-
lion et de révolution de la nébuleuse planétaire. Cette égalité qui,
pour une raison analogue, a lieu encore aujourd'hui pour la Lune et
probablement pour plusieurs satellites, ainsi peut-être que pour les
planètes Mercure et Vénus, a dû se rencontrer chez toutes les planètes
dans la première phase de leur existence.

Tant que s'est maintenue cette égalité, la nébuleuse planétaire a
du rester dans des conditions impropres à la formation de satellites.
En effet, son volume V diminuait par suite de la contraction, mai^3 la

, j , t'j"N ,. . . ...

vitesse 03 restait la même; donc ^, dmimuait, condition incompa-
tible avec la production d'anneaux, ainsi que nous l'avons vu dans
la Section III. Si l'égalité entre les durées de rotation et de révolu-
tion a lieu encore actuellement pour tous les satellites, nous nous
expliquons pourquoi il n'y a pas de satellites du second ordre.

44. Etudions de plus près et analytiquement les conditions ovi s'est
trouvée la nébuleuse planétaire dans cette première phase oii elle tour-
nait sur elle-même dans un temps égal à celui de sa révolution.
D'abord, on peut faire au sujet de sa constitution deux hypothèses
très différentes : on peut la supposer à peu près homogène, ou bien
avec une très forte condensation centrale. Pour la nébuleuse solaire,
la seconde hvpothèse s'imposait à l'exclusion de la première (Sec-
tion II). Mais pour une nébuleuse planétaire elle ne s'impose pas
autant, et il y a lieu d'examiner successivement les deux hypothèses.

45. Cas d'une masse homorjène. — Etudions donc en premier lieu
les conditions d'équilibre d'une masse fluide homogène animée d'un
mouvement de rotation uniforme o) autour d'un axe de direction fixe
Ox passant par son centre de gravité o ; cette masse est soumise à
l'attraction mutuelle de ses parties, et aussi à l'attraction d'un astre
éloigné G (Soleil) situé dans le plan de l'équateur. Nous supposerons
que, en vertu de cette dernière force, le point o décrit un cercle ayant

54

HYPOTHESES COSMOGOMQLES

son centre en C, et que la durée de révolution est égale à la durée de
la rotation de la masse fluide autour de ox ('). Ce sont bien là des
conditions analogues à celles où se trouvait la nébuleuse planétaire
>cjue nous éludions.

Prenons pour axes rectangulaires mobiles (fig- i4) l'axe de rotation
'OX, l'axe oy dirigé vers le Soleil G et Taxe o:, perpendiculaire aux

J>9- l'i-

deux précédents. Dans ces conditions, la tliéorie élémentaire des
marées nous apprend que le potentiel perturbateur dû à l'attraction
solaire est

0-^ - -),

M' désignant la masse du Soleil et / sa distance au point o. Si M est
la masse du fluide en mouvement, la troisième loi de Kkpler donne
l'équation

,o-^/^^ =: M + M' ;

d'où nous tirons, en appelant

M'

le rapport de la masse fluide à la niasse solaire,

M'
P

(') E. I^ocuE : Mrinoirc sur la fi(jui'c d'une masse Jluide soumise à l'atlraclion
d'un point iHoifjné, i^\q, iSâo, i85i [Acad. de Montpellier, Section des Seiences, t. I,
p. '>.'['^ et 3,'î,'?, t. 11, p. 2T1. Voir aussi Tisseuand : Traité de Mécanviue (Céleste,

i. 11, Cil. AIII, p, 1 lO.

AX.Vl.ïSE DE L UYPOTIlliSE DE LVPLVCE 03

par suite nous pouvons écrire

V3 = — ^"^ (2y2 _ x' - c2),

•* 2(t -f- [Xj ^ ' '

Le polenlicl lIù à la force centrifuge est

2 - ^

\ous voulons prouver que la masse iluidc homogène peut prendre,
dans l'équilibre, la figure d'un ellipsoïde

, , .-r- y- c-

(17 0 -H 'rr, -h~, = I,

^ " a- Ij- c-

donl les axes sont dirigés suivant ox, oy, oz. On sait que le potentiel
d'allraclion à l'intérieur d'un tel ellipsoïde homogène peut s'écrire

V, = — l (IV^ -h (y- -h R:^),

P, Q, Il étant trois constantes. Si l'on désigne par

■(^^) •^ = /y.. ' = ,-.'

les carrés des rapports d'un des axes de l'ellipsoïde aux deux autres,
ces trois constantes ont pour valeurs

n _ r ''"

■où l'on a posé

A = \\i -h u){i -+- s«)(^i -+- lu].

Donc, lorsque la masse homogène affecte la forme de l'ellipsoïde
{17), le potentiel total a pour valeur

56 IIYl'OTIliisES COSMOGOMQUES

Pour montrer que l'ellipsoïde (17) est une figure d'équilibre, il sullit
de l'aire voir qu'on peut l'identifier avec une surface équipotentielle

A', + V^ + V3 = const. ;

cette dernière équation s'écrit

— (PX2 ^- Q/ -}- Rc2) -^ to2(_v2 + ;-3N _|_ ^_^ (^V^"' — x' — 2^) = COUSt.,

1 —)— [^

et l'identification avec l'équalion (17) donne

Avec la notation (18), ces deux dernières équations s'écrivent, on le
voit de suite,

n p. - to-(s + 3 -+- ix)

I -t- IX

I H- (i.

Ce sont deux équations aux deux inconnues 5 et / : elles détermineront
les rapports des axes de l'ellipsoïde qui est une figure d'équilibre. Si
nous posons

ces deux équations s'écrivent, en remplaçant P, O, R, par leurs va-
leurs (19),

V s(i — s) ( uda

-h [i *■ + 3 + |Jt J„ (i -^ u)(i + su)A
(20) <( .^

i(\ — /) r udii

~ < + F Jo (i + «)(! -i-'«)A"

Puisque V est essentiellement positif, s et / seront toujours plus petits
que 1, c'est-à-dire que l'axe de rotation sera toujours le petit axe de
l'ellipsoïde.

46. La seconde des équations (20) peut être considérée comme
représentant une courbe dans le plan des st. Si nous construisons la
portion de cette courbe intérieure au carré

o < s < 1,
o</ < I.

ANALYSE DE l'iIïI'OTIIÈSE DE I.VPLVCE

5?

nous tiouvons qu'elle a la forme représentée sur la figure i.) : elle se
compose de deux branches AB cl OD. Pour la brandie Alî, nous
avons t > s : l'ellipsoïde a son grand a\c dirigé vers le Soleil, ce qui

s = 1

A

\ /f

>

1

II

/^'' \

■0

t'

f"J- '•'••

correspond a des formes stables. Au point A Tellipsoïde se confond
avec une sphère, au point B c'est une aiguille infiniment allongée, a
section circulaire. La branche OD pour laquelle t < s, correspond
à des ellipsoïdes allongés dans une direction perpendiculaire à celle
du Soleil ; ces ellipsoïdes sont des figures toutes instables. Au point D
l'ellipsoïde est une aiguille très allongée à section circulaire, au
point 0 c'est une aiguille très allongée et à section aplatie.
Si l'on examine comment varie

V =

lorsqu'on chemine sur ces deux branches de courbe, on reconnaît que
Y partant de o au point A. commence à croître, passe par un maxi-
mum, puis reprend en B la valeur o. De même V part de o au pomt
D, passe par un maximum et s'annule de nouveau au point O.

Si l'on considère le moment de rotation, on constate que, nul en
A, il ne cesse de croître le long de la branche AB et devient infini en
B (en ce point B, le moment de rotation est infini, bien que la vitesse
angulaire soit nulle, car le moment d'inertie de i'aiguille infiniment
allongée est infini).

47. Etudions spécialement deux cas particuliers. Soit d'abord
7, = GC , c'est-à-dire que la masse M' de l'astre perturbateur G est

HYPOTHESES COSMOGOMOIES

supposée négligeable par rapport à la niasse liquide M en rotation. La
question revient alors à chercher les formes d'équilil)re d'une masse
fluide homogène animée d'une rotation uniforme et soustraite à toute
action extérieure, problème connu : les deux branches de courbe AH
et OD de notre représentation graphique se rejoignent alors en un
point H, et la figure i5 se transforme en la figure i6; la ligne OV
bissectrice des axes de coordonnées correspond à des ellipsoïdes de
révolution (ellipsoïdes de MAC-LAiRn) ; la ligne DB correspond à des
■ellipsoïdes à trois axes inégaux (ellipsoïdes de Jacobi).

s = ±

A

\ /

xi/

•vj

t

fuj. 1(3.

48. Le second cas particulier que nous envisagerons est celui tb
y, = o. La masse fluide en rotation est alors très petite par rapport à
la masse de l'astre troublant G (c'est le cas d'une nébuleuse plané-
taire dont la masse est très petite par rapport à celle du Soleil). Dans
ce cas, la branche OD de la figure i5 vient s'a[)latir contre l'axe des /,
tandis que la branche AB subsiste. Quand on parcourt cette branche
AB, la quantité A part de o, passe par un maximum égal à o,o4t),
puis décroît jusqu'à o. Pour qu'une forme ellipsoïdale d'équilibre soit
possible, il est donc nécessaire que l'on ait

V = < o,oZi<)

2 -3

Cette inégalité va fournir ime limite supéiieure que n'a pas pu dé-
passer le diamètre d'ime nébuleuse planétaire (supposée ellipsoïdale
et homogène}. Prenons, par exemple, la nébuleuse planétaire qui a
engendré Ju[)iter. Si /• désigne un ra\on movcn de l'ellipsoïde
qu'était initialement celte nébuleuse, la niasse i\I de celle-ci (M est

a:<alyse de l'htpotiii:se de lvi'lvce •'O

appro-timativement la masse de Jupitci ) est égale à

(21) M==.^.p, ,

d'ailleurs, /désignant la distance de .Inpiter au Soleil dont la masse

est M', on a

(2.) ^'l' = ^l'-

La comparaison de l'égalité (21) et de l'égalité (21.) donne

(jï

Sw^M 3 M ,,
— li-p M' ~ 2 M'

Puisqu'il faut que

V < o,o/|0

et que

M

j^=O.OOL

environ, on voit que le rayon moyen /• de la nébuleuse de Jupiter

devait salisl'aire à l'inégalité

/ r \ ■' 3

( j < X o.ooi X o,oAt).

d'oii l'on tire

^<o,oAi.

Or /= 5,2 (le rayon de l'orbite terrestre étant pris pour unité);

donc

/• << 0,2l3.

Prenant pour unité le rayon de Jupiter, cette inégalité signifie que
;• doit être inférieur à /i4o rayons de Jupiter.

Ainsi la nébuleuse planétaire qui a engendré Jupiter et son cortège
de satellites n'a pas dû avoir initialement un rayon moyen supérieur à
4jio rayons actuels de Jupiter. Les satellites n'ont donc pas du se
former à une distance plus grande. En effet, le plus éloigné des satel-
lites actuellement connus est à une distance de la planète égale à
357 rayons. Mais, si l'on venait à découvrir un satellite à une dis-
tance notablement {') supérieure à A^o rayons, il y aurait là un sérieux
argument contre la théorie.

' Je dis nolablemenl, car r est le rajon moyen de la nébuleuse ; or, celle-ci est
allongée vers le Soleil, donc son plus grand rayon peut dépasser sensiblement r.

6o IlYPOTlliiSES COS.MOGO.NIQUES

49. Cas d'une masse à Jorle condensation. — Envisageons à présent
l'hypothèse où la nébuleuse planétaire, qui tourne autour du Soleil
en un temps égal à celui de sa rotation, présenterait une très forte
condensation centrale de masse M, et cherchons la figure d'équilibre
relative de son atmosphère.

Adoptons les mêmes axes de coordonnées que précédemment (//y. i4).

Le potentiel d'attraction du à la condensation est -7 (nous négligeons

l'attraction mutuelle des molécules de l'atmosphère); le potentiel dû à
la force centrifuge est

Y 0'- + ^-) ;

le potentiel total est

= - -+--0'' + ^'-) + ^?,

c'i représentant le potentiel dû à l'action perturbatrice du Soleil, situé
en C sur l'axe des y (potentiel que nous avons appelé plus haut V3).
Les surfaces de niveau ont pour équation

U = const.

Lorsque c'^ est nul, nous retrouvons l'équation déjà discutée (Section I),
et les surfaces sont de révolution : l'une d'elles présente un cercle
double équatorial formant arête saillante. Mais il n'en est plus de
même lorsque S'-D n'est pas nul. Dans ce cas, l'unedes surfaces acquerra
un point double si l'on a à la fois

d\] d[] dU

dx = ''' 7^=°' d? = °-

La première de ces équations est vérifiée dans le plan x = o, par rai-
son de symétrie ; les deux autres, en prenant des coordonnées polaires,
c'est-à-dire en posant

y ^= r cos 0, z ^ r sin 0,
sont équivalentes à

(/U d[]

7/r = ^' ./O = °-

Ces deux dernières nous donneront les coordonnées polaires du point
double ; on aura

dU M , d'^

dr r- dr '

ANALYSE DE I.'m TPOTII |":SE DE LvPLACE Ol

£ étant très petit, cette équation donne approximativement

A\aiit ainsi la distance ;•, nous la portons dans l'équation

f/U

S = °'

qui donnera l'azimut 0 du point double. Comme

dV _ (h

dfi ~~ ' (70 '

nous voyons qu'en ce point double la fonction '> passera (en tant que
l'onction de 0), par un maximum ou par un minimum : on reconnaît
aisément qu'elle passera par un maximum.

Dans le cas actuel, la fonction perturbatrice î'> due à l'action so-
laire a pour expression

^? = 2-;3 (2J' — ^' — 2'',

M' désignant comme plus haut la masse du Soleil et / sa distance au
centre. Elle présente, pour une valeur donnée de r, deux maxima
égaux, en deux points de l'axe des y.

Donc l'une de nos surfaces de niveau présente deux points doubles
ou points coniques ; les surfaces de niveau extérieures à celle-là ne
sont plus fermées.

50. Jusqu'ici la durée de rotation de la nébuleuse planétaire a été
supposée égale à sa durée de révolution, et nous avons dit (n" 43]
que, pendant toute la période oii s'est maintenue cette égalité, la né-
buleuse n'a pas dû former de satellites. Lorsque, par suite de la con-
densation, la marée solaire est devenue plus faible, la rotation s'est
accélérée, et la nébuleuse planétaire a cessé de présenter constamment
au Soleil les mêmes points de sa surface. Roche admet que, dans
cette seconde période, l'atmosphère planétaire prend à chaque ins-
tant la figure avec laquelle elle pourrait être en équilibre sous l'action
du Soleil : sa surface libre est allongée vers le Soleil, et peut acquérir,
aux sommets du grand axe, deux points coniques comme ceux dont
nous parlions plus haut. C'est par ces deux pointes opposées que la
contraction laissera s'échapper l'excès de fluide atmosphérique, et

Ga IIÏI'OÏIIÈSES COS.MO(;0MQLES

non plus par toute une arête saillante équatoriale, comme il arrivait
pour la nébuleuse solaire de révolution. Donc, au lieu d'un anneau
régulièrement disposé autour de la planète, nous aurions une émission
de matière s'elïectuant par deux points opposés, llocni: pense que les
diverses masses ainsi délaissées ne présenteraient aucune condilion de
stabilité ni de durée, et qu'en réalité les satellites ne se sont pas formés
dans cette seconde période : ils appartiendraient à une phase bien
postérieure oh la durée de la rotation se trouvait déjà tellement ré-
duite que l'allongement de la nébuleuse planétaire vers le Soleil était
presque négligeable. La nébuleuse planétaire, devenue alors tout à fait
comparable à la nébuleuse solaire, aurait abandonné des anneaux
ordinaires de Laplace qui auraient engendré les satellites.

Dans ce cas, aucun satellite ne se serait formé avant que la nébuleuse
planétaire ne soit assez contractée pour que la ditTérence R' — R",
entre son plus grand et son plus petit rayon équatorial, soit descendue
au dessous d'une certaine limite 0. Estimant assez arbitrairement
cette limite û à fi,ô rayons terrestres, Roche en conclut, pour le
rayon IV des dilTérentes nébideuses planétaires, au moment où elles,
ont pu commencer à abandonner des anneaux équatoriaux, les va-
leurs suivantes (exprimées en rayons de la planète correspondante) :

Jnpiler Saturno Uranus JNejitune

48,6 G^,/| i55 200

C'est seidement en deçà de ces distances qu'on doit s'attendre à
trouver des satellites. Les satellites anciennement connus satisfont
bien à cette condition. Mais il n'en est plus de même pour certains-
satellites récemment découverts : pour Jupiter, par exemple, on
connaît un satellite à une distance de la planète égale à oô~ ravons.
Il y a donc lieu de penser que. contrairement à l'opinion de Roche,
les masses gazeuses abandonnées par les deux ]ioints coniques de la
nébuleuse dans la seconde phase de son existence ont pu concourir
à la formation de satellites. Gela, en elTet, ne parait pas impossible
à imaginer : les masses successivement abandonnées auraient pu se
répartir sur un anneau ; mais si, ce qui est le plus probable, aucun»
anneau n'avait pu se former, on se serait précisément trouvé dans les-
mêmes conditions qu'après la rupture de lanneau devenu instable..
Que cet état ait été atteint en passant par une phase d'anneau stable^

ANALYSE DE l'uYI'OTHKSE I>E LVPI.ACE 65

OU sans passer par celle phase, la foniialioii d'un salellile aurait tou-
jours pu en résulter par un mccanisuie identique.

51. Cas (le la Lune. — Uociin estime que la Lune se présente, à
divers points de vue, comme un satellite exceptionnel :

« Elle se dislingue, dit-il, par la grandeur de ses dimensions et de
sa masse coniparées à celles de la Terre, par rexccntricité de son
orbite, surtout par sa distance à la Terre. Saturne et peut-être Lranus
en ont un aussi éloigné comparativement au rayon de la [)lanète,
mais c'est alors le dernier d'une série de satellites. Ici le satellite est
unique. » {Essai sur la coii^iUiUioii cl l'orif/uic du syslcmc solaire^
n" 52.)

Ces raisons lui font attribuer à la Lune une origine spéciale :

(( Il a pu arriver aussi exceptionnellement, et telle est l'origine pro-
bable de la Lune, quun amas de vapeurs déjà refroidies s'étant formé
au dedans de la nébuleuse terrestre, dans la région équaloriale et à
une certaine profondeur, cet amas soit devenu un centre de conden-
sation autour duquel se sont groupés d'autres amas semblables. De
cette agglomération est résultée, dans l'atmosphère même de la Terre,
une nouvelle nébuleuse, origine de la Lune. » {loc. cil., n° 58.)

Le système Terre-Lune serait donc comparable, dans cette manière
de voir, à une sorte de planète double. Nous sommes donc très loin
des idées de L.\i'lace.

52. Anneau (Je Salurne. — Pourquoi le dernier anneau équalorial
abandonné par la nébuleuse de Saturne est-il resté sous forme d'an-
neau et n'a-t-il pas donné un satellite ? C'est, d'après Roche, parce
qu'à une aussi faible dislance de la planète, ime masse fluide ellipsoï-
dale n'aurait pas pu être en équilibre. l\appelons-nous en ellet ce que
nous avons dit relativement à une masse fluide homogène, soumise
à l'attraction d'un astre central éloigné (ici Saturne) et animée d'une
rotation uniforme d'une durée égale à celle de sa révolution. Lorsque
la masse fluide est très petite par rapport à celle de l'astre central
fcas de u. = o , nous avons vu (n" 48) qu'il faut avoir

-"-- ■< o,o/|G

'2 ■■0

C4 IIÏPOTIIÈSES C05JI0G0MQUES

pour qu'une forme ellipsoïdale d'équilibre soit possible. Mais la lidi-
sième loi de Kepler donne

M désignant ici la masse de Saturne et / sa distance à la masse fluide:
il faut donc que

M'

2TT0/^

-< o,oZ|G.

Remplaçons M' par .. -r^â, r et r) étant le rayon et la densité de
Saturne, l'inégalité précédente devient

Si, pour fixer les idées, on suppose les deux densités égales, â = p,
la condition d'existence du satellite lluide est simplement

D'où cette conclusion : à une distance de la planrte inférieure à
deux fois et demie son rayon, un satellite de môme densité à létat
lluide ne saurait se maintenir sous forme ellipsoïdale. Comme le
rayon moyen de l'anneau de Saturne est inférieur à cette distance, sa
matière n'a donc pas pu s'agglomérer en un corps unique. Cela
appelle les observations suivantes : à cette distance une forme annu-
laire lluide ou solide est instable ; nous l'avons vu et nous en avons
conclu que l'anneau se composait de satellites tiès petits et ellipsoï-
daux. Mais d'après Roche, mie figure ellipsoïdale (en supposant l'éga-
lité des vitesses de révolution et de rotation) est également instable.
Nous devons donc conclure que les petits satellites dont est composé
l'anneau ne présentent pas toujours la même face à Saturne.

VIII. — Objections à la Théorie de Laplace.

53. Nous avons exposé en détail les développements théoriques aux-
quels ont donné lieu les idées de Lapl.vce. Voyons maintenant les
quelques objections que l'on peut faire et que l'on a faites en clïet à
cette théorie.

ANALYSE DE L HYPOTHESE DE LAPI..VCE

Le biilde Laplace était de rendre compte de la fail^lessc des excen-
tricités et des inclinaisons, et du sens direct de tous les mouve-
ments connus de son temps. Son hypothèse explique fort bien les
deux premiers de ces phénomènes ainsi que le sens direct de toutes
les révolutions des planètes. Quant aux rotations directes, elles sont,
avons-nous dit, insullisammcnt expliquées par Laplace; mais nous
avons pu en rendre conq)te dune façon salisl'alsanle au moyen de
l'elïet produit [)ar les marées solaires sur les nébuleuses planétaires
(mécanisme f|ui n'avait pas échai)pé à Laplace en ce qui concerne la
Lune). La marée solaire étant très faible pour les planètes les plus
extérieures, nous répondons du même coup à l'objection qu'on pour-
rait tirer des mouvements rétrogrades des systèmes d'Uranus et de
Neptune.

54. On a aussi objecté à la théorie de Laplace l'énormilé du temps
nécessaire à la transformation d'un anneau en une masse planétaire
unique. 1 n anneau devenu instable s'est rompu en plusieurs masses
sphérofdiqucs qui, d'après Lapi.ace, ont dû se réunir en une seule.
Or, ]\L IvuiKwooD a fait remarquer que cette réunion exigerait un
temps considérable. Si les fragments de l'anneau étaient tlistribués à
peu près régulièrement le long de rorbite. leurs actions perturbatrices
se détruiraient à très peu de chose près, et on ne pourrait invoquer
en faveur de la réunion des morceaux un peu éloignés que la diffé-
rence de leurs vitesses de révolution. Or, considérant deux fragments
de l'anneau de Neptune distants de i8o'' en longitude, et dont les dis-
tances au Soleil différeraient de looo milles, M. KnikA\ooD calcule
que leur jonction ne se ferait qu'au bout de i5o millions d'années.
Pendant ce temps les masses se seraient refroidies et encroûtées, et
cette durée semble beaucoup trop, considérable, étant donné l'âge que
la Thermodynamique permet d'assigner au système planétaire. Pour
échapper à cette grave difficulté, M. Kïrkxvood propose d'admettre
que les planètes ont été projetées par des espèces d'éruptions solaires :
elles seraient en quelque sorte assimilables à d'anciennes protubé-
rances que le Soleil aurait comme oubliées en se contractant. Mais
dans celte supposition, on ne trouve aucune raison pour ex[)liquer la
faible excentricité des orbites. D'ailleurs nous n'avons aucune espèce
d'idée du temps qui a pu être nécessaire pour la formation du sys-
tème solaire. Il est possible, il est probable même que i5o millions

G6 HYPOTIIÙSES (:0SM0(;0>'1QLES

d'années ne représentent qu'une fraction tiès faible de ce temps. Il
n'y a donc rien à retenir de l'objection de M. KinkAvooD.

55. l ne autre difficulté de Ihypothèse de Laplac.e provient de ce
que plusieurs satellites sont à des distances de leur planète inconq)a-
libles avec cette In potbèsc. Ou a dit, par exemple, que la distance de
la Lune à la Terre est plus grande que n'a pu être le rayon de l'at-
Tnosplièrc terrestre à l'époque de la formation de la Lune, c'est-à-dire
lorsque la nébuleuse terrestre tournait sur elle-même en •2-i°"^%o,
durée de la révolution de la Lune. La liinile de l'atmosphère de cette
nébuleuse était en elïet le point où la force centrifuge jointe à l'at-
traction solaire contrebalançait l'attraction terrestre, et l'on a cru
pouvoir en déduire que l'atmosphère terrestre ne s'étendait qu'aux
trois quai ts de la distance de la Lune à la Terre. ^lais Rocue a mon-
tré que cette affirmation est inexacte. Dans le calcul de cette limite
de l'atmosphère, ce qui intervient, ce n'est pas l'attraction absolue du
Soleil, mais, comme dans le calcul des marées, son attraction relative,
c'est-à-dire la dilï'érence entre l'attraction exercée sur une molécule
de l'atmosphère et l'attraction exercée sur le centre de la Terre. On
trouve, avec cette rectiticalion, qu'à l'époque indiquée l'atmosphère
terrestre atteignait la distance de la Lune. La (jvande distance de la
Lune n'est donc pas une objection à la théorie tle Laplace.

Il n'en est pas de même pour les petites distances auxquelles se
trouvent le premier satellite de Mars et l'anneau intérieur de Saturne.
D'après riiy[)olhèse de Laplace, « tous les corps qui circulent autour
d'une planète ayant été formés par les zones que son atmosphère a
successivement abandonnées, et son mouvement de rotation étant
devenu de [)lus en plus rapide, la durée de ce mouvement doit être
moindre que celles de la révolution de ces dilïérents corps. » [Expo-
sition du Syslcine du Monde, p. 5o3.) Or, on sait que le satellite le
plus voisin de Mars (Phobos) et l'anneau intérieur de Saturne ont une
durée de révolution moindre que la durée actuelle de rotation de la
planète. On peut, pour expliquer celte anomalie, avoir recours à la
formation d'anneaux intérieurs par la rencontre de traînées ellip-
tiques, telle qu'elle a été indiquée par IIocue (n" 24). Le satellite de
Mars se serait ainsi formé à l'intérieur même de l'atmosphère primi-
tive de la planète, c'est-à-dire à une distance inférieure à celle que lui
avait assignée Laim.ace. Ce satellite aurait ensuite subi la résistance

ANALYSE HE I.'inPOTlli.SE DE I.APLVCE 67

de milieu de celle atinos|)hcrc, ce qui auiail pu contribuer à rétrécir
son orbite et, par conséquent, à augmenter sa vitesse de révolution.
L'iiypothèse de Laplaci: est ainsi sauvée, mais au prix d'ime modi-
ficaliou profonde.

56. l^nlln la découverte récente, autour de Jupiter et de Satur?ie,
de satellites à révolution rétrograde, crée une nouvelle dillicul té. On
pourrait essayer de la lever en considérant, comme au n" 42 ([>. .")!),
-deux masses M et jM' provenant de la rupture de l'anneau {fi<j. i3) :
Ja masse M' sera supposée très petite, la masse M, provenant de la
réunion antérieure de plusieurs noyaux, sera supposée très grande.
Lorsque la masse M rejoindra et dépassera la masse M', elle pourra
ne pas la choquer, mais elle pourra la capter (si cette masse secon-
daire pénètre dans l'atmosphère de la masse principale, et i^i la résis-
tance do cette atmosphère réduit la vilcsse relative ties deux masses)
•et s'en faire un satellite à révolution rétrograde. On pourrait supposer
également que le satellite s'est formé par le mécanisme ordinaire à
l'époque où la rotation de la nébuleuse planétaire était encore rétro-
grade. Le mécanisme de la marée solaire continuant à agir sur la
masse planétaire, celle-ci prendra un mouvement de rotation direct,
•et les satellites ultérieurement formés seront à révolution directe.

CHAPITRE IV.

HYPOTHÈSE DE H. FAYE.

57. Dans le syslème cosmogonlque de Hervé Fa\e ('), l'espace
est dès l'origine rempli par (( un chaos général excessivement rare,
formé de tous les élénicnls de la Chimie terrestre plus ou moins
mêlés et confondus. Ces matériaux, soumis d'ailleurs à leurs attrac-
tions mutuelles, étaient dès le commencement animes de mouvements
divers qui en ont provoqué la séparation en lambeaux ou nuées.
Ceux-ci ont conservé une translation rapide et des gyrations intestines
plus ou moins lentes. Ces myriades de lambeaux chaotiques ont
donné naissance, par voie de condensation progressive, aux divers
mondes de l'univers. » (p. 238.)

Les gyrations intestines, placées par Fave dans ses lambeaux chao-
tiques, sont analogues auv mouvements tourbillonnaircs que nous
observons aujourd'hui dans les nébuleuses spirales.

Des résultats fort différents pourront se produire suivant l'intensité
de ces mouvements gyratoires, et suivant la forme des lambeaux.

Si le lambeau est un amas sphérique homogène, sans mouvements
intérieurs d'aucune sorte, sa condensation donnera une étoile sans
satellites et sans rotation. Si, étant sphérique et homogène, ce lam-
beau est le siège de mouvements de gyration se compensant récipro-
quement, il produira soit un amas .sphérique d'étoiles décrivant
toutes dans le même temps des ellipses ayant leur centre au centre de
gravité et de figure de l'amas, soit une étoile centrale accompagnée
d'une foule de petits corps rapidement éteints, la condensation cen-
trale l'ayant considérablement emporté sur les condensations par-
tielles. Dans les deux cas, les gyrations se compensant, le moment de

(' II. I^'aye •: Sur VOriijinr. du Monde, 'i" cdit. (Paris, Gautliier-Villars, 1907).
Chap. XIII et XIV.

no HYPOTHÈSES COSMOCO>"IQUES

rotation lolal est nul ; les orbites sont orientées dans des directions-
diverses et décrites aussi bien dans un sens que dans l'autre.

Un cas beaucoup plus irénéral sera « celui d'un amas non splié-
rique, non homogène et animé de tourbillonnements susceptibles de
se résoudre en une gyration unique. » (p. 2G2.) La condensation
s'opérant alors autour de quelques centres d'attraction, finira par
former deux ou trois globes séparés : d'où la formation d'une étoile
double ou multiple. (( Et comme, dans la série des niouvemenls des
corpuscules se précipitant vers des corps distincts, il n'a dû se pré-
senter aucun moyen de régularisation capable d'imprimer la forme
circulaire à leurs trajectoires, les étoiles finales, associées par couples,,
décriront des ellipses plus ou moins excentriques, ayant leur i'ovcr
commun au centre de gravité. » (p. 260.)

Abordons maintenant la formation de notre système solaire. Ce s\s-
tème présente cette remarcjuable particularité que les orbites des pla-
nètes sont presque circulaires. « Il faut donc que, parmi les conditions
initiales de notre lambeau chaotique, il s'en soit trouvé une qui ait
empêché les gyrations de dégénérer en mouvements elliptiques, et qui
ait rectifié d'abord et fermement conservé ensuite la forme à peu [)rès
circulaire à travers toutes les péripéties. » p. aôj. , Favk suppose que-
le chaos partiel, le lambeau d'où est sorti le système solaire, était à
l'origine une sorte de nébuleuse sphcriquc et. honuxjcnc et que cette-
nébuleuse possédait un lent mouvement tourbillonnaire atTectant une
partie de ses matériaux. Il pense qu'à l'intérieur de cette nébuleuse
se formeront des anneaux concentriques animés d'un mouvement de
rotation commun, semblables à l'anneau dont la nébuleuse de la
Lyre nous oflVc un exemple :

« Les mouvements tourbillonnaires que ce lambeau chaotique em-
porte dans son sein aflectent une forme spiraloïde avec des vitesses
dirigées à peu près perpendiculairement au rayon vecteur. Ces vi-
tesses vont en croissant vers le centre. Il y aurait donc peu à faire
pour transformer, en ])arlie, im mouvement de ce genre en ime véri-
table rotation, si cette dernière était compatible avec la loi de 1»
pesanteur interne.

« Or, c'est précisément le propre de ce genre d'amas chaotique de
ne permettre aux corps qui s'y meuvent que des révolutions ellip-
tiques ou circulaires concentriques el de même durée. Des portions

IIYPOTIlKSi: DE M.

notables des lourbillons intéilems pourront donc y prendre l'allure
d'un anneau plal, lournant autour du centre avec nne même vitesse
angulaire, exactement comme si cet anneau nébuleux ctait un cerceau
solide. Il n'y a à cela qu'une condition, c'est que la durée de la gyra-
tion de ces particules soit égale à la durée commune de tous les mou-
vements elliptiques ou circulaires qui se produisent sous l'inlluence
de la force centrale.

(( Ainsi toutes les particules qui auront la vitesse convenable, dans
le plan des gyrations, s'arrangeront immédiatement sous l'inlluence
de la gravité en anneau plat, animé, autour du centre, tl'une véritable
rotation. Les autres, à vitesses trop grandes ou trop petites, se mou-
vront dans le même plan, en décrivant des ellipses concentriques à
l'anneau. Si ces ellipses sont très allongées, les matériaux qui les
parcourent se rapprochent beaucoup du centre oi*! s'opérera une con-
densation progressive; ils finiront par y être englobés, tout en com-
muniquant au globe central naissant une rotation dans le plan mémo
de la gyration primitive. Si elles diU'èrent peu d'un cercle, la faible
résistance du milieu sullira pour uniformiser la vitesse et disposer les
matériaux en anneaux lournant comme le premier. » (p. •>.6{\--y.()- .)

58. Nous constatons ici une première dilVérence essentielle entre
la conception de Vx\e et celle de L aplaci: : les anneaux de Laplace
se formaient à l'extérieur de la nébuleuse, ceux de Favi: se forment à
l'intérieur. Seulement, tandis que LAiT.Act: rendait parfaitement
compte de la faiblesse des excentricités et des inclinaisons mutuelles
de ces anneaux, Faye donne de ce phénomène une explication beau-
coup moins nette. Le but principal que Laplace s'était proposé ne se
trouve ainsi qu'imparfaitement atteint. Dans les deux théories, c'est
la rupture des anneaux, devenus instables, qui donne naissance aux
planètes.

59. "Niais suivons l'évolution de la nébuleuse de FA\t:. Au début,
elle était sphérique et homogène ; l'attraction à l'intérieur était pro-
portionnelle à la distance r au centre et pouvait être représentée par

Ar,

A désignant une constante. Plus tard, l'attraction mutuelle des par-
ties, jointe aux chocs et aux frottements inévitables entre j)arti-
cules, produisit nécessairement une condensation centrale ; celle-ci

•-2 HYPOTHESES COSMOCOMQUES

s'est peu à peu nourrie aux dépens de l'atmosphère nébulalre qui se
raréfiait de ce fait. C'est ainsi que le Soleil s'est finalement formé vers
le centre par la réunion de tous les matériaux non engagés dans les
anneaux, faisant ainsi le vide autour de lui. Dans cet état final, qui
est l'état actuel, l'attraction est inversement proportionnelle au carré
de la distance au centre ; elle a pour expression

B

B étant une nouvelle constante.

Dans la période intermédiaire, Fave admet que la loi d'attraction,
en fonction de la distance /', peut se représenter par l'expression

(E) ar + ^, ,

où a va en diminuant de A à o et 6 en augmentant de o à B.

Cette loi correspondrait exactement à une nébuleuse formée d'un
noyau central d'une certaine masse qu'envelopperait une atmosphère
parfaitement homogène. Il est peu vraisemblable que la nébuleuse
solaire ait offert cette constitution dans la période intermédiaire. La
loi d'attraction réelle avait sans doute une forme beaucoup plus com-
pliquée ; la loi simple proposée par Fave nous donne donc simple-
ment une idée approchée de la façon dont pouvait varier la pesanteur
à l'intérieur de la nébuleuse primitive.

60. l<]ludions maintenant comment se comportent les anneaux de
Fate au point de vue de leur rotation.

Considérons une molécule quelconque d'un anneau. Sa trajectoire
est circulaire et sa force centrifuge fait équilibre à l'attraction. Si l'on
appelle w sa vitesse angulaire, on a, d'après l'expression (E)

d'où l'on tire

■•"•=v

Or, r,)r est la vitesse linéaire de la molécule : si cette vitesse croît
avec r, les molécules externes auront une vitesse supérieure à celle
des molécules internes, et l'anneau, après sa ruplme, donnera une pla-

HYPOTHESE DE H. lAYE

73

nètc à rotalion directe. Au conlralic, si ojr csl une l'onclion décrois-
sante de r. la planète issue de l'anneau aura une rotalion rétrograde.
Voyons donc dans quel sens varie o)r, c'est-à-dire dans quel sens
varie l'expression

r

Ce sens dépend du signe de la dérivée

6

2ar

Tant qu'on aura l'inégalité

h

l'anneau engendrera une planète à rotalion directe. La rotalion de la
planète sera indirecte si cette inégalité n'est pas vériliée. Or, au
début, b est nul, donc l'inégalité est satisfaite partout. Mais, avec
le temps, 6 croît et a décroît, donc à chaque distance /■ il arrivera un
moment où l'inégalité cessera d'être vérifiée, lue planète formée
après cette époque aura une rotation rétrograde.

Les rotations sont donc directes lorsque a est grand et b petit,
c'est-à-dire au commencement. Ainsi, d'après Fave, les planètes à
rotation directe sont les plus anciennement formées : l'âge relatif des
dilTérentes planètes est inverse de celui que leur assignait Lm'l.vce.

61. Dans cette hypothèse, la Terre sérail non seulement plus viedle
que Jupiter ou Neptune par exemple, mais beaucoup plus vieille
même que le Soleil, puisqu'au moment où elle s'est formée, a était
grand et b petit ; par suite, la condensation centrale de la nébuleuse
était très fiiible.

Les géologues estiment que le dépôt des sédiments terrestres, depuis
le début de l'ère primaire, a exigé un minimum d'une centaine de
millions d'années. Or, nous verrons plus tard qu'HELMiiOLiz et Lord
Kki.vin, au nom de la Thermodynamique, assignent au Soleil un âge
qui ne dépasse pas une cinquantaine de millions d'années. Fave re-
gardant la Terre comme beaucoup plus ancienne que le Soleil espère
faire disparaître cette contradiction inquiétante. Mais observons que
l'étude des fossiles de l'époque cambriennc nous invile à penser que
les conditions générales de la vie n'étaient pas alors extrêmement
dilTérentes de ce qu'elles sont aujourd'hui, et il paraît assez dillicile

74 IIYI'CTIli:sES COSMOr.OMQUES

d'admettre que les êtres de cette époque aient vécu sans soleil, ou
mieux encore, à l'intérieur de l'atmosphère solaire.

62. Les comètes, d'après Lapl.vce, étaient des corps étrangers au
système solaire, mais appelés dans ce système par l'atliaction. D'après
Faye, ces astres appartiennent originellement au système solaire :
(( Parmi les matériaux non engagés dans le tourbillon primitif, et
décrivant en tous sens des ellipses allongées autour du centre, il a dû
s'en trouver qui échappèrent à la condensatiou centrale. Ces maté-
riaux, partis des limites du chaos primitif, ont continué à se mouvoir
dans des courbes allongées. )> (p. 273.) Ils ont donné les comètes
dont les orbites sont devenues des ellipses presque paraboliques ayant
leur foyer à l'endroit où les premières avaient leur centre.

63. jNous avons exposé les points essentiels de la théorie de Faye.
Cette théorie fut imaginée principalement pour expliquer ce fait que
les systèmes planétaires intérieurs sont directs tandis que les systèmes
jolanétaires extérieurs sont rétrogrades. Faye croit ce fait absolument
inconciliable avec l'hypothèse des anneaux de Laplace, car ces
anneaux doivent, selon lui, donner des planètes toujours rétro-
grades ('). Les planètes se séparent donc ici en deux catégories très
nettes : les planètes directes (les plus rapprochées) dont la formation
est antérieure à celle du Soleil, et les planètes rétrogrades (les plus
éloignées) dont la formation est postérieure à celle du Soleil (").

Laplace, n'ayant connaissance que de mouvements directs, avait
annoncé que si l'on venait à découvrir une nouvelle ])lanète ou un
nouveau satellite, il y aurait des milliers de milliards à parier contre
un que la circulation de ce satellite ou la rotation de cette planète
serait directe. Personne ne tint le pari, mais Laplace l'aurait perdu :
la découverte deNeptune et de son satellite lui ont donné un démenti.
Aux yeux de Faye, c'était là la faillite de la théorie de Laplace et
c'est ce qui l'engagea à en proposer une autre. Pour lui, les diverses

(') Nous avons vu que l'cll'ot des marées solaires permet de répondre ù ceUo
objection.

(-) La planète L'ranns se serait formée à une éporpic de transition, intermédiaire
entre celle des planètes à satellites l'ranchcment tiirecls et celle de >c|itune à sa-
tellite francliement rétrograde. I^a rotation, d'abord directe, aurait été forcée
ensuite de devenir rétrograde, de là serait résulté un conflit, contraignant l'équa-
teur de la planète naissante à s'incliner sur le plan de l'orhitc, jusqu'à lui devenir
perpendiculaire et à dépasser même un peu cette position \ers le sens rétrograde.

inpi5Tni:si; de h. vwe

planètes peuvent aussi bien tourner sur elles mêmes dans un sens que
dans l'autre — cela dépend de l'épocpie de leur formation ; — mais il
aurait volonlieis parié à son tour cpie les satellites se mouvront tou-
jours autour de leurs planètes respectives clans le sens de rotation de
celles-ci. Lui aussi, il aurait perdu : on connait aujourd'hui des sa-
tellites ^qui circulent autour de Jupiter et de Saturne dans le sens
rctro-rrade. llestant dans l'ordre d'idées de Fvye, on pourrait essayer
d'expliquer le mouvement rétrograde de ces satellites autour de leurs
planètes par des considérations analogues à celles que nous avons
données à la lin du Gluipitr(> précédent. Les premiers satellites de
Jupiter, par exemple, auraient été formés pendant la période directe,
c'est-à-dire quand l'inégalité (i) était encore vérifiée à la distance de
Jupiter, le dernier aurait été capté plus tard, pendant la période
rétrograde, comme nous l'expliquions au n" 56 (p. G7 .

64. Examinons à présent un point capital pour la théorie. Au mo-
ment où chaque planète se forme, son orbite est circulaire, puisque,
par hypothèse, la planète provient d'un anneau, ^ous avons vu que
sur ce point les explications de F vye ne sont pas entièrement satisfai-
santes ; nous ne reviendrons pas là-dessus, et nous les admettrons
provisoirement. Mais la loi d'attraction varie avec le temps. \ sup-
poser que l'orbite ait été initialement circulaire, a-t-cllc pu rester
circulaire? Montrons qu'il en est bien ainsi.

Représentons par 'jî(r, /) la loi d'attraction, variable avec la distance
V de la planète au centre, et variable aussi, lentement, avec le temps t.
Le rayon vecteur v satisfait à l'équation

d^r /f/e

ou -r. désigne la vitesse angulaire. La force étant centrale, nous avons
l'équation des aires

dt
G étant une constante. L'équation précédente s'écrit alors
, • dh^ C-^

■jfi HYPOTHÈSES COSMOGOMQLES

Introduisons une fonction H(/', /) définie par l'équation
lin C2

(dans riiypolhèse de Fa\e, où nous avons

h

la fonction II serait

,1 C- or^ b
II = ., H ;

2 r- 2 r

mais nous restons ici dans le cas général où II est une fonction quel-
conque connue de /• et de /). L'équation (a) s'écrit alors

,„, iPr dll

Dans le cas où II ne dépend pas de /, cette équation, multipliée
par OT et intégrée, donne immédiatement l'équalion des forces vives

I /dr\-

■Ad

w ..(;y;)^ji=^-

où T est une constante.

Dans le cas actuel où II dépend de /, nous posons cette même
équation { f[) : elle servira de définition à T, qui n'est plus une cons-
tante, mais une quantité qui dépend du temps. Calculant la dérivée jj
de T par rapport au temps, on trouve

(/T _dU (dll f/V\ dr

di ~ (//: ~^' \dr "^ df'j dr

La parenthèse du second membre étant nulle d'après l'équation (3),
-..- est égal à la dérivée partielle de II [)ar rapport au temps :

<IT _d\l

di ~ dl •

Dans le cas où l'ail raclion ne dépend pas du temps, nous obtenons
la dislance aphélie /y en écrivant que

dr,.

iivi'OTin:sii Dr h. fa\i:

Si nous appelons 11^ ia valeiii- de II i)oui- r = i\, l'équalion
(5) Ho = T

définit alors la distance apiiélie r^ cl aussi la distance péiiliélic.

Dans le cas où l'attraction varie lentemeni avec le temps, nous
pouvons continuer ù dire que celle même équation (5) définit, ù
chaque instant /, la distance aphélie osciilalrice, c'est-à-dire la distance
aphélie de l'orbile que décrirait la planclc si la loi d'attrac^lion cessait
de varier à cet instant /.

Cette définition semblera jusllliée si l'on remarque (pi'à l'inslant

, , ,• • 'li-

on la dislance /' passe par un uia\unum on a ■. = o, et que par

conséquent II = 1; à ce moment on a également r =: i\ et par con-
séquent IIq = T.

Ce qui caractérise un mouvement circulaire, c'est que la distance
aphélie est égaie à la distance périhélie, c'est-à-dire que l'équation

II = T

a une racine double r ; celte racine double salisiait aussi à l'équation

dU

, = o.

dr

Inversement si la dislance aphélie annule , , l'équation précédente

a une racine double et l'orbite est circulaire.

Supposons donc qu'à l'instant initial / les deux équations

ïl = T
et

rfll

-d? = °

ont une racine commune /•, rayon de l'orbile circulaire de la planète.
Si, à une époque un peu ultérieure / + (//, l'orbite a cessé d'èlre cir-
culaire, sa distance aphélie r,, sera donnée par l'équation

llo = T.

Eludions les variations de Fq, et pour cela différentions la dernière
équation par rapport à /. Nous obtenons

(G)

du, di- f/IL

dT

d\\

0 0 _i 0

di- dt dl ~

^di -

~ dt

78

m l'OTlIllSES COSJIOGOMQUES

Or, t\ dilleianl [X'u de /', nous aMons

(/ll„ dli , , dm

et

(/II,, _ </II , _ N '/'Il

di — dt "^ ^''" '' drdC

Portons ces valeurs dans l'équation (G) en nous souvenant que -17
est nul ; nous trouvons l'équation

dm<h'^ dm _

dr- dl drdt
Comme r^ diffère peu de /', l'équation précédente s'écrit

dm dm dr

drdt ~^ dr^ dt '

= 0.

, dU

Le premier membre est la dérivée totale de ,7 par rapport au temps.

Cette dernière équation nous montre que .,, nul à l'époque /, reste

nul à l'époque / -h <U. Lorbite initialement circulaire reste donc cir-
culaire, mais son rayon /• varie avec le temps.

65. 11 y a un cas oii nous pouvons étudier la question de beaucoup
plus près. Supposons que, dans la formule de Fate

h

c ir, t) ^= ar -\ ^,

' r-

a soit nul : ce serait, par evemplc, le cas où la nébuleuse de Favl:
posséderait un noyau déjà très condensé, avec une atmospbère de
dcnsilê négligeable, mais de masse importante vu la grande distance
où elle s'étend ; cette atmospbère tombe peu à peu sur le noyau cen-
tral pour augmenter sa masse. En d'autres termes, nous allons étudier
le mouvement d'une planète attirée suivant la loi de Neavton par un
soleil dont la masse (que nous désignerons par M) varie lentement
avec le temps.

Dans ce cas, la fonction que nous appelons il a pour expression

11 = ^-";

2 r- r

ini'OTIIKSE DE H. l•^^E 7<(

par suite

ilT _ du _ _ I */M
\U ~ lit "~ r <// ■

Or, 'I' est la constante tics forces vives (|ui. dans le mouvement képlé-

rien, a pour valeur — , a" étant le o'ranJ axe de l'orbite ; nous

avons donc

c/ /_ M\ _ I ./M
dl \ 2fl/ " ;• '//

OU

, M\ dMdt

Nous pouvons adincllre que, pendant le lomps d'une révolution de
la planète, .j- reste sensijjlcment constant. Calculons . ou plutôt sa

valeur moyenne pendant une révolution. En désignant par n et u le
moyen mouvement et l'anomalie excentrique de la planète, [)ar c
l'excentricité de son orbite, nous avons

n/ = u — e sin »,

d'où nous tirons, n et e ne variant que très lentement,

n dl = du ( I — e cos (0 ;

d'ailleurs, une formule bien connue du mouvement elliptique donne

/• = a ( i — e cos II) ;

donc

dt du

n = — .

r a

Or, pendant une révolution, n est une constante, et du a pour valeur
moyenne n dl ; donc

, dl dl.
niovenne de — = — •

•" r a

La formule (7) donne par conséquent pour la variation séculaire du
grand axe

\2a/ a

8o HYPOTHÈSES COSMOGONIQUES

OU

adM -h Mf/« = o,

et par suite

Ma = const.

Le ffrand axe varie donc inversement à la masse du Soleil.

D'ailleurs, si nous appelons b le petit axe de l'orbite elliptique, la
constante des aires G a pour valeur

nous avons donc

et

c = v/M^;

= const.,

a

M-62

-., - = const.
Ma

Ma étant lui-même constant, Mb l'est aussi. Les deux axes 2a et 2^
de l'orbite de la planète varient donc proportionnellement l'un à
l'autre. L'orbite de la planète — et ici nous n'avons pas eu besoin de
supposer son excentricité très petite — reste donc constamment sem-
blable à elle-même. Elle ss rapetisse à mesure que la masse M du
Soleil augmente.

66. Ainsi, dans l'bvpotlièse de Fave, l'orbite d'une planète reste
toujours quasi-circulaire, mais le rayon de cette orbite va en dimi-
nuant; les planètes s'approcbent de plus en plus du Soleil à mesure
que celui-ci augmente de masse (').

Demandons-nous quelles pouvaient être, à l'origine, les distances
des diverses planètes au centre de la nébuleuse. Pour une planète dont
a est le rayon de l'orbite actuelle et dont w est la vitesse angulaire, le
moment de rotation est

ce moment de rotation n'ayant pas dû varier, si w' est la vitesse an-

(') Si la planète a un satellite (ou plusieurs), ce rapprocliemcnt entraîne, comme
effet secondaire, une légère augmcntalion de la distance du satellite à la planète :
conséquemmcnt, la durée du mois augmente, tandis que celle de Vaiiiu'e diminue.

IlYPOrilliSt: DE II. FA\E

8i

gulairc et à le ra}on de l'orhlLe de la [)lancle à roiiglno, on a

(8) ioa- = w'«'2.

Or, à l'oiifiinc, la nibuleuse de 1\\^e était sphcrique et homogène,
rattraclioa était donc pioporlionnelU; à la distance au centre, par
suite 0) était le même pour toutes les [)lanètcs. Supposons, par exem-
ple, que la nébuleuse primitive homogène ait eu le rayon de l'orbite
actuelle tie Ne[)tune f^cc qui est un minimum) : alors son attraction
sur Neptune aurait été la même que si toute sa masse avait été con-
centrée en son centre. Sa condensation ultérieure en un Soleil central
n'a rien dû changer au mouvement de Neptune, qui lui restait tou-
jours extérieur. La valeur de ^i' est donc, dans cette hypothèse, la
vitesse angulaire actuelle de Neptune, et la formule (S) permet de
calculer la distance initiale a de chaque planète au centre de la nébu-
leuse. On peut ainsi former le Tableau suivant, où l'on a mis en regard
la distance actuelle et la distance initiale des planètes au Soleil, le
rayon actuel de l'orbite terrestre étant pris comme unité :

Planùles

Distance actuelle a

Dislance initiale a'

^[ercure . . . .

O,'.

10

Venus

0,7

1 1

la Terre ....

I

10

Mars

1,5

.4 . 1

.Jupiter

• ' > '*

20 1

Saturne ....

(),:>

3 2

l'raiins

!',),'

27

ÎNeptuiic . . . .

.'>o

3o

Nous voyons, par exemple, que Mercure se serait formé à peu près
à la distance où se trouve aujourd'hui Saturne. Si le rayon \\ de la
nébideuse homogène primitive avait été encore plus grand, les dis-
lances a' se trouveraient encore augmentées. L'attraction est initiale-
ment représentée par A/', A étant proportionnel à la densité de la

nébuleuse, c'est-à-dire à tv^^ ; w' égal à \/A est donc proportionnel à

R 2 ; comme u'a'^ a une valeur constante, nous concluons que a est
proportionnel à l\* .

Poi>(

ga HYPOTHÈSES COSMOGOMQUES

Donc, si la nébuleuse primitive a eu un ravon double de la dis-
lance actuelle de Neptune, c'est par 2^ qu'il faut multiplier les nom-
bres de la dernière colonne du Tableau ci dessus. Si l'on admet quel»
nébuleuse solaire touchait à l'origine celle de l'étoile la plus voisine-
(a du Centaure), qui se trouve éloignée à une dislance de l'ordre de
200000 ravons de l'orbite terrestre, c'est par un nombre de l'ordre

de ( — y Y qu'il convient de mullijilier les distances a'. Dans l'hy-

potlièse de Faye, c'est donc à d'énormes distances que les planètes se
seraient Ibrmées.

L'hypothèse de Fate présente en résumé un caractère ingénieux ;;
mais elle rend moins facilement compte que celle de Laplace de la
faiblesse des excentricités et des inclinaisons. Elle a été imaginée à 1»
suite de certaines objections qui avaient été opposées à la théorie de
Laplace ; nous avons vu plus haut comment la plupart de ces objec-
tions avaient pu être écartées et avaient été victorieusement réfutées
par les partisans des idées de Laplace. La principale difficulté, ignorée
d'ailleurs de Faye, provient du mouvement rétrograde des satellites
extérieurs de Jupiter et de Saturne; mais elle n'est pas mieux expli-
quée par la nouvelle théorie que par l'ancienne.

CHAPITRE V.

HYPOTHÈSE DE M. DU LIGONDÈS (*).

67. Le point tics original de la théorie de M. di Luiondès consiste
dans l'idée quil se fait du chaos primitif :

(( V l'origine l'Univers se réduisait à un chaos général extrêmement
rare, formé d'éléments divers mus en tous sens et soumis à leurs
attractions mutuelles ...

« Ce chaos s'est partagé en lambeaux qui ont donné naissance, par
voie de condensation progressive, à tous les Mondes de l'Univers. »
{Formalion mécanique du syslhne du Monde, p. l'i.)

Nous sommes loin, on le voit, delà nébuleuse de Laplaci: qui tour-
nait tout dune pièce avec une vitesse de rotation bien uniforme. Les
tourbillons et gyrations intestines dont Paye dotait sa nébuleuse pri-
mitive sont aussi supprimés. Nous sommes, en quelque sorte, « reve-
nus aux idées de Kant, avec le mouvement en plus, non pas le
mouvement régulier de la rotation ou des tourbillons, mais le mouve-
ment sans ordre apparent. » (p. i4-)

Nous devons donc nous représenter l'un quelconque des lambeaux
nébuleux en lesquels le chaos initial s'est partagé, par suite de la
tendance de toutes les molécules à se porter vers les régions les plus
denses, comme formé par un très grand nombre de masses séparées,
«'attirant les unes les autres, se mouvant en tous sens et pouvant
arriver à se choquer de temps à autre. Les vitesses de tous ces pro-
jectiles ne sont soumises à aucune loi : la seule loi sera celle des
grands nombres :

(') Lieutenant-Colonel \\. du LinoNors : Formation mécanique du système da
Monde (I^aris, (jautliier-Villars, 1897J.

84 HYPOTHÈSES COS.MOGOMQLES

u Nous ne faisons aucune liypolhèsc sur la naluic de ces mouve-
menls; nous les abandonnons entièrement à ce qu'on est convenu
d'appeler le hasard. C'est en cela que riiypotlièsc dont kous allons
développer les conséquences dill'ère essentiellement de toutes celles
qui ont été émises jusqu'ici ; c'est ce qui lui donne un caractère de
vraisemblance et de généralité qui doit, a priori, la faire préférer à
toute autre. L'hyj)ollièse de Ivant, malgré son apparente simplicité,
est moins g;énérale que la nôtre, puisque la matière y est primitive-
ment en repos ; le repos n'est qu'un cas particulier du mouvement. »
(p. i5.)

68. Examinons maintenant comment M. ni LiooNDiiS fait, d'un
des lambeaux chaotiques, naître le système solaire.

Observons tout de suite — c'est là un point capital — que
M. DU LigondC'.s n'est pas en contradiction avec le principe des aires,
comme l'était Ka>t qui supposait sa nébuleuse initiale partant du
repos. Les projectiles dont se compose le lambeau ont leurs vitesses
distribuées an hasard. Considérons alors les vecteurs qui représentent
le moment de la quantité de mouvement de chacun de ces projectiles
par rapport au centre de gravité du lambeau : ces vecteurs seront
orientés dans tous les sens et auront des grandeurs diverses; et, puis-
que le mouvement est supposé complètement désordonné, la somme
géomélrique de tous ces vecteurs sera très petite par rapport à leur
somme ariihmérujae, c'est-à-dire par rap])ortà ce qu'elle serait si tous
ces vecteurs avaient même direction ; mais en général elle ne sera pas
nulle. Or, cette somme géométrique, c'est précisément le moment de
rotation total du système, moment qui doit demeurer constant à partir
de l'instant où le lambeau considéré est suflisamment séparé des au-
tres pour pouvoir ôlrc regardé comme isolé. Il n'y a donc, a priori,
aucune contradiction à faire sortir le système solaire d'un pareil lam-
beau nébuleux chaotique.

69. Cherchons à nous faire une idée de la somme géométrique et
de la somme arithmétique des vecteurs dont nous venons de parler,
et du rapport de ces deux sommes. La somme géométrique, nous la
connaissons, c'est le moment de rotation actuel du système solaire.
Pour essayer d'évaluer grossièrement la somme arithmétique, assimi-
lons la nébuleuse chaotique initiale à une sphère homogène avant une
masse M égale à la masse totale du svstèmc solaire, et un rayon U

HYPOTlIKSr: DE M. I)L I.IGONDI

85

égal à looooo unités astronomiques ('). \ l'intéiicur d'iuic telle
sphère homogène, l'attraction est proportionnelle à la distance au cen-
tre et toutes les molécules décrivent des ellipses dans le même temps.
Pour calculer ce teiups, considérons une molécule décrivant une
orhite circulaire ayant justement pour rayon looooo unités. Cette
molécule se mouvant comme si toute la masse delà néhuleuse était
concentrée au centre, sa durée de révolution se calculera suivant la
troisième loi de Kéhlek : elle aura pour valeur (100000)-, soii en\i-
rou 3o millions d'années. Une molécule m décrivant dans ce temps
tme clli[)sc d'axes 2a cl 26 aura donc pour moment de rotation

2 -ah

m .j ,

00 000 000

et la somme arilhméli(jue des moments de rotation de toutes les mo-
lécules sera

!>„ = n -. > mab,

•io X 10' -m^

la somme 2i étant étendue à toutes les molécules qui constituent la
néhuleuse. Pour calculer cette sonuno nous aurions hesoin de con-
naître l'ellipse décrite par chaque molécule. Or, nous n'avons pas la
moindre idée de la façon dont varient ces ellipses d'une molécule à
l'autre, et il semble dilFicile de l'aire à ce sujet une hypothèse qui puisse
se justifier. Mais, cherchant ici sculemenl un ordre de (jrandeiir, nous
remarquons que, pour la plupart des molécules, a et h sont compa-
ntbles au rayon U de la nébuleuse sphériquc et nous nous contenions
d'écrire, avec une approximation grossière

S„ = ^ — , > m

?)0 X lo'^
3o X 10"

M.

Quant à la somme géométrique S^, qui est le moment de rotation du
système solaire, voici comment on peut l'évaluer. Le calcul montre
que la sphère bomogène de ravon R =^ 100000 unités devrait, pour

(') L'unité astronomique est la distance movenne de la Terre au Soici!. Les
étoiles les plus voisines du Soleil en sont à une distance de l'ordre de 200000
unités astronomiques.

g6 HYPOTHÈSES COSMOGOMQCES

avoir un moment de rotation égal à celui du système solaire, tourner
sur elle-même d'un seul bloc en lo'- années. Son moment de r<jtation,
égal au produit de son moment dinerlie [)ar sa vitesse angulaire,
aurait alors pour expression

S
Le rapport ^^ de la somme gcométrirpic à la somme arithmétique

des moments derotation des molécules est donc </e /'o/v//y' de ^|, — >

soit à peu près de l'ordre de ^ (').

^ '■ ooooo ^ ^

Il faut donc penser que, dans le lambeau nébuleux chaotique d'où
est sorti le système solaire, le hasard a élabli cette légère prédomi-
nance des moments de rotation dans un certain sens. Pour d'autres
lambeaux, la prédominance a pu être plus forte : ce lut le cas de ceux
qui ont donné naissance à des svsièmes d'étoiles doubles. M. du Li-
GoxDÈs remarque en etTet que les étoiles doubles ont en général un
moment de rotation beaucoup plus grand (^) que celui du système
solaire (car, pour ce dernier, la masse presque totale du système se
trouve concentrée près du centre de gravité).

70. Chaque molécule décrivant approximativement une ellipse au-
tour du centre de la nébuleuse, l'état chaotique persisterait indéfini-
ment s'il ne se produisait pas de chocs entre les dilVérenls projectiles.
Mais ces projectiles se rencontreront inévitablement de temps à autre,
et de leurs chocs résultera un double etTet :

1° Une concentration de la nébuleuse, une tendance à la formation
d'un noyau central se produira, car deux projectiles qui se hcurlent
se collent ensemble et n'en forment plus qu'un ; il y a perte de force
vive, ce qui se traduit par une chute des matériaux vers le cenire.

2" Le sphéroïde qu'est la nébuleuse chaotique initiale s'aplatira.

(i) Ce rapport dépend éviticmment du ra\oii II f[ue l'on assigne à la nébuleuse
initiale, et ce rayon peut être choisi arljitraireinenl. Si. par excniple, au lieu de
prendre R= looooo unités, nous avions pris 11 = 3o luiitcs, c'est-à-dire le

rayon de l'orbite de Neptune, nous aurions trouvé t,' do l'ordre de ^— . Conten-
tons-nous de remarquer que rc rapport est toujours petit.

(-) 25o fois environ pour la Gi'^ du C\j.'ne, cl plus de :<ooo fois pour a du
Centaure.

HYPOTllLSE DE M, DL' LI(;0>r)KS 87

Considérons, en ciVel, le plan du maximum des aires, per[)cndiculaire
au moment de rolalion résultant du svstèmc. Parallèlement à ce plan
il va fpour ainsi dire par déiinilion imc légère })répondérancc de
molécules tournant dans un certain sens, tandis que parallèlement à
un plan perpendiculaire à celui-là, cette prépondérance n'existe pas.
Les chances de chocs seront donc moins uondDreuses dans le plan
équatorial du maximum des aires, où le mouvement est un peu
orienté, que dans im plan méridien, où les mouvements se font
indifféremment dans tous les sens. Il en résulte évidemment une
tendance du sphéroïde à s'aplalir suivant la perpendiculaire au plan
tlu maximum des aires.

71. Montrons (|ue cet aplatissement, une ibis commencé, \a s'ac-
■ccntuer. Assimilons la nébuleuse a[)latie à un ellipsoïde homogène.
A l'intérieur d'un tel ellipsoïde, l'attraction au point x, r, r a pour
■composantes

— a-x, — '^'-y, — 7'-;,

a^ [■:>'-, Y" étant trois constantes ('). La trajectoire d'une molécule
•quelconque sera définie par les équations dill'érentielles

d'-x , ,

) dt'

, -- =r O,

V dl

<lont les intégrales générales sont

X =^ V ces 3t/ + B sln -xt,
Y = Al CCS ^l -t- B, sin ^t,
z ^= A, cos ';t -+- B, sin '(i.

La trajectoire donne donc, en projection sur chaque axe. un mouve-
ment pendulaire simple, mais les périodes de ces trois mouvements
pendulaires ne sont pas égales. On aura donc dans l'espace une courbe
analogue aux courbes connues, dans le plan, sous le nom de courbes
de Liss.vjocs.

< Les axes de coordonnées sont les axes principaux de rellipsoïde; a-, ^*, y^
sont les trois constantes que nous avons appelées P, Q, R au Chap. III, Sec-
tion VII (p. 55).

33 HYPOTHESES COSMOGOMQIES

Dans le cas actuel les trois constantes a, fi, 7 varient lentement
avec le temps, puisque l'ellipsoïde commence par s'aplatir. >ous
sommes donc en présence d'une question analogue à celle qui a été
étudiée au Chapitre précédent (n" 64, p. 75). Si nous posons

11 a- t) = ,

la première équation (i) s'écrit

dl- dx

Si H ne dépendait pas de /, cette équation multipliée par -j^ et intégrée
donnerait l'équation des forces vives

h

i fdxV-
2 \ dt j

+ 1I=T.

oi!i T serait une constante. Ici, où H varie lentement avec /, nous
posons cette même équation, qui servira de définition à T. La dérivée
de T par rapport au temps est alors

dT _ dll _ X^ d{yr)
dl ~ dl ~ 2 dl '

. , (/(a- ! ^ -,

Pendant imc oscillation — ,y- peut être regarde comme constant, et
X- a pour valeur moyenne--", Xç, désignant l'élongatlon maxima ;
on a donc pour la valeur moyenne de -,r pendant une oscillation

^^^ dt ~ J ~dr '

dx
D'autre part, -^j s'annulant pour x = x^^, la constante des forces

vives T a pour valeur

T — II — ^"

d'où

^^ dl — 2 dt "^2 ~f/r *

La comparaison des équations (2) et (3) donne
2 dt ^ 4 dl — °'

c"esl-à-diie

on encore

ii'ïi'iiTiiiiSE DE M. DU lk;ondi;s 89

const.

Donc, qnand a augmente, l'ampUtnclc des oscillations parallMe-
ment à Taxe tics x diminue. Or, quand rdlipsoïde, en gardant la
même niasse, s'a[)lalit snivanl l'axe des ./•, a augnienlc visiblement.
Kn réalité, dans le cas actnel, a, j^ et y vont tous trois en augmentant,
mais c'est a qui augmente le plus vite si l'axe da^ x est perpendicu-
laire au plan du maximum des aires. L'aplatissement commencé
s'accentuera donc de plus en plus.

72. C'est ainsi que M. ni Lir.o]\DKS rend compte du double fait
d'une condensation centrale et d'une tendance à l'aplatissement; le
noyau central donnera le Soleil, et les matériaux extérieurs formeront
autour de lui une sorte de disque lenticulaire équatorial qui, s'apla-
tissant de plus en plus, deviendra lui-même instable : ce disque
pourra se résoudre iinalement en anneaux qui se transformeront en
planètes.

Nous avons ainsi expliqué la tendance des trajectoires à s'orienter
parallèlement au plan équatorial du maximum des aires. Mais pour-
quoi les trajectoires des dilVérents projectiles tendent-elles à devenir
et à rester circulaires !' Lorsqu'un projectile en heurte un autre, il y a
perle de force vive se traduisant par une diminution du grand axe
de l'orbite de ce projectile. Cette diminution du grand axe est-elle
accompagnée d'une diminution ou d'une augmentation de l'excen-
tricité? Pour nous en rendre compte, supposons qu'un de nos pro-
jectiles soit très gros ice sera, s: l'on veut, une planète déjà presque
formée , les autres étant relativement petits : le gros projectile subira
alors, du fait de ses chocs contre tous les petits, un effet analogue à
celui d'une résistance de milieu. Or, nous verrons au Chapitre sui-
vant qu'une résistance de milieu a en général pour cll'et de diminuer
l'excentricité de l'orbite de la planète (\\n la subit, c'est-à-dire de
rapprocher cette orbite de la forme circulaire.

73. Si l'on compare la conception de M. m LicoNnr.s à la théorie
cinétique des gaz, on ne peut s'empêcher de remarquer un contraste

90

II vP0Tni;sES cosmogomques

riap2:)ant. M. du Ligondks remplit l'espace de piojecliles qui le
sillonnent en tous sens. Les chocs de ces projectiles produisent l'évo-
lution du chaos, sa transformation eu un système planétaire hien
ordonné. Dans la théorie cinétique, les molécules des gaz sont de
même assimilées à des houlets se croisant dans toutes les directions,
mais leurs chocs, au lieu d'amener une dilVérentiation, produisent au
contraire l'homogénéité parfaite de la masse gazeuse. \ous sommes
donc, semble-t-il, devant un paradoxe ('), puisque des prémisses en
apparence identiques conduisent, ici et là, à des conséquences diamé-
tralement opposées. En réalité, dans les deux cas, le second principe
de la Thermodynamique (Principe de Carnot-Clausius, ou de dégra-
dation de l'énergie) trouve son application, mais de deux façons
dilTérentes. En ell'el, les prémisses, quoi qu'il paraisse tout d abord,
ne sont nullement les mêmes : les projectiles de la théorie des gaz
sont supposés parfaileincni élastiques, tandis que les projectiles cos-
miques de M. DU LiGONiiKS sont plutôt mous. Aussi, au moment du
choc, deux molécules gazeuses rebondissent l'une sur l'autre comme
deux balles élastiques, sans perte de force vive; tandis que deux pro-
jectiles cosmiques qui se heurtent se collent ensemble avec dégage-
ment de chaleur, et par suite avec perle de force vive. Différence de
nature des projectiles, voilà la vraie cause de l'apparent paradoxe que
nous signalions.

Mais il convient d'insister et de pousser plus loin ce parallèle entre
Ja théorie cinétique des gaz et la Cosmogonie de M. dl Ligundlis.

74. Théorenic du viriel. — Considérons un système mécanique
formé d'un grand nombre de points matériels. Soient m la masse de
l'un d'eux, x, y, z ses coordonnées, X, Y, Z les composantes de la
force qui agit sur lui. On a

Û-.X ,-

m ^^^, = \.

d'y V

'" dt^ = ^'

(') Nous avons tlûjà signale ce point, à propos de l'Iixpfjlliùsc de Iva>t (Cli, I,
11" 1, p. 2).

ll\I'OTlli:SE DE M- DU LIGOXDIIS

Posons
et

les sommes^ s'étendant à toutes les molécules. La quantité \
s'appelle le viriel du système.
Calculons ,, :

La picmière somme ^ n"(;st aulicquc la force vive lï, la seconde
somme n'est antre que le viriel \ . On a donc

,. d\j „, ,-

14) -_ = .1+^.

Supposons que tous les points restent à distance finie et que leurs
vitesses restent aussi finies : dans ce cas U sera toujours fini. Prenant
les valeurs moyennes des deux membres de l'étjv.alion {'\) [)endant un
intervalle de temps très long /^ — /,, il vient

nioveniic de a T -+- V)

Or, Ui, Lo, valeurs de L aux époques l\, U, sont finies, et /j — /,,
est aussi grand qu'on le veut. On peut donc dire que pendant un
temps très long la valeur moyenne du second membre est nulle : ce
que nous écrivons, en surmontant les lettres d'un trait pour indiquer
qu'il s'agit de valeurs moyennes,

(5) 2 T -I- V ^= o.

Tel est le théorème du viriel.

75. Faisons d'abord l'application de ce théorème à un gaz renl'crmé
dans un vase. Ktant données deux molécules gazeuses m\. et mi, leur
viriel a pour expression

(a?iXi + ViY, -\- r, Z,~i -f- (.ToX. -H J^Y. -}- z^Zj).

03 , HYPOTIIliSES COSMOGONIQUES

Quelles sont les forces Xi, \i, Zi, X^, \i,Z< appliquées à ces deux
molécules? Xous pouvons négliger les actions mutuelles des molé-
cules, sauf aux moments des chocs, d'ailleurs au moment d'un choc
on a

puisque les deux molécules sont au contact; et d'autre part

X| -f- X, = o, Y, H- y. = o, Z, + Z. = o,

puisque la réaction est égale et opposée à l'action. Le viriel dû aux
chocs des molécules entre elles est donc nul, au moins en première
approximation (').

Mais il faut tenir compte aussi des chocs des molécules contre les
parois du vase : à ces chocs est due la pression /) du gaz. La Ibrce
exercée sur un élément (k) de surface dont hi normale extérieure fait
avec les axes les angles a, fj, y a pour composantes

— p cos adio, — p cos [3f/(o, — p cos '(dw.

Le viriel Y dû aux chocs contre la paroi a donc pour expression

Y ^ — p j j (a* cos a -t- 7 cos P + ; cos y) d'o^
l'intégrale étant étendue à toute la surface. Or, on a

X cos a(/<o = j j Y cos ^ dio =^ j l z cos Y f?co = v.

V désignant le volume total du vase; par suite

\ = — 3pv,
et l'équation (5) du viriel donne

3p/j = 2 T .
Celle relation, due à Cf,\usius, traduit la loi de YIariotte et G\r-

(1) Si, passant à une seconde approximation, on tenait compte, avec v\n der
Waals, des dimensions finies des sphères d action des molécules, on trouverait, au
lieu de la l'ormule de Maiuotte et Gav-Lussvc sur laquelle nous tombons plus
loin, une formule plus api>rocliée. Nous n'en avons pas besoin ici.

IlYPOTIli;sr DE M. I)f Lir.ONDKS ().)

LussAC, car la force vive moyenne i>T est propoillonnclle à la tempé-
rai me absolue du gaz.

76. A[)[>liquons maintenaiil le ihéorème du viiiel à la nébuleuse
chaotique lie M. m Li(;om)i:s. Ici nous n'avons plus de parois, mais
nous ne [)Ouvons plus négliger l'attraclion mutuelle îles projectiles.
A[)[)elant /• la distance de deuv masses //*, et m., nous désignons par

il;

la fonction des fm'ces. Calculons le \lric'l : la force (X;, ^,, Z,. qui
s'exerce sur m, par suite de l'aclion de m . a [)0ur composante suivant
l'axe des .c

A, == ih,!)}: - (r) ;

la masse lU; fournit donc, dans le viricl. le terme

Ai-T, = /H, Mi/.. 9 (r) ; Xi-

La masse /H/_ fournit de même le terme

\/.rr,, = »i,m/, 'c (r) r,,.

' r

La somme de ces deux termes est

r

jSous voyons aisément que le viriel total a pour valeur

ik

=^;?j,m/, 'i'{r)r.
ik

Dans le cas de l'attraction newtonienne, nous avons

et

o'(r r = — - ;

g4 HYPOTHESES COSMOGOMQLES

par suite

= — M.
L'équation du viiiel donne donc

2 T - W = G.

D'ailleurs, nous pouvons écrire aussi l'équation des forces \ives

T — W = C.

C restant constant lant qu'il n'y a pas (Je choc. De ces deux dernières
égalités nous tirons

T = — C,
^==_. 2C.

Que pouvons -nous conclure de là!* Supposons tout d'abord que les
projectiles soient parfaiterncal élastiques : leurs chocs n'entraînent
aucune perte de force vive, et C reste constant malgré ces chocs.
Alors les valeurs moyennes de T et de AA sont aussi constantes. Or,

^V = V "'' '"/■

augmente avec la concentration : il n'y aura donc pas tendance à
la formation d'un noyau central très condensé. Ce seraient là les
conditions d'une masse gazeuse entièrement isolée dans l'espace :
cette masse ne se concentre pas indéfiniment, elle admet un certain
état final d'équilibre, auquel elle tend d'elle-même à revenir si elle
s'en est écartée accidentellement. S'il se produit en un point une
petite condensation anormale, elle tend à disparaître d'elle-même.

Au contraire, si les projectiles ont une certaine mollesse — et c'est
le cas pour les matériaux cosmiques de M. du LiGoiN'Dr;s — la cons-
tante des forces vives C décroll à chacun des chocs, par suite

W = — 2G

croîtra sans cesse : c'est dire que les distances /' décroîtront en

IIYPOTIU:SE DE M. Df LUlONDliS C)D

moyenne, et par suite que les chocs provoquent une tendance à la
concentra lion indéfinie (').

77. Loi de rcparlllioii des vitesses. — Avant de donner la loi de
M.wwEi.i, sur la répartition des vitesses des molécules gazeuses ilans
la théorie cinétique, exposons quelques considérations préliminaires.

Envisageons un liquide enlermé dans un vase de forme invariahle
qu'il remplit complètement. Soient .'.', v. * les coordonnées d'une
molécule liquide, X, \, A les com[)Osantes de sa vitesse, de telle
façon que les équations ditrérentielles des trajectoires des molécules
s'écrivent

dx dy dz ,
i6) X = Y=Z=^'''

X, ^ , Z sont, par hypothèse, des fonctions données de j:, y, : et /.
Dans ce qui suit, le mouvement sera supposé permanent, en sorte
que X, \, Z ne dépendront que de x, v, r. Comme le liquide est
incomprcssihle, on aura

d\ d\ dZ
(7) dx + dy + r/r = °-

Nous supposerons que le liquide est un mélange de deux autres
liquides : un liquide blanc et vm liquide rose, par exemple. Si, au
début, ces deux liquides ne sont pas mélangés, on prévoit facilement
qu'en général les brassages tins aux mouvements des molécules
liquides auront pour ell'et de les mêler et de rendre linalemenl la masse
homoûène.

Parmi les molécules liquides distinguons-en un certain nombre
(par exemple les molécules du liquide rose), et considérons leur dis-
tribution à une certaine époque / à l'intérieur du vase. Appelons o la
densité du liquide rose (^) au voisinage du point quelconcpie x, y, z :

i' lîemarquons de plus ce fait curieux : l'énergie cinétique moyenne T va aussi
en augmentant ; les chocs ont pour eiïet (Wui'jnieiiter les vitesses. Ce fait est à
comparer au suivant que nous rencontrerons au Chapitre prochain : une résistance
de milieu a pour eiïet d'accroître la vitesse linéaire d'une planète ou d'une comète.
Nous aurons aussi plus loin (Gh. VIII, n° 171 l'occasion de constater un autre
paradoxe du même genre.

!- s sera le rapport du nombre des molécules roses au nombre total des molé-
cules comprises dans un petit volume entourant le point a:, y, :.

96 IlYPOTUhSLS COSMOGONIQUES

nous conviendions de dire que

p dx dy dz

est proportionnel à la probabilité pour qu'à l'époque / une molécule
rose soit intérieure au petit élément de \olume (/a; <-/}' </r. La proba-
bilité pour qu'à l'époque / une molécule rose soit intérieuie à un cer-
tain volume fini sera de même, par définition, proportionnelle à Tin-
té "-raie

n\

dx dy dz

étendue à ce volume.

Soit 'b[x,y. z) une Ibnclion quelconque. La valetu- moyenne de
celte fonction à l'instant t pour les molécules roses ^era par définition

I

Y \\\ pM^. J. ^) dxdydz,

Ydéisignant le volume total du vase, et l'intégrale étant étendue à tout
ce volume. Cette intégrale mesure, si l'on veut, res[)érance mathéma-
tique d'un joueur à qui l'on aurait promis une somme ^ii[X, y, z)
chaque lois qu'une molécule rose sera intérieure au volume dx dy dz.

Au lieu de considérer l'ensemble des molécules roses à une certaine
époque, on pourrait, si on le préférait, considérer une molécule déter-
minée et la suivre dans son mouvement pendant un temps très longï.
La probabilité pour que cette molécule rose soit intérieure à un vo-
lume V serait alors, par définilion, le rapport à T du temps pendant
lequel la molécule envisagée a été intérieure à ce volume. De même,
la valeur moyenne d'une fonction ^ serait définie comme étant la
moyenne, pendant ce temps très long-, des valeurs que donnent à
'i;(aî, y, z) les coordonnées de la molécule en question.

Les mouvements des molécules liquides, définis par les équations
(6), auront en général pour elïet de faire tendre le liquide, au bout
d'un temps suffisamment long, vers un état limite pcriitanenl. Dans
cet état final la densité o du liquide rose devenue indépendante de /,
comme le sont X, Y, Z, ne dépendra plus que de x, y, z. Quelle sera
■cette distribution finale permanente des densités 0 i> ]<]crivons l'équa-
tion de continuilé relative au liquide rose

dp d(^\) f/foY) d(pZ]
de dx dv dz

llYPOTlIliSE DE M. DU I.KJONDLS Q"

dans Télal final [termanent, la dciivcc parlielle -,'. sera nulle; cl celle
(•(jualion se réduira, en verlu de l'cqualion {-), à

,. do ,. do r, do
\ { +\ ,' + / -^ = o.
dx dv d:

Celle cqualion sinlcipi'ètc lacileaienl : d'après les équalions (6),
\,\ ,Z sont proportionnels au\ composantes dx, tly, dz du déplace-
ment clénienlaiie de la molécule ; on a donc

do , do , do ,

,'- dx H- ,'- dv -h ,'- d: =~- G.
dx dy •' d:

Celte équation signifie que, quand l'clal pcnuducnl csl allcint, o ne
varie pas loul le Id/k/ de la Irajeeloirc d'une molécule quelconque .

Si donc une Irajcctoire (pielconcjue reinplil le vase tout entier ('),
l'état final pei'Uianenl donnera

p = const.

dans tout le vase; c'est-à-dire que le mouvement aura eu pour ré-
sultat le mélange complet des deux liquides. C'est le cas le plus gé-
néral.

Mais il peut airivcr que les équations données (G) admettent une
intégrale première

J [x, j, z) = const.

Cette équation représente une lamille de surfaces, et une trajectoire
cpielconque est alors située tout entière sur une telle surface. Si elle
remplit cette surface, la densité o sera constante sur celte surface et
la disliibulion finale des densités sera représentée par

P =/lJ),

f étant une fonction quelconque.

De même, si les équations (6) admettent deux intégrales

3i X. V, : = const., 3, x, v. c = const.,

(') C'est ce qui arrive, par exemple, pour une couriic de Lissajols analogue à
celles que nous avons considérées au n" 71 (p. 87 , el qui emplit tout un paral-
lélé(iipède si les trois constantes a, p, ^ du n" 71 ne sont pas comniensuraLles
entre elles.

g8 iiypoTHi:sES cosmogomqles

on aura comme loi finale de distribution des densités

78. Après CCS préliminaires, envisageons un système mécanique (S)
à // degrés de liberté. Sa situation à l'époque / est définie par n para-
mètres

7,, q., ... q„.

Son énergie potentielle U est une fonction de ces variables^,. Sa force
vive 2T est une fonction des q^ et de leurs dérivées y/ p^^r rapport au
temps. Si nous posons

nous aurons, pour définir le mouvement du système, les 211 équations
différentielles suivantes (équations canoniques de IIamilto>{) :

(8)

(h II (/E dpi (/E

àt dpi dt dqj

oîi E = T+ U représente l'énergie totale du système, fonction des
qiet des pi. Posant pour abréger

(Π_ _ <'E _ p

dp, ~ ^' ' 'tq, - ' "

les équations (8) s'écrivent

(9) ;';"=î^='"-

Elles sont de la même forme que les équations (G), les P; et les Q,
étant indépendants de /. De plus, les Pi et les Q, satisfont évidem-
ment à l'équation

'''/i "^ dp,

de môme forme que l'équation d'incompressibilité (7).
Si donc nous considérons

7l' 'h, ■•-, 'In, Ih, Ih, •••■ I>n

IIYPOTIIKSE DE M. Df L100^Dl:S 1)9

-comme les coordonnées, dans un espace à 2// dimensions, d'une par-
ticule matérielle II, dont la vitesse aurait [)Our composantes

nous pourrons dire que les équations (9) sont les équations différen-
tielles de la trajectoire de la particule II.

Dans cet espace à 211 dimensions, considérons fictivement un vase
complètement rempli par un Tujuide incompressible, les molécules de
ce liquide se mouvant conformément auv équations (9). Comme les
composantes de la vitesse de la particule II satisfont à l'équation (10;
d'incompressibilité^ nous pouvons considérer cette particule II comme
étant en .suspcn.sioii dans un pareil liquide liclil' (jui l'entraîne dans
son mouvement.

•Ainsi, au niouvenicnt de notre système mécanique (S), nous faisons
correspondre, dans l'espace à 211 dimensions, la trajectoire d'une par-
ticule n en suspension dans un fluide incompressible.

Si, au lieu d'un seul système mécanique (S), nous en considérons
un très grand nombre

(SJ, (S,). ..., (S,„).

obéissant aux mêmes équations (9) de mouvement, mais diJîérant
entre eux par les conditions initiales, au lieu d'ime seule particule 11,
nous aurons à en considérer m

n„ n„ ..., n,,,,

toutes en suspension dans le même liquide incompressible. Ces parti-
cules n vont jouer ici le rùlc des molécules roses que nous considérions
un peu plus liant.

Définissons la probabilité pour qu'à un instant donné /, un de nos
systèmes pris au hasard parmi nos m svstèmes satisfasse à certaines
conditions, par exemple pour que sa particule représentative II soit
intérieure à un certain volume v de l'espace à 211 dimensions. Si, ù
cette époque /. la densité des particules FI est représentée par 0 ('), la

[^) La ilcnsilé p est proportionnelle au noml^re de particules II intérieures à
runité de volume, au voisinage du point considéré.

HYPOTIIliSES COSMOGOMQUES

probabilité en question sera, par définition, proportionnelle à Tinté'
grale '211 uplc

ff !■

p '^'j'i <^'72 ••• f^7)j '/Pi dp-2 •■• ^h^ii

étendue à ce volume v.

Soit à{(iy, </2, ..., q,u Pi, pi, ..., p,,) une fonction quelconque. Sa
valeur moyenne, à l'instant /, pour les particules H sera, par défini-
tion,

Y II ••• ( P'^f^'7l '^72 ••■ ^kn '^y^ '^/'j ••• '^/^'M

A' désignant le volume total du vase dans l'espace à un dimensions et
l'intégrale étant étendue à tout ce volume.

Au lieu de considérer simultanément les m systèmes

(S.).(S,). ....(S,„),

on pourrait, si on le préférait, considérer seulement l'un d'entre eux,
et le suivre dans son mouvement pendant un temps très long T, entre
les époques /^ et /q -H T. La probabilité pour que ce système satis-
fasse à certaines conditions serait alors, par définition, le rapport à T
du temps pendant lequel il a satisfait à ces conditions entre les épo-
ques /„ et /(, + T. On définirait de même la valeur moyenne d'une
fonction à{(J^, fj.^, ..., qn, />i, p-2, .-., pn) comme étant la moyenne,
pendant ce temps très long T, des valeurs que donnent à à les coor-
données de la particule II rcpréscntalive du système.

Le liquide fictif de l'espace à 2/i dimensions va, en général, quelles,
que soient les conditions initiales, par suite des mouvements intérieurs
définis par les équations (9), tendre vers un élat limite permanent,
comme il arrivait précédemment dans le cas simple de trois dimen-
sions. Le raisonnement fait dans ce cas simple (p. 97) est évi-
demment général et nous permet de dire qu'une fois Vêlai pcnuducnl
allcint, 1(1 dcnsiU- 0 des paiiiciih's ][ ne inirlcra pds loul le /o/n/ de la
Irajceloire d'une nioléeule quelconque.

Si donc une de ces trajectoires emplit le vase tout entier la distri-
bution finale des densités 0 sera

p = const.

DEPARTMENT OF MATHEMATICS
^ UNIYERSITY OF TORONTO

ini'OTIIi;SE DE M. DL LIOONDKS

dans tout le vase. Si les équations (9) de mouvement admettent une
inté'.'-fale piemière

J =r const.

celte distribution finale sera

Si les équations (9) admettent A: intégrales premières

Jj = const., J < ;= const., .... J^ = const.,
la distribution fmale sera

P=/(J.,J„....J,).

Toutefois celte dernière airirmalion suppose implicitement que la tra-
jectoire tl'une des molécules, qui est située tout entière sur la multi-
plicité à 2/2 — le dimensions définie [)ar les équations

J, = const., J., = const J/.- ^^^ const.,

rempli/ cette multi[)licilé. Nous ailmcllrons — c'est en cela que con-
siste le (' postulat de M.vx-well » — qu'il en est elTectivement ainsi
pour les systèmes que nous considérons.

79. Dans le cas qui nous occupe, les équations (8) ou (9) du mou-
vement admettent une intégrale, celle des forces vives

E = const.

Supposons d'abord que ce soit la seule. La loi de distribution finale
des densités 0 est alors

? =/(E).

Supposons un instant, pour simplifier et pour avoir une représen-
tation géométrique, que notre espace n'a cjue trois dimensions ; alors
l'intégrale

E = const.
représente une famille de surfaces ; la loi

?=/(E)

nous enseigne que 0 est constant tout le long d'une telle surface,
mais peut varier d'une surface à l'autre. Considérons deux surfaces

103 IHiPOTIIÈSES COSMOGONIQUES

voisines E et E -t- '/E {fi<j- \~) ; les normales à E le long du contour

d'un petit élément de surface <h définissent, entre ces deux surfaces^
un élément de volume

'Ç représentant la distance qui sépare les deux surfaces. La probabilité
pour qu'une particule 11 soit inlérieurc à cet élément <h est par déli-
nition proportionnelle à

de sorte que, si nous restons constamment sur la même surface E,
nous pouvons dire que la dcnsilc superficielle le long de cette surface
est représentée par

elle est proportionnelle à 'Ç, qui visiblement est lui-même propor-
tionnel à

I I

Restant encore dans le cas de trois dimensions, supposons main-
tenant que les équations de mouvement admettent deux intégrales

Jj =const., J2 = const.

L'ensemble de ces deux équations représente vmc famille de courbes-
le long desquelles 0 reste constant, tout en pouvant varier d'une courbe
à l'autre. Assujettissons J, à rester compris entre J'^ et J,' -+- ^/J", et
J2 à rester compris entre J" et J',' h- d,]']. Nous définissons ainsi un
petit labc dont nous appelons ^ la section droite. Nous pouvons alors-
prendre des éléments de volume

dt = :da.

inroTiitst: de m. du ligondks io3

<h rcprcscnlanl ici l'éléiaent lim';iirc de la courbe

î 10 T — ïn

J, — J,, Jo — J^,

ce qui nous amène ù délinir le Ion;;- de celle courbe une densité
lincairc

r — r*-'

proporlionnelle à la scclion drnilc JT du tid)e ; et ici l'on aura ^., pro-

porlionnel à

L D(v, -) I ^ Ll)(r, .r) J ^ LD(.r,j) J ■

Plaçons-nous à picsont dans le cas général dun espace à 211 di-
mensions, et supposons que les é(|uations de uiouvcmcnt ()) admettent
k intégrales

Ji = consl,, J, = const., ..., J/.= const.

L'ensemble de ces k équations définit une famille de multiplicités
à 211 — A- dimensions, le long dcsquelhs 0 est constant, tout en pou-
vant varier de Tune à l'autre. Nous pourrons encore considérer un
élément (h d'une de ces multiplicités, et cberclier une dcnsilc fictive
d correspondante : nous trouverons encore

I , . . . , ,

VI étant ici proportionnel a

A2.

où les A sont les dllTérents jacobiens d'ordre /<■ qu'on peut former avec
les k fonctions J et les -m variables ^i et y>,.

Le résultat serait le même, et nous trouverions la même densité
fictive (j , si nous posii^ns le problème d'une façon un pou diiïérenle.
Supposons que les équations de mouvement (9), au lieu d'admettre k
intégrales, en admettent seulement /i

(11) J, = consl., Jj =^ const., .... J,, = const. ;

mais nous imposons à notre système l'obligalion de satisfaire à k — h
autres conditions

(12) J/._i.i ^= consl., J/,_i_2 = const. J/,:= const.,

I04 IlYPOTlIliSES COSMOGOMQl'ES

que nous nous donnons arbilraircment. En d'aiilres termes, parmi
tous les systèmes qui satisfont aux h conditions (i i), nous considérons
seulement ceux qui satisfont en même temps aux /,• — h conditions
(12). Et c/'da sera proportionnel à la probabilité pour qu'un système
satisfaisant à la fois au\ conditions (ii) et (lu) ait sa particule
représentative 11 située sur l'clémcnt (/c de la multiplicité à in — k
dimensions définie par les conditions simultanées (11) et (12).

Remarque. — Dans les cas que nous considérerons, les multipli-
cités à 2/i — k dimensions que nous aurons à envisager présenteront
la symétrie de sphères concentriques ou de cylindres coaxiaux, si
bien que la quantité 'Ç sera une constante tout le long de la multipli-
cité envisagée, et il en sera de même de rj .

80. Appliquons les considérations précédentes à un système méca-
nique formé par un très grand nombre n de projectiles dont l'action
mutuelle dépend seulement des masses et de la distance : ce système
sera, si l'on veut, un gaz dont chaque molécule est assimilée à un
projectile. Soient Xi, x-2, Xi les coord(3nnée.s du premier projectile
dont la masse sera désignée indifféremment par //h, m-i ou m,. Soient
de même £Ci, x'.;, Xi-, les coordonnées du second projectile dont la
masse sera désignée indifl'éreniment par /??,, m., ou m,-, ... VA ainsi de
suite.

Non

s poserons

/-■ = V"'

et

qi = V m; Xi

L'énergie potentielle U du système sera une certaine fonction des Xi,
c'est-à-dire des qu La demi-force vive T aura pour valeur

1 =: > /», r, - ^ > -y, - = -- > \)-.

Et comme on a

rfT

^' ^ àql '

les y, et les [), lormenl un système de luiridhles cdiioniqnes ; autrement

1IYP0TI11:*E Di: .M. Df

dit, on aura pour définir le niouvemenl les équations de IIamilton

(8)

(/7, _ </!•: dp, _ _ r/K

dl dp, dl d(li

oîi E = T — l repiésciilc l'énergie totale.

En supposant que les positions des molécules ou projectiles
soient do/inccs, les </, et L seront des constantes fixées une fois pour
toutes. Cherchons alors une loi de prohahilité pour les vitesses, c'est-
à-dire pour les/),. En d'autres termes, cherchons comment les vitesses
seront distribuées en movcmie chaque l'ois que le système repassera
par sa configuration initiale (()u par une configuration très voisine).

On conçoit que les considérations développées [)his haut trouvent
ici leur application. Su[)pusons d'abord que les équations (8) n'ad-
mettent pas d'autre intégrale que celle des forces vives

E == const.

Dans lespace à •2ii dimensions des coordonnées fji et p,, nous aurons
alors à considérer la multiplicité à 211 — i dimensions

(l3) E = const.

^lais comme on nous a imposé d'avance les positions de toutes les
molécules, c'est-à-dire les (/i, il faudra que nous prenions l'intersec-
tion de cette multiplicité avec les plans

(^1^ const.. 'yj = const (y,; r= const.

Cette intersection est une multiplicité M à n — i dimensions. Les rj-
el U étant des constantes, l'équation (i3) s'écrit simplement

T = - > /»,- :=: const. :

telle est, dans l'espace à n dimensions des p ,. l'équation de notre mul-
tiplicité M à /i — I dimensions.

Cette multiplicité M présente, on le voit, la svmétrie d'une sphère ;
par suite d'après la remarque faite à la page loV la quantité
appelée plus haut 'Ç et la densité fictive 0' sont constantes tout le long-
de cette multiplicité M, que nous pouvons appeler une s[)hère à n — i
dimensions, pour faciliter le langage.

I06 UYPOTuioSES OOSMOGOMQLES

Le point

}h, Ih Pn

représenlalif des vitesses de noire système est donc situé sur cette
sphère. Et comme la densité o' à la surface de cette sphère est cons-
tante, nous pouvons dire que la probabilité, pour que ce point repré-
sentatif soit situé dans une certaine région R de cette sphère, est pro-
jiortionnelle à la surface de cette région R.

Quelle est alors la probabilité pour que Pi soit compris entre p'I et
p[ -h dpl'^ Nous n'aurons qu'à prendre comme région R la zone dé-
coupée sur la sphère par les deux plans

et la prol)abilité cherchée sera proportionnelle à la surface de celte
zone, surface que nous allons évaluer. Appelons /• le rayon de notre
sphère h n — i dimensions. Ce rayon est délini par

V ,,,. = ,.= ;

et nous posons

r'- = nk-,

n étant le nombre des molécules ; la constante /.- sera alors la
moyenne arithmétique de tous les /),-. Si nous posons

p'i' = /• cosO,

la surface de la zone en question sera proportionnelle à

sin"— -0 t/O,

c'est-à-dire à
Mais nous avons

sin"-''0 dpi.
sin2 0= I —'À

1-

Pf-

~ ni,-' '

par suite nous pouvons représenter la surface de notre zone par

n — 3

-^(■^£V'«;

lYPOTHKSi; Di; M. Dl LIGOTIDES

celle expression représente aussi la prol)al)ililé pour que /)i soit com-
pris enlrc />j' el p" -h r///,'. Gomme n esl 1res |_M-ancl, par hypothèse,
on peut écrire api)ro\imalivemcnl (')

cc qui clnnno à la probabilité la forme

_PÏ'

Telle est l'expression de la loi de Maxwell sur la répartition des vi-
tesses des molécules gazeuses (-).
Le point

Pi' P^ /'"

étant situé sur la sphère

^ p;"- = const..

et la densité fictive '>' étant constante à la surface de celte sphère, tous
les p"- ont même valeur moyenne ; ce que nous écrivons

Pr=Ph

en surmontant les lettres d'un trait pour indiquer qu'il s'agit de va-
leurs moyennes. Faisant d'abord /= •>, pi ci p., sont relatifs à une
même molécule, et l'équation précédente montre que cette molécule a
même force vive moyenne dans le sens des ,'■ et dans le sens des y.
Si p, et pi sont relatifs tous deux à l'axe des a:, mais à deux molécules
dill'érentes, la même équation prouve que ces deux molécules ont,
suivant une même direction, la même force vive moyenne. Donc, si

(') On sail cti dlct fjiic ( i + j a pour limite C quand n croit indéfiniment.

(- Si, parmi nos n molécules, il s'en trouve deux identiques, on peut les inter-
vertir sans ciianger la configuration du système : les deux systèmes ainsi définis
satisfont à la mrme loi de probabilité. S'il se trouve > molécules identiques, on
peut les intervertir de A ! façons différentes : on obtient ainsi N ! systèmes satis-
faisant à la même loi de probabilité. Cette loi subsiste donc même si l'on ne con-
sidère pas comme distincts ces > ! systèmes qui offrent tous la même configuration.

I08 HYPOTHÈSES COSJIOUOMOLES

l'une des molécules a une masse plus grande que celle de l'autre, sa
vitesse moyenne sera plus faible.

81. La démonstration précédente s'applique au cas d'un gaz en-
fermé dans un vase à la même température que lui. Si le gaz est
entièrement libre, cette démonstration demande à être complétée.
Dans ce dernier cas, en elTet, les équations (8) du mouvement n'ad-
mettent pas seulement l'intégrale des forces vives qui s'écrit toujours,
les (ji étant supposés donnés,

(i4) 7 pr = const. ;

elles admettent aussi les intégrales du centre de gravité ('). Si nous
projetons la quantité de mouvement de toutes les molécules sur la
direction quelconque dont £i, ii, s., sont les cosinus directeurs, la
somme de ces projections est une constante A. La première molécule
a pour quantité de mouvement en projection sur cette direction

/ , / / / — / /

£i/»i:f 1 -T- ^lUoXi -h HiiifX -i = ^^ \/mipi + i., \ in.p., + £3 \ in.p^.

La seconde molécule a de même pour projection de sa quantité de
mouvement sur la même direction l'expression

OÙ l'on a posé, pour plus de symétrie dans les notations,

Et ainsi de suite. L'intégrale du mouvement du centre de gravité,
en projection sur la direction envisagée, s'écrit donc

dans celte égalité on a posé

2 =:; "S ••• -^.^ . — , •••1

E, = £,;== f„ = ...= £3,^ =••••

(') Ces intégrales n'exislaicnt pas dans le cas d'un gaz renfermé dans un vase.
puisque les molécules étaient soumises aux réactions des parois du vase qui sont
des forces cxlcriciires au sjstètne.

llYPOTIILSi; DE M. DU I.I«;ONDi;S 10^

\ous devons, dans l'espace à n dimensions, couper la s[)lièie (iV)
par le plan (i5) : l'intersection est une splicic à n — •.> dimensions
dont nous appelons p" les coordonnées du centre. Pour avoir ce
centre, nous abaissons de l'oriirine la perpendiculaire sur le plan ( lô) :
nous obtenons les équations

qui expriment que les p'I sont proporlionncls aux cosinus directeurs
de la normale au plan (i5) ; et pour déterminer la constante /.-, nous
écrivons que le point p'/ est situé dans le plan (i3), ce qui donne

/.V ,.„,=. A.

Avant ainsi obtenu le centre de notre sphère à n — 2 dimensions^
transportons-y l'origine en posant

La sphère (l'i ) devient alors

^ l>\- -h 2 ^ /)■/)" -+- ^ /)"- = con:t. ;
or, on a

= k[\ — A]
= o ;

par suite, l'équation de la sphère (i '1) s'écrit

^ p- = const.
Il faut couper celte sphère par le plan diamétral (i5), devenu

La multi[)licilé li n — 2 dimensions qui résulte de cette intersec-
tion présente encore la symétrie de la sphère. Un raisonnement
identique à celui qui a été lait plus haut montrerait alors que la dis-
tribution des p[ satisfait encore à la loi de Max\\ ei.l.

0 nVPOTIIi:SES COSMOr.O.MQLE!»

Or, si Ion fail successivement

£1 = 1, E, :^ O, Ej

puis

enlin

o, -2=1, ^1 = o,

o, £0 = o,

afin d'utiliser l'ensemble des trois intégrales du centre de gravite', les
p\ ne sont antre chose, on le voit aisément, que les variables qui
correspondent aux vitesses des molécules par rapport au centre de
(jravilé du système .

?sous pouvons donc dire que dans une masse gazeuse entièrement
libre, la distribution des vitesses relatives par rapport au centre île
gravité satisfait encore à la loi de Maxwell. En particulier, les di-
verses molécules auront même force vive moyenne ; si leurs masses
sont inégales, les grosses molécules auront, relativement au centre
de gravité, une vitesse moyenne plus faible que les petites ; plus les
masses des molécules seront grandes, plus leurs vitesses se rappro-
cheront de celle du centre de gravité.

82. Tout ce qui précède s'applique aux gaz arrivés à un état station-
naire, et qui, par conséquent, se trouvent dans leur ensemble en état
d'écpiilibre mécanique et thermique. Lorsqu'au contraire la masse
gazeuse possède diverses régions où les vitesses et les températures ne
sont pas les mêmes, le mécanisme du frottement et de la conducti-
bilité tend à égaliser ces vitesses et ces températures, et à déterminer
im état slalionnaire. Considérons, en effet, deux portions conliguës A
et B où les vitesses moyennes sont dillérentes, les molécules de B,
par exemple, présentant une prépondérance de vitesses dirigées dans
un certain sens. Des échanges de molécules s'elVectuent entre les ré-
gions A et B, et les molécules qui passent de B en A apportent avec
elles leur vitesse ; la prépondérance diminuera donc en B et la vitesse
augmentera en A : c'est ainsi que le frottement ou la viscosité de la
masse gazeuse tend à égaliser les vitesses de A et de B, et à rendre
nulle la vitesse relative de l'une des régions par rapport à l'autre.
L'ensemble de la masse gazeuse tendra donc vers un état final où elle
se mouvra d'un bloc, à la fa<;on d'un corps solide. Si le moment
de rotation total était nul initialement, cet état final est une simple

DE M. i>u; Li(;<>M)i:s

Iranslalion ; si ce mrirncnl de rotation Inilial cxislail, l'élal final est
une translation acco[n[)agnée d'une rotation autour d'un certain axe.

Le mécanisntie de la conductibilité tlieriniquc est entièrement ana-
logue. Ueprenons nos deux régions conliguës \ et li et supposons la
région B plus chaude que la région A. Les molécules de B auront
alors une lorce vive moyenne supérieure à celle des molécules de A ;
par suite les molécules qui passent de H en A tendent à écliauller A;
celles qui passent de A en H tendent à refroidir li. Les températures
finiront donc par s'égaliser.

Toutcl'ois, si la masse gazeuse est d'un volume considérable, elle
n'arrivera à son état final stationnaire tant mécanique que thermique,
qu'au bout d'un temps excessivement long ('). Mais chaque petit
volume atteindra assez rapidement un état d'équilibre local, où les
vitesses des molécules satisferont à la loi de Maxxvei.l (il s'agit ici des
vitesses relatives par rapport au centre de gravité de la région res-
treinte envisagée).

83. Revenons maintenant à la nébuleuse chaotique de M. vn Li-
coxDÈs, et vovons dans quelle mesure tout ce qui vient d'être dit sur
les vitesses des molécules gazeuses dans la théorie cinétique s'applique
aux projectiles qui composent cette nébuleuse. Si ces projectiles
étaient parfaitement élastiques, l'assimilation serait complète. Lorsque
deux projectiles élastiques de même niasse, qui se sont choqués,

A'/- 1^-

rebondissent l'un sur l'autre, la vitesse de leur centre de gravité
commun n'a ])as changé, la force vive totale non plus ; quant à la
vitesse relative de l'un par rapport à l'autre, elle n'a pas changé en
grandeur, mais elle a changé en direction. En d'autres termes, si les
vecteurs oa et ob représentent (fifj- i8) les quantités de mouvement
des deux projectiles axant le choc, leur somme géométrique oc n'a

I ^ oir ce qui a clc dit au Cliap. III, Section IV, a» sujet de la faiblesse de
riiillueiice des rrollemeiils quand il s'agit de grands >oUiaics lluiiles.

IlVPOTllli!>L:S COSMOGOMOVES

pascliangé; leur dilTércncc géométrique ah a conservé sa grandeur
mais a varié en direction. Telles sont les lois du choc de deux corps
élastiques de môme masse.

Considérons maintenant deux points matériels A et B de même
masse s'attirant (ou se repoussant) suivant une loi quelconque fonction
de la distance, l'action étant nulle à distance infinie. Quand ces deux
points sont très éloignés l'un de l'autre, leurs trajectoires sont recti-
lignes ; elles s'incurvent ' fig. 19 lorsque ces deux points viennent
à passer l'un près de l'autre; puis, la distance augmentant, les deux
trajectoires redeviennent rectiligncs. La force vive n'a pas changé;
quant à la vitesse relative, lorsque les deux points sont arrivés en A' et
en B' oii les trajectoires sont redevenues sensiblement rectilignes, elle

+ B'

7'.7- 19-

na pas varié en grandeur, mais elle a changé en direction. Nous
retrouvons donc exactement les mêmes lois que dans le choc de deux
corps élastiques ; en effet, le choc de deux corps élastiques peut
être regardé comme un cas particulier du problème que nous envi-
sageons. Nous conviendrons de dire que les points matériels A et B,
ainsi déviés de leur route, ont subi un dciui-clioc. Les demi-chocs se
font conformément aux lois des corps élastiques.

Les matériavix qui constituent la nébuleuse de M. du Lir.oxDKS et
qui s'attirent entre eux suivant la loi ne^^tonienne vont ainsi subir un
grand nombre de demi-chocs : à ce point de vue ils sont assimila-
bles aux molécules d'une masse gazeuse. iNLais, à côté des demi-chocs,
il faut distinguer aussi les cliocs vcrilahics (jui ont lieu lorsque deux

iivpOTm:*!: de m. nu lkjondus

|Mojectiles A et B viennent à se toucher physiquement. Ces chocs
vérilahlcs se font toujours avec perle de force vive, et par suite avec
tendance à la concentration, parce que les matériaux cosmiques ne
sont pas parfaitement élastiques mais plutôt mous.

Les deiui-chocs, dans la néhulcuse, sont certainement beaucoup
plus fré(juents que les chocs véritables. Par suite, malgré la possibilité
(le ceux ci, les vitesses auront loul d'abord une tendance à se répartir
selon la loi de Maxwelf., les [)rojcctilcs les plus gros prenant une
vitesse moindre que les plus petits. L'elîet concentrateur des chocs
véritables produira quelques grosses agglomérations. Ces grosses
agglomérations, en vertu de la loi de Maxwell (que les demi-chocs
tendent toujours à maintenir}, prendront une vitesse relative assez
faible par rap[)ort au centre de gravité de la région où chacune d'elles
se trouve. Comme la nébuleuse entière, assimilée à une masse ga-
zeuse, lend, par suite du frottement, à tourner d'un seul bloc comme
le ferait un corjis solide, les grosses agglomérations tendront finale-
ment à jirendre une vitesse peu différente de celle qui correspond à
une rotation uniforme autour d'un axe.

Dans ces conditions, reconnaissons que les inclinaisons des orbites
des grosses agglomérations sur le plan équatorial vont tendre à dimi-
nuer. Soient O le centre de la nébuleuse. Il le plan équatorial du maxi-
mum des aires et Y la vitesse actuelle d'une grosse agglomération 1^
{fi<j. 20). Celte vitesse tend à se rapprocher de la vitesse V qui cor-

^^-P^\

^'0

jhj. 20.

respondrail à une rotation luiiformc autour d'un axe Oz perpendicu-
lairi; au plan II. Or il est manifeste que le plan OPV' est moins
incliné sur le plan II que le plan OPV. Il y a donc à chaque instant
tendance à là diminution de l'inclinaison de l'orbite de P, qui finira
par se rapprocher du plan IT.

Poi

Il', HYPOTHliSES COSMOGOMQUES

En même temps, l'excentricité de l'orbite tendra à diminuer. En-
effet, si PV est la vitesse de la grosse agglomération P en projection
sur le plan équatorial {fi(j. 21), cette vitesse tend à se rapprocher de

/'

fig. 31.

la vitesse PV qui est perpendiculaire au rayon vecteur et qui corres-
pond à la rotation uniforme. L'orbite ayant une fois atteint la forme
circulaire, la conservera comme il a été expliqué au Chapitre précé-
dent.

On comprend également, et pour la même raison, pourquoi les.
orbites des planètes sont toutes directes (*).

84. II y a lieu ici do faire une remarque. Si les demi-chocs exis-
taient seuls, comme ils se font conformément aux lois des corps
élastiques, la nébuleuse chaotique serait alors entièrement assimilable à
une masse gazeuse isolée dont la figure d'équilibre finale serait un
sphéroïde très peu aplati et sans forte condensation centrale. Dans
l'aplatissement et la concentration de la nébuleuse de M. du Ligoxdi:s,
le rôle tout à fait essentiel est joué par les chocs véritables. Or, ceux-
ci, nous l'avons dit, sont beaucoup moins fréquents que les demi-
chocs. Sont-ils néanmoins assez nombreux pour qu'on puisse leur
attribuer la transformation de la nébulcTiseen système solaire, et n'est-
ii pas à craindre, au contraire, que l'effet des demi-chocs ne l'emporte?
La question n'est pas tranchée et demanderait à être approfondie.

85. Cherchons maintenant pourquoi les planètes ont un mouve-
ment de rotation direct, excepté celles qui sont les plus éloignées du
Soleil. Nous pourrions encore faire intervenir l'influence des marées
solaires, telle que nous l'avons expliquée au Chapitre III, Section VI.

Ce n'est pas ce que fait M. dl Lkiondics. L'intensilé de la pesanteur
à l'inléricur de la nébuleuseayant varié avec le temps, depuis l'origine

(') Observons que, dans l'Iiypollièse de INI. du Lihondès, il n'est pas nécessaire
de supposer que la dilTérenlialion initiale de la nébuleuse s'est faite sous fornie
d'anneaux : les grosses agglomérations ont pu se produire d'une façon quelconque-
à son intérieur.

iiYPoriiKsr: de m. du i.innMiKs

OÙ elle était pioporlioniiclle à la distance au centre jusqu'à l'état linal
actuel où elle varie en raison inverse dn carré de la distance, il admet,
comme F.v^r: (Cf. n° 60, p. 72), qu'il y a eu à cliaque dislancc une
pcridde directe c{ wna période rélrof/radc. La loi par hupielle il repré-
sente l'intensité de la pesanteur dans la période intermédiaire est seu-
lement plus compliquée, mais aussi elle est plus voisine de la réalité
que celle de Faye. La période directe a duré très peu de lemjis pour
les régions extérieures de Neptune et d'Lianus, aussi ces planètes
sont-elles rétrogrades. Elle a duré beaucoup plus longlenq^s pour les
régions des planètes inlérieures, et lorsque la période rétrograde est
arrivée en ces régions, il était trop lard [)(iur changer le sens de rota-
lion de ces planètes déjà presque complètement formées.

86. M. DU Li(:o>Di:s tente aussi d'expliquer certains faits particuliers
oflerls par le système solaire. Par exemple, Jupiter se trouve être la
plus grosse des planètes, parce que le disque équatorial aplati, géné-
rateur des planètes, aurait présenté à la distance correspondant à
Jupiter un maximum de densité. Il trouve aussi certaines raisons pour
rendre compte des lois suivant lesquelles varient les masses des
dilVérenles planètes, leurs distances au Soleil, les inclinaisons de leurs
axes...

Disons enfin que, d'après M. m Lkjondi'.s, l'ordre des |)lanètes,
rangées au point de vue de leur âge, serait le suivant : Jupiter,
^e[)tune, Uranus, Saturne, la Terre, Mars, Venus, Mercure.

Les considérations développées dans les n"^ 85 et 86 nous paraissent
avoir moins d'importance que les précédentes. On pourrait les aban-
donner sans renoncer aux principes fondamentaux de la théorie que
nous venons d'exposer. En ce qui concerne le sens de la rotation des
planètes, nous avons vu que la théorie des Marées était seule capable
d'en rendre compte; les objections faites aux idées de E ave sur la
(( période directe » et la « période rétrograde » conserveraient ici leur
valeur. D'autre part, il nous semble prématuré de chercher à rendre
compte, par des considérations a priori, des lois qui lient les masses
des planètes aux grands axes de leurs orbites, à la durée de leur rota-
tion, au nombre et à la répartition de leurs satellites. Si ces considé-
rations étaient justifiées elles devraient s'ap[)liquer aux systèmes pla-
nétaires qui entourent toutes les étoiles, et tous ces svslèmes devraient
être identiques ce qui est bien peu vraisemblable.

CHÂPITUE VI.

HYPOTHÈSE DE M. SEE.

87. Pour ^I. See ('), les planètes n'ont pas du tout été l'ormécs par
des iVagaicnts de la nébuleuse solaire et la Lune ne provient pas d'un
fragment de la nébuleuse terrestre. Les planètes sont, d'après lui,
d'origine cosmique extérieure à la nébuleuse solaire; ce sont des corps
étrangers qui, venant à ]iasser dans le voisinage du Soleil, ont été
captés par lui. De même la Lune a été, à une certaine époque, captée
par la Terre.

Gomment s'est produit ce phénomène ? M. Sel: pense qu'autrefois
le Soleil était entouré d'une vaste atmosphère, et que c'est par l'elTcl
de la résistance de milieu créée par cette atmosphère que la capture a
eu lieu.

88. Etudions donc l'clTct d'une résistance de milieu sur le mouve-
ment d'une planète (■). Si la résistance était nulle, le mouvement
serait képlérien, l'orbite serait une ellipse d'excentricité d'ailleurs
quelconque. La densité du milieu résistant étant par hypothèse très
faible, cette orbite variera lentement. >'ous allons étudier les varia-
tions de cette orbite par la méthode de la variation des constantes.

Rappelons d'abord quelques formules du mouvement elliptique des
planètes.

Appelant r le rayon vecteur et v l'anomalie vraie, l'équation de
l'orbite est

^ ' i -\- e cos V

e désignant l'excentricité, et

(2) p = a{\—e')

('1 T. J. J. See : Rescarches on the Evolutionof Ihe Stellor Systems, vol. Il : The
Capture Theory of Cosmical Evolution 1 Lynii, Mass , U. S. A., Tlios. P. ^'icllols and
Sons; Paris, A. Ilermann, 1910 .

{-J T. J. J. See : Loc. cit., Ch. MI, p. iSj-iôS.

H8 IIYPOTIIKSES COSMOr.ONIQUES

désignant le paramèlre de l'oibilc cllipllque dont sa est le grand axe.
Nous avons aussi l'équalion des aires

la constante des aires C ayant pour valeur

G = /My> ,

oii M représente la masse du Soleil. (Nous négligeons la masse de la
planète vis-à-vis de celle du Soleil.) Le moyen mouvement n est lié
au demi-grand axe a par la troisième loi de IvKPLiiu

(3) nhi' = M.

Enfin l'équation des forces vives donne

.^, _ M _ _ M

/• -la

ï étant la demi-force vive.

Diirérentiant l'équation ( i) par rapport au temps, il vient

dr pe sin v dv

dt (,!"+" <-' ^"os v)- dl
pe sin u C

( I -t- <-' cos V) - r-

ne sin y C , , ,

= 7 — r, -9(1 H- « COS l'j-

( [ + e cos j;,r p- ^ '

C .

:^ - e SUl l'.

V
Or TT est la composante de la vitesse suivant le rayon vecteur. La com-
posante perpendiculaire à ce rayon a pour valeur

do C
'■ dl = r

= - ( I -t- ^ cos V).

p

Des deux composantes de la vitesse V nous déduisons, pour le carré
de celle vitesse,

V^ r= — (i -t- 2 e cos V -h e^).
p2 . J

liyPOTUKSE DE M, SEE HJ

Si, pour abréger, nous posons

nous aurons

V='^o

Les formules ci-dessus conviennent au mouvement képléricn.

Supposons maintenant qu'il existe un milieu atmosphérique don-
nant une résistance R directement opposée à la vitesse et tonclion de

la valeur \ de cette vitesse. La constante des forces vives — ^— subira,

pendant le temps '//, une variation

cette variation sera égale au travail de la résistance R, travail qui a
pour valeur

on a donc

^ '^ = _ RV
aa- dt

d'où l'on tire

da aRpa-

rempla<.-ant M et p par leurs valeurs (2) et (3) dans cette dernière
équation, on obtient

/,v da 2R?

dt

n V I — e'^

A oilà l'équation qui donne la variation du grand axe : le second mem-
bre est essentiellement négatif. L'effet de la résistance de milieu est
donc toujours de diminuer '/, et par suite, d'après l'équation (3),

I20 HYPOTHESES rOSMOGOSIQUES

d'augmenter n. La \itesse angulaire de la planète s'accélère (') en
même temps que sa distance moyenne au Soleil diminue.

Etudions, à présent, l'cfTet de la résistance de milieu sur l'excen-
tricité de l'orbite.

Tout d'abord la constante des aires C aura sa dérivée -„ éj-ale au

al "

moment, par rapport au centre d'attraction, de la force perturbatrice
R. Or, cette force R opposée à la vitesse a pour composantes :

suivant le rayon vecteur

r/r

- R ''' ,

V

perpendiculairement au rayon vecteur

dv

- R ^ ;

Y

et le moment de la force W par rapport au Soleil est

.dv

On a donc

(5)
Rappelons que

11 y — *^ Y

rfC _ _ R C

dl — V

= M=* a- (i — e-y-.

Prenant les dérivées logarilbmiques des deux membres extrêmes, il
vient

rfC i /da 2 ede

oC I /da

G 2 \ a 1

(i) La formule (3) montre mùme que na augmente quand a diminue. D'où cette
conséquence curieuse : une résistance de milieu a pour eflet d'augmenter la
vitesse linéaire de la planète.

llYPOTIIESIi Di: M. SEE

Celle équation va nous pernicllie d'ohlcnir '/<• puisque da et dC vien-
nent d'être calculés. On trouve

ae de i da •?. (/C

1 — e- dt a dl C (//

. , , . , da (W. , / /\ . /-\

cqualion qui s ecril, en remplaçant ^^ et ^ par leursYaieurs(/i)et(a),

(C^)

3e (

le aRo 2K

c- dt ,ia \' i — g2 \

Transformons le second membre de celle égalité. Nous avons trouvé
précédemment (p. 119)

/M
P
na

V = ? V

par suite ce second membre se met sous la forme

na V^i — e- L' ? J

ou encore, en nous rappelant la valeur de 0-, sous cette autre forme

aR 26 cos V H- 2e-

na V I — e r

L'équation (ô) donne donc finalement

, , de 2R v^i — e- , .

(7) j, = (^ + cos V).

^'^ dl nap '

Telle est l'équation qui donne la variation de l'evcentricité de l'orbite.

89. Les formules (4) et (7) permettent de calculer à chaque instant
les variations du grand axe et de l'excentricité. Mais ici il importe
seulement d'obtenir leurs variations séculdircs, et pour cela de cal-
culer les valeurs de da et de de pendant le temps d'une révolution
complète.

Prenant pour variable indépendante l'anomalie vraie v, nous aurons

' da da dl

S dv dt dv '
^^) . \de_dedl

[ dv ~ dt dv '

123 iiypoTHfSEs cos:mogomques

Or, l'équation des aires donne

<9)

=:: p- (l + e COSI')"

<lv ~ C

Les formules (4), (7) et ^g) permettront donc d'écrire les valeurs (8

, da de . . , , . . ,

de ^^ et ,- qui, intégrées entre o et :>-, donneront les variations tlu

demi-grand axe et de l'excentricité pendant une révolution.

II y a lieu de faire certaines hypotlièses sur la résistance de milieu
R. Cette résistance croît avec la vitesse; nous la supposerons propor-
tionnelle à une certaine puissance de la vitesse V. Elle varie avec la
distance /• au Soleil, car la densité (et par suite la résistance) de
l'atmosphèie de cet astre croît à mesure qu'on s'en approche; nous
admettrons que R est proportionnel à une certaine puissance (néga-
tive) de /■. Bref, nous poserons

(10) R = /tV*r-?,

h, a e: 1^ étant des constantes positives. Comme Y est proportionnel

à 0, et /• a — — T~, nous pouvons écrire la lormule (10) ainsi :

i 1 H- e cos u A ^ '

Y\ = hf (1 +ecosi')?,
Ji étant une nouvelle constante positive.

Avec cos liypothèses sur R, les valeurs (8) de , et , , calculées au
moyen des formules (^j), (7) et (9), peuvent s'écrire

oii n désigne la constante positive

j= — II ( ' — e-) ^ p* ' ( I + e cos I')'' '-'■ {e + cos v) ;

2}rli

rappelons que, dans ces valeurs (i i),

I

p = ( I -t- 2 e cos /.' + e-) a .

HYl>nTHi:SE DE M. SKE

133

Pour ('ludicf les varialious séculaires de a et de e, nous devons
développer les seconds membres des valeurs (ii)en séries trigonn-
niétriques suivant les cosinus des niulliples de v, cl intégrer entre
)' = o et r = '2T.. A l'intégration tous les cosinus donneront zéro;
par suite ce qui nous intéresse, ce sont les termes constants de ces
Llé\e!oppenicnts trigonomélriques et surtout le si<jnc de ces termes
constants.

da ... , .,. . da

Nous savons déjà que , est cssentielleuicnt negatil, puisque ^j

l'est loujoius. Occupons-nous donc seulement de .;. Nous devons
développer en série liigonomélrique l'expression

p*~"' \ -^ e cosv)''~'' {e — cosv).

Or, si nous dévcluppous d'abord le produit des deux premiers termes,
nous obtenons :

la) p''""' (i -f- e cosi'"^~- = Aq -t- A, cosf — A. cos2d — ... .

Nous remarquons que Ao est essentiellement positif puisque c'est la
valeur movcnne du premier membre dont les deux termes sont tou-
jours positii's. Multipliant ensuite les deux membres de la rormule(i2)
par {e -h cosr), il vient

/ A , '

p^~' (i + c cosi')'^~" e H- cosr^ = ( A^e H- -

les termes non écrits au second membre ayant tous leur valeur

moyenne nulle.

La seconde iormule (ii) donne donc pour la valeur moyenne de

de ^ , . .

1 ^ pendant une levolulion

('3) !/' = -" i---Kv + ^)-

Reconnaissons que le second membre de l'équation (i)) est, en
général, négatif ; nous en conclurons que la résistance de milieu a
pour cITet de diminuer l'excentricité de l'orbite. Cela aura lieu en
particulier toutes les fois que A, sera positif. Or, d'après la formule
(l'i). on a

/^T. 2 I

Al = ^ I ( I H- 2 e CCS r -I- e-) ^ i -{- e cosr'"~- cosvdv.

124 inPOTUisES COS.MOGOMOUES

Si l'on a en même temps

a> I, ? > 2,

Al sera positil", car de deux éléments de l'intégiale correspondant aux;
deux valeurs i' et tt — v de la variable d'intégration, l'un est positil"
et l'autre négatif, mais l'élément positif est plus grand en valeur
absolue que l'élément négatif.

D'une façon analogue, on reconnaîtrait que si les deux inégalités

sont satisfaites, on aura de même Ai >• o.

Si nous supposons l'excentricité c assez petite pour pouvoir négliger
son carré e'-, nous trouverons des conditions plus larges. La seconde
formule ( 1 1) se réduira à

</e - . ,

-,- = — H I -h (a — lie ces y -|- ('P — 2) e ces y] (e -h cosv) ;

d'où, en ne gardant que la valeur moyenne du second membre, on
lire

de ,, / a -+- B — 3

du \ a

Ile Q ,

= (a + a — 1).

Il suffît alors, pour que l'excentricité décroisse, que l'on ait

Dans ce cas, même si |3 = o (c'est-à-dire si la résistance R ne varie
pas avec la dislance r au Soleil), il suflira que l'on ait

a > 1,

c'est-à-dire que K croisse plus vite que la simple puissance de la vi-
tesse. Or, on admet souvent, à titre d'approximation, qu'une résis-
tance de milieu est proportionnelle au carré de la vitesse.

90. Cette diminution de l'excentricité par le fait d'une résistance
de milieu aurait pu se prévoir, en gros et sans calcul, de la manière
suivante. Supposons que la résistance ne se fasse sentir qu'au voisi-
nage du péribélie P [/}(/. ay) ; dans ce cas, la planète subit en ce

HYPOTIIKSE DE M. SEE 125

point P une brusque diminulion de vitesse, d'oiî résulte vinc diminu-
tion du jjiiaml axe. Le péiilu'lie reslaul le mémo et l'apliélie se lap-
piocliant, il est clair (pic Icxccnliicilé tlécroît. Au contraire, si la
résistance n'agissait f|u';iu moment de l'aphélie, la nouvelle orbite
aurait même a[)liélie (pic l'ancienne, mais son périhélie se rappro-

cheralt du Soleil : l'exciMilricilé augmenterait. Dans la réalité la ré-
sistance se fait sentir tout le long do rorl)ite, mais deux raisons font
qu'elle est plus importante au périhélie : d'abord, en ce point la
vitesse est maxima, puis l'atmosphère étant, en général, plus dense
à mesure qu'on se rapproche du Soleil, elle oppose une plus grande
résistance [ucs du périhélie.

91. En résumé, l'etlet d'une résistance de milieu sur une orbite
képlérienne est de diminuer à la fois le grand axe et l'excentricité (').
Donc, si l'on admet, avec AI. See, qu'autour du Soleil s'étendait pri-
mitivement à de très grandes distances une atmosphère résistante, on
conçoit qu'un astre d origine cosmique, venant à passer dans la sphère
d'action du Soleil, ait pu modifier sa trajectoire. Celle-ci, de parabo-
lique ou hyperbolique qu'elle était, a pu d'abord devenir elliptique ;
puis la résistance de milieu continuant à faire décroître le grand axe
et l'excentricité de l'orbite, celle-ci s'est rapprochée de la forme
circulaire. Lorsque l'atmosphère résistante, peu à peu absorbée par
le Soleil, a finalement disparu, l'astre a continué à circuler autour du
Soleil dans son orbite voisine d'un cercle. Telle est, d'après AL See,
l'histoire de toutes les planètes.

(') On reconnaît aisément que celte résistance ne produit aucun c(Tet séculaire
(au moins en preniière approximation) sur la longitude du périliélie. Bien entendu,
elle ne modilîe pas le plan de l'orbite, qui garde la même inclinaison et la même
ligne des nœuds par rapport à un plan fixe.

laO

HYPOTHESES COSMOGOIQUES

92. Do môme que les planètes ont été captées par le Soleil, de
même, selon M. See, les satelliles ont été captés par leurs planèlcs
respectives (').

Pour étudier celle capture, plaçons-nous dans le cas relativement
simple qu'on appelle le problème reslreinl. Le Soleil S et une pla-
nète J (par exemple Jupilcr) décrivent chacun {fi(j. 23) autour de

^P

^V.P2

fuj. 23.

leur centre de gravité commun G une orbite circulaire, avec une
vitesse angulaire 0) constante. Il s'agit d'étudier le mouvement d'une
petite planète P dont la masse est négligeable par rapport ù celle de
la planète principale J et qui par conséquent ne troublera pas le
mouvement de celle dernière. Prenons pour origine le centre de gra-
\ilé (i du système S-J, pour plan des xy le plan où S et J décrivent
leurs orbiles circulaires, et dans ce plan des axes rectangulaires mo-
biles, l'axe des x étant la droite SGJ qui joint le Soleil à Ju[)iler ;
l'axe des z est la perpendiculaire en (! au plan de l'orbite. Les forces
agissant réellement sur le point P(x, }', z) sont l'attraction du Soleil
et celle de Jupiter. Ces deux forces dérivent respeclivement des deux
fonctions de forces ; -)

U, =

Ml

U. = M:^

Ml, M, étant les masses du Soleil et de Jupiter, <;i, ^^ leurs distances
à P. Les axes étant mobiles, il convient d'ajouter à ces forces la force
centrifuge et la force centrifuge composée. La force centrifuge a pour

(') T. .T. J. See : Loc. cit. Cliap. VIII, p. i^fj-iSa et Gliaji. X, p. Tii-'i^n.

(-) Nous supposons égale à l'unité la masse i\i de la petite planète P. Plus exac-
tement, cette masse m se trouvant partout en facteur, nous ne l'ccTivons pas clans
les l'orniulcs.

IIYI'UTIIKSI-; DE M. SEE l't~

composantes

«o-.r, 0/2 v^ o.

La force cenlrilnge composée a pour composantes

ilv d.r

Les équations de mou\ement do la planète P relativement aux axes
mobiles sont donc

il'x dl\ dl.. , dv

dl- dx dx dl

d-Y (/U, dlj., , dx

dl- dy dy - dl

d': _ rfU, dU..

d? ~ d: '^ d: •

Si nous multiplions respectivement ces trois équations par

dx = '!;' dl, dy = '{■' dl, d: = 'î: (//,

dl dl dl

et que nous ajoutions les résultats, novis obtenons une combinaison
iuunédiatenienl intégrable qui nous conduit à l'intégrale suivante

i[/dx\'- /dvV- /'l-\-l M, M, io2 ^

connue sous le nom d'iiiléi/fale de jAcom.

Le premier membre de celte dernière équation étant positif, les
coordonnées x, y, : du point P satisferont à l'inégalité

M, M, o- ,

— ^ H -i (x- -+- r- — C > o.

Pi ?2 ^

Par suite la projection (x, y du point P sur le plan des xy sera
intérieure à la courbe

dans cette équation, Oi et 02 désignent les distances de cette projection
du point P aux points 8 et J. Pour les très grandes valeurs de lu

lyS

m POTIUJSES COSJIOGOXIQUES

constante C, celle couibc comprend deux boucles ^désif^nées par i sur
la fifj. 2/i) entourant, l'une le point S, l'autre le point J. Lorsque C
décroît, ces deux boucles se dilatent et se rejoignent à un certain
moment en un point double A (courbe 2). Puis, G diminuant encore,
elles n'en font plus qu'une (courbe 3) qui entoure à la Ibis S et J (').

f>'3- 24.

Donc, lorsque la constante C n'est pas trop grande, la [)chte [)Ianètc
obligée de rester intérieure à la courbe .') est néanmoins libre d'aller
au voisinage, soit du Soleil, soit de Jupiter. Si, au contraire, la cons-
tante C est très grande, la petite planète restera à l'intérieur de l'une
des deux boucles i : elle sera un satellite soit du Soleil, soit de
Jupiter.

Or, l'effet d'une résistance passive telle qu'une résistance de milieu
est d'augmenter la constante G du second membre de l'intégrale do
Jacoiu. Par suite, la courbe qui encercle la petite planète se rétrécit
sans cesse. Si elle était initialement la courbe 3, elle deviendra à un
certain moment la courbe à point double 2. Si h ce moment la pla-
nète est voisine du Soleil, jamais elle ne retournera au voisinage de
Jupiter : elle est captée par le Soleil. Si, au contraire, elle est voisine
de Jupiter, elle ne reviemlra jamais près du Soleil : elle est captée par
Jupiter dont, à partir de cet instant, elle devient un satellite.

93. La tliéorie de M. See rend bien compte de la faiblesse des
excentricités des orbites des planètes et des satellites (^). Mais pour-

(') Nous ne nous occupons pas de certaines portions de courbes pouvant se
trouver très éloignées de l'origine.

{-) La diminution tic l'excentricité du fait d'une résistance de milieu n'est pas
seulement capitale dans la théorie de M. See : elle intéresse aussi les tliéories de
Faye et de ^L uu Lico^ois.

IIYl'OTIlilSE DE M. 5EE 1 29

quoi les mouvemonts de presque tous ces astres sont-ils directs et
pourquoi leurs orbites ont-elles de faibles inclinaisons mutuelles ;*
Ces deux questions restent, dans l'iiypothèse de M. See, sans ré-
ponse bien satisfaisante. Pour essayer d'expliquer la faiblesse des
inclinaisons, on peut supposer que l'atmosphère résistante du Soleil a
une forme lenticulaire très aplatie : alors un astre dont l'orbite est
très inclinée sur le plan de ce disque subit une icsistance beaucoup
moindre qu'un astre qui se meut dans le plan même du disque. Le
premier astre a donc beaucoup moins de tendance à être ca[)té que
le second, et c'est surtout dans le plan du disque que se feront les
captures des planètes.

On pourrait aussi supposer que le milieu résistant est lui-même en
rotation : il tendrait alors, non pas à annuler la vitesse de la planète
qui s'y meut, mais à imprimer à celte planète une vitesse d'un certain
sens : on se retrouverait donc dans des conditions analogues à celles
qui ont été étudiées au Chapitre précédent (n" 83, p. ii3 et ii4).
La résistance n'étant plus directement opposée à la vitesse, le plan
de l'orbite pourrait varier et tendre à diminuer son inclinaison sur le
plan équatorial de l'atmosphère solaire.

PomcA

CHAPITRE VII.

THÉORIE DE Sir G. H. DARWIN.

I. — Généralités.

94. Dans l'hisloire, lanl passée que future, des astres du système
solaire, Sir G. II. Dahavin attribue un rolc essentiel à l'influence des
marées (').

Considérons les marées produites sur une planète T par im astre
troublant L ( /?ry. 25 : la planète sera, par exemple, la Terre (M l'astre

fig. 35.

troublant la Lune. Rendons-nous compte de l'action du frottement
de la marée sur la rotation de la planète et de la réaction qui en ré-
sulte sur le mouvement de l'astre producteur de la marée. Si la
théorie statique des marées pouvait être appliquée, la surface des
océans terrestres serait un ellipsoïde allongé vers la Lune L. Mais les
trottements dus à la viscosité ont pour effet de produire un décalage,
un retard de la marée sur l'instant du passage de la Lune au méri-

(i I I.es travaux de Sir (î. H. Darwin sur ce sujet forment l'objet d'une série de
Mémoires ijubliés dans les Philosopldcal Transarlions et dans les Proccedinqs of the
Royal Society de 1879 à 1882. Ils se trouvent réunis dans (t. H. Darwin' s Scien-
ùjir Papers, dont ils forment l'ensemble du Volume II intitulé Tidal Jriction and
Cosmofjony (Cambridge, 190S). A'oir aussi C. Wolf : Les Ilypolkcses Cosmogo-
tiqucs, Cliap. VI, p. ~5.

l32 llYPOTntsES COSMOGOMOUrS

dien. Le grand axe de l'ellipsoïde terrestre fera donc un certain angle
avec la ligne TL qui joint les centres de gravité des deux astres (').
Par conséquent, la résultante R des attractions de la Lune sur les
molécules terrestres ne passe pas par le centre de gravité T de la Terre,
mais est appliquée à un certain point A : cette résultante a donc un
moment par rapport au point ï et tend, par suite, à ralentir le mou-
vement de rotation de la Terre.

De même, l'attraction R' de la Terre sur la Lune n'est pas dirigée
suivant le rayon vecteur LT : ce n'est plus rigoureusement une force
centrale : elle a une petite composante tangentielle qui va troubler le
mouvement orbital de la Lune. Cette composante tangentielle, dirigée
dans le sens même du mouvement de la Lune sur son orbite produira
évidemment un elTet inverse de celui d'une résistance de milieu, cette
dernière étant une force tangentielle dirigée à lopposé du mouvement
orbital de la Lune. Il y aura donc augmentation du gTand axe de
l'orbite lunaire et, conséquemment, diminution de la vitesse angu-
laire de révolution.

Cette augmentation du grand axe de l'orbite lunaire pouvait encore
se prévoir autrement. L'effet de freinage des marées est de diminuer
la vitesse angulaire de la Terre et par suite son moment de rotation.
D'autre part, le moment de rotation total du système Terre-Lune doit
rester constant. Donc le moment de rotation dû au mouvement
orbital de la Lune doit augmenter, c'est-à-dire que la distance de la
Lune à la Terre doit s'accroître.

Nous prévoyons donc dès maintenant et sans calcids que les deux
principaux effets du frottement des marées sont la diminution de la
rotation terrestre et l'augmentation corrélative de la distance de la
Lune. En d'autres termes, la durée du jour augmentera, ainsi que
celle du mois.

95. Pour expliquer l'accélération séculaire du moyen mouvement
de la Lune dont la gravitation, comme on le sait, ne paraît pas
rendre entièrement compte, Delaunat avait déjà proposé d'admettre
une augmentation de la durée du jour sidéral, due précisément à
l'action du frottement des marées sur le fond des océans. Dans cette
hypothèse, l'accélération séculaire de la Lune ne serait pas réelle; ce

'M Ici, la Lune L est regardée, pour simplifier, comme un simple point ma-
tériel sans dimensions.

Tiii'oniE DE SIR a. II. uvinviN l33

ne serait qu'une apparence tlne à ce que notre unité de lem[)S, le jour
sidéral, augmenterait peu à peu. Bien plus, l'clTet des marées, loin de
produire réellement une accélération du moven mouvement de la
Lune, au^mienterait au contraire la distance de cet astre à la Terre
et sa période de révolution, comme nous venons de le remarquer.
iN'est-il pas à craindre alors que ce retard elTectif ne l'emporte sur
l'accélération apparente 1' Pour répondre à cette objection, Delalnav
soutenait que le coefficient du relard imprimé à la Lune est moindre
que celui du relard de la rotation de la Terre, ce qui se trouve être
exact, seml)le-t-il. Mais, si l'on ne tient compte que du frottement
des océans actuels sur leur fond, l'cU'el total est tout à fait minime et
insignifiant. Il faudrait supposer que l'intérieur du globe terrestre
n'est pas rigide, qu'il est plus ou moins visqueux, et que, par consé-
quent, les marées internes y produisent des frottements intenses.

II. — L'excentricité et l'inclinaison de l'orbite lunaire
sont supposées nulles.

96. Quoi qu'il en soit, et [lour en revenir au point de vue cosmo-
gonique, on doit siq)[)oser, avec Sir G. 11. Daiuvin, que dans ses étals
antérieurs la Terre était lluide et visqueuse. Elle a alors subi des
marées dans toute sa masse (boflily liclcs , et les fiolternenls dus à ces
marées internes étaient incomparablement plus énergiques que ceux
qu'on peut attribuer actuellenient aux marées océaniques.

97. Nous nous proposons d'étudier de plus près les variations que
subissent, du fait de ces marées, la distance de la Lune el la rotation
terrestre.

Pour simplifier, nous supposerons tout d'abord que le plan de
l'orbite lunaire coïncide avec celui de l'équaleur terrestre et que cette
orbite est circulaire. Il est bien clair que, par raison tle symétrie,
l'orbite restera alors indéfiniment dans le plan équatorial. Mais res-
tora-t-elle toujours circulaire? Montrons qu'il en sera bien ainsi et
que. si l'excentricité est initialement nulle, elle le restera toujours.
Soient F la force perturbatrice perpendiculaire au rayon vecteur (') et

' L'allraclion U' de la Terre siir la Lune Juj. y,'>; se décompose en : i" une
forrc centrale- presque égale à la force entière et donnant le mouvement ké-
plérien, el a" une force perlubalrice F perpendiculaire au ravon vecteur.

l34 HYPOTHÈSES COSMOGONIQl ES

ds le chemin parcouru par la Lune pendant le temps dl : le travail de
la force perturbatrice est

</T = F ds cos a,
OÙ a désigne l'angle de F avec f/.s\ Soit .Ib le moment de rotation : sa
dérivée -jr- est égale au moment de la force perturbatrice ; on a donc
l'égalité

où /' désigne le rayon vecteur et [-:> l'angle de F avec la perpendicu-
laire à ce rayon vecteur.

Dans le cas d'une orbite circulaire, cos a et cos ,'5 sont tous deux
égaux à I, et Ton a

ds = rndl,

n étant le moyen mouvement. Nous tirons alors des formules précé-
dentes

(i) dT = ndÀh.

Or. d'Y csl la différentielle de la constante des forces vives ( ):

\ ia l

^n = d(-^^^^'^'^-.

\ 2a J 2 a-
et le moment de rotation Mo a pour valeur

Jb = V/Ma(i —e^):

M désigne la masse de l'ensemble Torrc-Lune, •la et e sont le grand
axe et l'excentricité de l'orbile lunaire. L'écpiation (i) s'écrit donc

Mc/« ./IT(i- — e-)da — ad(e^)

2\/a (i — e.-)

L'orbite étant supposée circulaire, nous faisons c- = o; il \icnl

/ N Wda /., da . /,, \ a ,, ,^

Or, on a

2\' a

M = n-d'' \

THÉORIE DE SIK G. 11. DAKWIN l3j

les termes en du se détruisent donc dans l'équation 2 qui donne
alors

L'excentricité ne subit donc |)as de variation : nulle au début, elle
restera nulle.

On pourrait l'aire ici une objection. Il n'est pas étonnant, dira-l-on,
que d[e-) soit nul, et d'ailleurs cela ne prouve rien ; en effet

d{e-) := 2 e de,

et, pour une orbite circulaire, c est nul. Mais il est facile de recon-
naître que, dans le calcul ci-dessus de (/(e^) (ou pour être plus précis,
de sa partie séculaire), tioiis n'avons néf/ligé que des termes en e-.
Donc d{e'-) est de l'ordre de e- et de est de l'ordre de <? : il est par
suite nul pour une orbite circulaire, et l'objection n'a pas de portée.

98. Considérons donc la Lune décrivant autour de la Terre une
orbite circulaire dans le plan de l'équateur. Désignons par y la vitesse
angulaire de rotation de la Terre autour de son a.\c, par Ù la vitesse
de révolution de la Lune autour de la Terre, et posons

Nous allons écrire que le moment de rotation du système est cons-
tant (principe des aires), et que l'énergie mécanique diminue par
suite du frottement (principe de dégradation de l'énergie).

Soit G le moment d'inertie de la Terre autour de son axe. Le
moment de rotation de la Terre est Cj et sa demi-force vive est

■c,=.

Tenons compte à présent du mouvement de révolution de la Lune
et de la Terre autour de leur centre de gravité commun. Le moment
de rotation dû à ce mouvement est proportionnel à x, car il a pour
valeur

\/Ma;

il est donc proportionnel à y/« qui lui-même est proportionnel à

_ I
1} 3 , d'après l'équation

n^Q- = M,

l36 HYPOTHÈSES COSMOGOMQLES

et la constante des forces vives ( — — I est proportionnelle à , c'cst-
a-dire a -, .

Nous choisirons les unités de façon à simplifier les coefficients de
proportionnalité. Nous prendrons tout d'abord les unités de masse et
de longueur de manière que G = i. Ensuite nous choisirons l'unité
de temps de telle sorte que, pour û = i, le moment de rotation du
système Terre-Lune dans sa révolution autour de son centre de gra-
vité soit égal à C, c'est-à-dire à i. Alors, le moment de rotation dû
au mouvement orbital est non seulement proportionnel, mais égal à
X. D'ailleurs, l'équation du viriel (n" 74, p. 91)

2T-t-V=o,
qui, puisque le mouvement est circulaire, s'écrit ici

T4- V=:o,

nous apprend que l'énergie totale T -h Y est égale à — T, c'est-à-
dire à la demi-force vive changée de signe. On en conclut immédiate-
ment qu'avec les unités choisies, la constante des forces vives, pro-
portionnelle à —2 r est égale à — — 2 •

Pour l'ensemble du système Terre-Lune, nous avons donc le
moment de rotation total

X 4- j,

et l'énergie totale

ï 2 '

Le moment de rotation reste toujours constant : nous écrivons donc

(3) X -\- y = h.

Quant à l'énergie, elle va constamment en diminuant, absorbée qu'elle
est par le frottement qui la transforme en chaleur : si donc nous
posons

Y - v^ - i

Y ira toujours en décroissant.

THEORIE DE SIH <;. 11. DAKWIN

i3-

Si nous remplaçons y par sa valeur // — x tirée de l'équation (3),
^ devient l'onction de x. Nous obtiendrons ses maxima et ses mininia

en annulant

ix

d\

dv

dx ^ dx x^

,.3 •

c^Y

Annuler , revient donc à écrire
arc

x^y ^ I ,

ou encore, se rappelant la définition de x,

y = i>.

Ainsi, lorsque l'énergie est maximum ou minimum, la vitesse an-
gulaire de rotation de la Terre est égale à la vitesse angulaire de
révolution de la Lune.

fig. 36.

99. Prenons, avec Sir G. H. Dakvvin, x pour abscisse et y pour
ordonnée; et traçons (/?y. 2O) la droite

(3)

et la courbe

3- H- j = h.

x'v = I.

i38

HYPOTHESES COS.MOGONIQUES

Cette courbe, Sir G. 11. Dahwin la nomme courbe de rù/iflité, [)arce que
si le point représentatif (a;, j) est sur cette courbe, la durée de rotation
de la Terre égale la durée de révolution de la Lune, et l'ensemble
Terre- Lune tourne d'un seul bloc à la façon d'un corps solide.

Deux cas sont à distinguer suivant la valeur de la constante h. Ou
bien la droite (3) coupe la courbe de rigidité (4) en deux points G et
D ; ou bien la droite (3) ne coupe pas la courbe (4).

Prenons d'abord le premier cas, et étudions Y en fonction de x.
Nous avons

Si nous prenons x pour abscisse et Y pour ordonnée, cette équation
représente une courbe telle que celle de la figure 27 : les points C/ et

D' où Y passe par un maximum et par un minimum correspondent
aux mêmes abscisses que les points G et D de la figure 26 situés sur
la courbe de rigidité.

Dans le second cas, où la droite (3) ne coupe pas la courbe de rigi-
dité (4), la fonction \ de x ne présente plus ni maximum ni mini-
mum, et la courbe de la figure 27 est remplacée par celle de la
figure 28.

Nous pouvons maintenant suivre les cbangements subis par le svs-
tème formé par la planète et son satellite.

Supposons que l'état initial soit représenté par un point de la droite
AHGDE {fi(/. 2()) : alors le point représentatif {x, y) restera toujours
sur cette droite, mais de telle façon que Y aille toujours en décroissant.

ïiitoiiiE Dr siu (;. M. iiMiwiN

l3ç)

Si le point repicsentalit'(a:, y) initial eslsiliiéenlre A et U (J'nj. -îô),
le point (x, Y) {J'kj. 27) est situé sur la hranche A'B' et, puisque V
diminue toujours, il décrit cette branche en allant de V vers B'. Le
point (.r, y) {fifj. 2()) décrit donc la portion de droite AB en aYan(:anl
toujours à droite, jusqu'au point B cpii représente l'état final. En ce
point on a x == o, c'est-à-dire 12 = x ; autrement dit, le satellite
finira par tomber sur la planète. Beniarquons que, dans ce cas, le
satellite circule toujours autour de sa planète dans un sens inverse
de celui de la rotation de celle-ci (x <C o, J > o).

fi'.h 28.

\ous arriverions à une conclusion analogue — le satellite tomberait
finalement sur la planète — si le point représentatif (x, y) initial était
situé entre B et C, car alors le point (x. Y) {fifJ. 27) décrirait la
branche de courbe G'B" en allant toujours vers B". Cette fois, les deux
mouvements de rotation de la planète et de circulation du satellite
sont de même sens (x >> o, y >> o) ; mais puisqu'on a

c'esl-à-dire

rV< 1,

V < 0-

le mouvement angulaire du satellite est plus rapiilc (pie celui de la
planète : le mois est plus court que le jour.

Supposons maintenant que le point représentatif (x, y) soit entre
C et D {fig-. 26). Les deux mouvements sont alors directs (x > o,
}' > o), et le mois est plus long que le jour (x'y > i) : c'est le cas

140 iiiPOTiiiiSEs cosMa(jO>'iQLi:s

oflert par ic système Terre-Lune. Alors le point {x, \ ) ifig. '2') dé-
crira l'arc CD' en marchant vers D' puisque \ décroît. L'état final est
représenté par le point D de la courbe de rigidité (/?//. 126), pour
lequel les deux durées de rotation et de révolution sont égales.

Enfin, si le point représentatif (x, y) était situé entre D et E. l'état
final serait encore le point D, puisque le point {x, \ ) {Ji'j- 27) décri-
rait alors la branche E'D'. Dans ce cas, le mois est toujours plus court
que le jour [x^y < i), le mouvement du satellite est toujours direct
(x > o), mais celui de la planète a pu commencer par être rétrograde
(j<o).

Dans le cas 011 la droite

X H- y == h

ne couperait pas la courbe de rigidité, la figure 27 serait remplacée
par la ligure 2S. L'état final serait toujoius le point IV ou B", c'est-
à-dire que le satellite finirait toujours par tomber sur la [)lanèle.

La plupart des satellites connus correspondent au cas où les deux
mouvements sont de même sens, mais avec le mois plus long que le
jour : le point représentatif {x, y) est alors (Ji<j- 2O) entre C et D.

100. l'^tudions s[)écialement le sNstènie Terre-Lune. Pour ce sys-
tème, on a les valeurs numériques suivantes

X = 3,2, y = 0,8, /( ■= l\,

et le point représentatif se trouve dans une position telle que P. Ce
point se déplace lentement vers le point D qui représente l'état final.
Si, au lieu de chercher à prévoir l'avenir, nous remontons dans le
passé, nous pouvons dire que le système Terre-Lune est parti de l'état
initial représenté par C. Dans cet élal initial, le mois égalait le jour et
leur durée comnnine était de .")'', 30. La durée du mois et celle du jour
se sont mises ensuite à croître, la première plus vite que la seconde,
en même temps que la Lune s'éloignait de la Terre. Lorsque l'étal
final D sera atteint, le mois sera redevenu égal au jour, leur durée
commune étant d'environ 55 jours actuels.

Cet état final serait définitif si la Terre et la Lune existaient seules.
Mais le Soleil produit aussi sur la terre des marées qui continueront
à retarder sa rotation : le jour et le mois continueront donc à croître,
quoique lentement, et la Lune s'éloignera de plus en plus delà Terre,
qui pourra finir par perdre son satellite.

TlIKOUin DE SIU G. It. DARWIN l4l

Dans lY'lat Initial, la durée Je rcvolulion de la Lune, ,")'', oli, était
courte et par suite la distance de cet astre à la Terre était faible : le

calcul montre que cette dislance était de 2 rayons terrestres. Donc,

d'après les idées de Sir G. I[. Darwin, la Lune aurait pris naissance
tout près de la Terre, et son orbite se serait peu à peu élargie et
dilatée. Nous remarquons là un contraste complet avec la théorie de
Faye selon laquelle, nous l'avons vu, le satellite se formerait très loin
de l'astre central, son orbite se rétrécissant [)eu à peu h mesure que
la masse de l'astre central augmenterait par suite de la condensation.

101. Dans tout ce <|ui précède, nous avons regardé G, moment
d'inertie de la Terre, comme constant. Or, la Terre, en se contrac-
tant par suite du refroidissement, diminue de volume et G décroît.
Nous étudierons un peu plus loin l'ellet qui en résulte. Gependant
disons dès maintenant que, pour la Terre, cet elTet paraît [)eu impor-
tant et ne change pas beaucoup l'allure générale des [)hénomènes.

102. Pour le système Terre-Lune, le point représentatif actuel P
{Jif/- 26) est assez voisin du point D, puisque x = 3,2 est sensible-
ment plus grand que y = 0,8. Par conséquent, ce système est rela-
tivement assez près de son état final.

Si nous nous occupons maintenant des systèmes formés par les
autres planètes et leurs satellites, nous constatons, au contraire, que le

rapport ~ se trouve être extrêmement petit. Par conséquent, leur point

représentatif, au lieu d'être voisin du point D, est voisin du point G.
Ges systèmes sont donc beaucoup plus près de leur état initial que
de leur état final. Gela tient à ce que, pour ces systèmes, la masse des
satellites est extrêmement faible par rapport à la masse de la planète;
les marées sont donc peu importantes et n'ont pas encore eu le temps
de produire un effet considérable.

Pour le système formé par le Soleil et l'ensemble des planètes, la
masse des planètes est sans doute fort petite par rapport à celle du
Soleil, mais les rayons de gyration sont très grands, et l'on constate

X

que le rapport- est aussi très grand. Il semble donc que ce système

doive être très près de son état final. Mais cette affirmation ne sup-
porte pas l'examen. Les planètes, en effet, produisent sur le Soleil des
marées qui retardent sa rotation ; et c'est de ces marées qu'il faut

l/|a HYPOTlIKïSliS COSMOIJOMQUES

tenir compte si l'on cherche les variations de la rotation du Soleil.
Mais, inversement, le Soleil produit des marées sur les planètes, et ces
dernières marées sont beaucoup plus fortes que les premières : leur
effet devrait donc s'être produit depuis longtemps, c'est-à-dire que
les ]>lanètes devraient toujours tourner une même face vers le Soleil,
ce qui n'a pas lieu.

III. — Cas général.

103. Dans l'exposé qui précède, nous avons, pour simplifier, sup-
posé nulles l'excentricité de l'orbite lunaire et l'inclinaison de cet
orbite sur le plan de l'équateur terrestre. Nous allons à présent nous
affranchir de ces hypothèses et entrer dans le détail de la théorie de
Sir G. II. Daramn.

Auparavant, il est nécessaire de rappeler quelques points de la
théorie statique des marées (').

Dans celte théorie statique, on suppose que la mer prend à chaque
instant sa forme d'équilibre : la surface libre de l'océan est donc une
surface de niveau relativement à la somme des potentiels de la gravité
et de l'astre perturbateur qui produit la marée.

Le potentiel de la gravité peut se représenter par

V,. —

!/^

Yo désignant la valeur constante de ce potentiel au niveau moyen des
mers et Ç la dénivellation de la particule liquide superficielle envi-
sagée (-).

Le potentiel dvi à l'astre perturbateur, nous le désignons par V,.
Soient m la masse de l'astre perturbateur L (qui sera, par exemple, la
Lune), /• sa dislance à un point A de la surlace de la mer {Ji(j- 29).
ÎNous avons

(6) V, = "^ .

(') Voir M. Levy : Leçons sur la Tliéorir drs Marées, t. I, cliap . I ; et
11. l'oi:ic\Kiî : Leruiis de Mécanique Célesle,l. III, Tliéorle des Marées, chap. l et 111.

(■-) Dans Vq il est tenu compte de la force centrifuge qui provient de la rotation
diurne. Nous négligeons le potentiel dû à la couche d'eau comprise entre la sur-
face moyenne et la surface vraie des mers.

TilKOniE DE SIR G. II. DARWIN l'43

Comme nous rapportons les points de la mer à des axes de coor-
données invariahleinent liés à la Terre, il faut, pour pouvoir regarder
ces axes comme fixes, appliquer à chacpic^ point A les Ibrces appa-
rentes dues à leur mouvement. Mais, puiscpi'il ne s'agit ici que de
Téquilibre, la force centrifuge composée n'intervient pas; il ne reste
que la force d'inertie dans le mouvement d'entraînement du point A

avec les axes. La Ibrce [)rovenant de la roUitiim diurne a déjà été i)rise
en considération dans A,,. Il suffit donc, aux forces réelles, d'ajouter
la force d'inertie due à la translation des axes, c'est-à-dire, puisque
l'origine est au centre de la Terre, une force accélératrice — J égale
et contraire à l'accélération J que l'astre perturbateur tend à imprimer
à ce point.

Soient J, , J,,, J; les composantes rectangulaires de J. A chaque
point A, on devra appliquer une force de composantes

— J,, — Ir — J3 ;

comme ces composantes ne dépendent que du temps, et non des
coordonnées x, y, z du point A, elles peuvent être considérées comme
les dérivées partielles de la fonction

(7) — {3jX -h J,/V H- J^j) = — Ja cosi'J, a),

en appelant a le rayon moyen des mers, égal sensiblement à la dis-
tance du point A au centre T de la Terre, et en désignant [)ar (J, a)
l'angle de J avec le rayon TV. Finalement, en écrivant que la somme
des trois expressions (5), (6) et (7) est égale à une constante, nous
obtiendrons l'équation de la surface libre des océans rapportée à des
axes invariablement liés à la Terre :

^8) Yg — y^ -+- ^ i — J<ï cos ( J, a) = const.

I la IIYPOTIllOSES COSMOGO'IQUES

Telle est l'équation qui, clans la théorie statique, donne la dénivel-
lation 'Ç. Nous allons la transformer.

104. L'accélération J que la Lune L imprime au centre de la Terre

T a pour valeur ^ , et est diri"-ée suivant la droite TL = o. Donc

'- Q- O j

l'angle (J, a) n'est autre que l'angle désigné par 7 sur la figure 29
(c'est la distance zénithale géocentrique de la Lune), et l'on a

Ja cos (J, a) = ~r cos a.

Comme on a

/■^ = a- + p^ — 2ao cos a,

le potentiel Vi dû à la Lune peut s'écrire

Vl —

[0- -+- a- — lao cos cr)

m I 2a a-

1 • cos J H- .,

0 0-

m am a^m 3 cos'-a — 1

cos 0-

p p^ p- 2

en négligeant les termes de l'ordre de ~x • Nous écrirons

Vl = Uo -}- u, + u,,

en posant

TT m Tj am ,, a-m ocos-cr — ^i

Ug =^ — , Ui^=-„ COS 7, Uo ^ — ^

Par suite, nous pouvons écrire l'équation (8) ainsi

^0 — f/C H- IJo + U^ = const.

Vq et Uq = - étant des constantes ne dépendant pas du point A, cette
équation nous donne finalement, pour la dénivellation ^,

». U2 .1 à^m 3cos^(T — r

ç = — -h const. T=z 1- const,

9 9 ?' 2

TIIEOIIIE DE «lU i;. II. DAinVlN 1^5

La constante du second nienibio se déteiiuinerait en écrivant que
le volume total de la met- est constant, c'est-à-dire que l'inléj-'^rale

Jï-"-

étendue à tous les éléments <h de la surface des mers, est nulle. On
reconnaît ainsi que, si la mer recouvre toute la surface de la Terre,
cette constante est nulle, et l'on a alors la formule définitive de la
dénivellation statique

, , „ U., I a^in Scos^T — I

(9) ^ = --" =

0 9 ? 2

105. Dans la théorie statique, on ne tient pas compte de l'inertie
des eaux de la mer. Dans quelle mesure cela est-il léjjritime? L'iner-
tie, proportionnelle à l'accélération, joue un nMe dans les marées
// coiirle période; au contraire, pour les marées à lomjue période.
l'efTet de l'accélération, c'est-à-dire de l'inertie, est négligeable. Mais
que doit-on entendre par longue et courte période? La période d'une
marée pourra être qualifiée de longue ou de courte suivant que cette
période sera ou ne sera pas très considérable par nipporl à la période
d'oscillalion propre de la mer.

Par conséquent, si la période d'oscillation propre est tiès courte,
toutes les marées, même les marées semi-diurnes, pourront être con-
sidérées comme étant à longue période, et la théorie statique s'appli-
quera. Or, si, avec Sir G. H. Daramn, nous considérons la Terreaux
époques reculées où elle était entièrement liquide, nous trouvons que
sa période propre d'oscillation est elTectivement très petite par rapport
à la demi-journée : il est donc légitime de se contenter de la théorie
statique.

Au contraire, l'inertie jouerait un rùle important, et la théorie sta-
tique deviendrait tout à fait insuffisante, si l'on voulait étudier le
mouvement des océans actuels, dont la période propre d'oscillation
est de l'ordre du demi-jour.

106. Mais si, dans le calcul de l'action des marées produites par
la Lune sur la Terre, nous pouvons négliger l'inertie, nous devons en
revanche tenir compte de la viscosité, puisque ce sont précisément
ses effets que nous voulons étudier.

PoiSCARt. 10

£^(j HYPOTHESES COSMOGONIQUES

Reprenons la formule de la dénivellation statique
Uj I a-ni 3 cos- j — I

\9) • g ^ p^ 2

Le mouvement de l'astre perturbateur L étant connu en fonction du
temps t, le troisième membre de cette formule peut cire développé
sous forme trigonométrique

^ A COS a/,

les A étant des fonctions des coordonnées x, y, : du lieu géogra-
pliique et les (/. étant des constantes. Nous envisagerons séparément
chacun des termes de la somme ^ et, pour tenir compte de la vis-
cosité, nous ajouterons au second membre de l'équation qui donne 'Ç
un terme négatif proportionnel à jj . L'équation en Ç prend ainsi la
forme

t = A COS ai — k -, ,
dt

ou encore

(10) A- ^J H- C = A COS a<,

/,• étant une constante proportionnelle à la viscosité du liquide.

Pour intégrer cette équation linéaire à second membre, nous consi-
dérerons l'équation suivante :

(11) A-^ + C^Ae'^

où / désigne l'imaginaire \/ — i, et nous ne conserverons que la
partie réelle de sa solution. Cette solution est de la forme

C = Ce'^' ;

en la substituant dans l'équation (ii), il vient pour déterminer C,
l'équation

G(l H- i/i-a) = A.

Posant

(12) /va = lg£,

TlIliOIUE DE Slll (;. II. DMIWIN" 14"

on aura

I + i k% = I 4- t Ifr £ = ;

° COSî

par suite

C = A cos £«"''.

El l'inlégralc de l'équation ( 1 1) est
dont la partie réelle

^ =^ A cos t cos -Xt E

est rintcgraie cherchée de l'éqnalion lo .

ÎSous voyons donc que l'efTet de la viscosité est d'ahord de réduire
l'amplitude de la marée dans le rapport de cos £ à i, ensuite
d'amener pour la marée un retard de phase, un décalarje, égal à ê.

Si l'astre sur lequel se produit la marée, au lieu d'être liquide et
visqueux, était solide et parfaitement élastique, nous aurions bien
une réduction de ranq)lilude, mais nous n'aurions pas de décalage.
S'il était solide et visqueux, nous aurions à la lois une réduction de
l'amplitude plus grande que cosc et un décalage.

107. Reprenons la formule 112) qui définit £
(12) 'g^ = ''''•

Si la viscosité est très faible, c'est-à-dire si k est très petit, l'angle £
est petit, il se confond sensiblement avec sa tangente et il est pro-
portionnel à a, c'est-à-dire à la vitesse de la marée : de même sin : et
sin 2£ seront proportionnels à a ; quant à cos £ il sera presque égal à 1 .
Au contraire, si la viscosité était très forte, /.• serait très grand,

tg£ aussi, £ serait voisin de - , et l'on aurait sensiblement

^ 2 kx

dans ce cas, sin £ serait très sensiblement égal à i; cos£, égal alors
à cotgc, serait proportionnel à , et sin 2£ = 2 sin£ cos£ serait aussi

proportionnel à •

i4î

lYPOTIIESES COSMOi;ONI<^L"ES

Dans le cas actuel devons- nous considérer la viscosité comme faible
ou comme forte? >ious devons la considérer comme fdihlc, car une
substance comme la poix nous donnerait, si nous faisions le calcul,

un angle s très petit et non voisin de ^" . La poix doit donc être consi-
dérée, au point de vue qui nous occupe, comme un corps à viscosité
très faible, et il y a lieu d'admettre que la Terre, à l'époque où elle
était liquide, n'oll'rait pas une viscosité incomparablement su[)érieure
à celle de la poix.

108. Revenons à la formule de la dénivellation statique .

, , „ Uo I a^in ocos'-G- — i

' 9 tJ ? ^

et indiquons maintenant comment on pourrait développer eiïeclive-
ment son troisième membre sous forme trigonométrique.

Représentons sur une sphère le pôle boréal P, le lieu géographique
A et l'astre perturbateur L, de façon à former un triangle sphé-
rjque PAL (triangle Pôle-Zénitli-Astre) dont les trois côtés sont

PA = â' colatitude du lieu,

PL = r)' complément de la déclinaison de l'astre,

LA= G" distance zénithale géocentrique de l'astre.

L'angle APL = Jb est l'angle horaire de l'astre relativement au point
A où on étudie la marée. La formule londamenlale de la trigono-
métrie sphériquc, appliquée au triangle sphérique PAL, nous donne
l'équation suivante :

cos ■j = cos 0 cos o' H- sln ^ sin o' cosili,
d'où nous tirons
cos^c7 = cos-o cos-o'-i-sin-o sui-o -f- a siiiocoso snio coso cos^.

2

Si nous portons cette valeur dans la formule (()), nous voyons que 'Ç
contient trois sortes de termes (') :

l'i Z. sera fonclion du temps par l'iiilernu'diaire de p, o' et .li. Observons que
les coordonnées s cl o' de l'astre varient très lentement, tandis (jue son angle
horaire JIj varie vite.

Tiii:oi!ir; de sir.

11. DUS WIN 149

i"* Des termes indqxiuLinls de l'angle horaire .1 : ils donncionl les
marées à longue période ;

2" Des termes en cosaJl dont la période est voisine d'un demi-jour:
ils donneront les marées semi-fliiirnes ;

3° Des termes en cos.b dont la période est voisine d'un jour : ils
correspondent aux marées (liurnes.

Introduisons les éléments usculalcursde l'orbite de l'astre L. Soient,
sur la sphère céleste (//^. 00), E le plan de l'équateur terrestre, 0 le
plan de l'orbite de l'astre troublant L, N le nœud de l'orbite sur

l'équateur, A^ l'origine des longitudes géographiques intersection de
l'équateur avec le méridien de Paris), A' l'intersection de l'équateur
avec le méridien du lieu géographique A, ttt le périgée de l'astre. Nous
avons

A'Aq = /o longitude du lieu,

AqN ^= X angle horaire du nœud à Paris.

Nous désignons par ^ l'arc Nnr égal à la longitude du périgée moins
la longitude du nœud ; et par / la longitude moyenne de l'astre dans
son orbite, comptée à partir du nœud N.

Alors, si nous développons le troisième membre de la formule (g,
autrement dit cos'c, en série de fonctions trigonométriques dont l'ar-
gument est une fonction linéaire du temps /, nous obtiendrons des
termes tels que

(l3) Al COS ay_ + »-/„ -h ^/ -f- -^m).

M étant une fonction des coordonnées du lieu A, et a. ^b, y étant des

l50 HYPOTHÈSES COSMOGOMIQLES

entiers. C'est en effet des quantités

/. + Zo- ^ ^

que dépendent les coordonnées horaires de l'astre .i et r)'.

Puisque dans l'expression (i3), /q ne dépend comme M que des
coordonnées du lieu A, et non de l'astre, nous l'isolerons en déve-
loppant le cosinus sous la l'orme

(i4) cos a/g cos (a/_ -f- p/ -4- vto) — sin «/q sin {^.y -}- j3/ -h ■^rs).

Et finalement les différents termes du développement trigonométrique
de Ç seront de la forme

(i5) AX cos (a'x, + ^/ -h Y^ -H /*■)•

où la constante // vaut o ou ± - , suivant que l'on prend le cosinus ou

le sinus qui figure dans la formule (i4), et où nous désignons par
AX le coelficient qui dépend des coordonnées du lieu géographique.

De quelle nature seront ces coefficients y\X en tant que fonctions
des coordonnées du lieu ? Ils seront évidemment des fondions sphéri-
ques du second ordre comme l'est lui-même le troisième membre de
la formule (9). Nous avons désigné chacun de ces coefficients par un
produit AX : la lettre A désigne une constante numérique, et la lettre
X une fonction sphérique du second ordre multipliée par un nombre
con\enable de telle façon que l'intégrale

X'-dc

étendue à tous les éléments de surface de de la sphère, ait une mente
valeur constante K pour toutes les fonctions sphériques que nous au-
rons à envisager.

Soient x, y, : les coordonnées du lieu par rapport à trois axes rec-
tangulaires invariablement liés à la Terre et passant par son centre,
l'axe des z étant l'axe de rotation, le plan des xz étant le méridien de
Paris. îSous aurons (en prenant pour unité le rayon terrestre a)

X = sin 0 cos /„,
y = sin 6 sin /g,
z = cos 0.

TIIKORIE DE SIU r.. M. nUOVlN

Les fonctions .,l.é.iqnes X '!"'-'™;'";'f ^ 'l'"^,*",:' 'uP-
gonomélriquo du troisième memb.o ,1e la formule (9) =onl

vantes (') :

T- — V" sin-0

± -L ^= cos 2-/(

2 2

sln''û

.TV = sin 2/û,

2

.rr = sin o cos o cos •/(,.
yz := sin 0 cos 0 sin /q.
x^^h^}'^ - 2:^ ^ ^_--^^cos^S^

Faisons malmenant quelques remarques sur les trois entiers a. [% '/•

Tout d'abord on aura

a = 0,1 on 2,

suivant que le terme considéré correspond à une ---j^|-^^^^
riode à une marée diurne, ou à une marée semi-dmrne. cai, dan
rode, ^^^"e . e très lentement et peuvent

i::=s^:ot.e::nSi::e„fcons.i„.s.E„su

est nulle, on aura

? -h ï = o,

car alors les deux plans E et 0 (/,• 3o) coïncident, le pomt > devient
indéterminé, et les seuls angles qui interviennent sont 7 - - et / •
Par suite, dans les termes indépendants de l'Inclinaison, on aura

a + p -+- ï = o-

Dons les termes qui contiennent l'inclinaison à la puissance ),. on
verrait facilement que

1 a -f- P + Y 1

(' On reconnaît aisément que l'intégrale

étendue à toute la sphère a, comme nous le désirions, la même valeur K pour
toutes CCS fonctions sphériques X.

l52 IIYPOTUKSrS COS.MOGOUTQUES

doit être au plus égal à 1 et de même parité que À. Enfin, dans les
termes indépendants de l'excentricité, w n'intervient pas, on a donc

Y = o;

et dans les termes qui contiennent l'excentricité à la puissance )., on
verrait que | y | est au plus égal à ). et de même parité que )..

Gomme nous ne conserverons dans la suite que des termes du pre-
mier ordre au plus par rapport à l'excentricité e et à l'inclinaison /,
nous aurons, dans les termes indépendants de e et de i,

Y = G. a H- p = o ;

dans les termes en e,

Y = ± I , a -+- p -I- Y = o ;
dans les termes en /,

Y=:=:0, a4-[3=drt,

109. liref, nous avons prouvé que le troisième membre de la for-
mule (g), qui représente (au facteur 7 près) le potentiel U^ générateur
de la marée, peut se développer en une série de termes de la forme (i5) :

-^ = V AX cos (a/ 4- s/ -h Y^ -+- /O-

g j^ V - r ;

ce que nous écrivons simplement

-2 = y AX cos G,

en posant pour abréger

0 = oL/ -f- p/ + Y" + /'•

Si nous voulons maintenant tenir compte de la viscosité comme
nous l'avons fait au n" 106 (p. i/|0), nous trouverons que ce po-
tentiel perturbateur LU produit une dénivellation

(16) ^ ~ 5i ^^-^ ^*^^ " ^°^ (^ "■ ^)'

oi'i c est donné par la formule

TlIl'jOKlE I>E SIH (;. 11. nvRUIN IJ*}

( ,. représente ici la vitesse de la marée que nous a[)[)elions a au

n« 106) (').

Nous nous proposons de clicrchcr l'action de la Terre, uin>i dé-
formée par la marée (i6), sur un cor[)s extérieur. Pour fixer les idées,
nous supposerons que la marée (i6) est [)roduite par le Soleil et nous
clierclierons les perturbations que cette marée solaire (iG) fait subir
au mouvement de la Lune.

Les quantités /, /, ^ sont donc relatives au Soleil. Nous appellerons
/.', /', to' les mêmes quantités relatives à la Lune. Comme nous cher-
chons l'action, sur l'orbite de la Lune, du bourrelet soulevé par la
marée solaire à la surface de la Terre, nous introduirons une fonction
perturbatrice M' qui sera le potentiel dû à l'attraction de ce bourrelet.

f"j- •il-

Soit /•' la distance de la Lune L à l'élément Ç'h di\ bourrelet (//'/. ji).
Nous aurons alors

lintégrale étant étendue à toute la surface de la sphère terrestre.

Nous pouvons développer , comme nous avons développé - au
n" 104 (p. i\'\) et écrire

' — l ' -+- U' -^ U'

l,f *- 0 ^^ '^ 1 • ^ i'

L'o, U',, L ., étant respectivement des fonctions sphériques d'ordre
o, I, 2, par rap[)ort aux coordonnées du lieu <jréogra[)hique A.

(' Rappelons qno l'angle t est très petit et peut être confondu avec sa tangente
ou son sinus (n° 107;.

I04 11\P0TIU:SES COSMOGO>'IQUES

Comme 'C est lui-même mie Ibnclion sphérique du second ordre par
rapport aux coordonnées du même point A, on a

Nous avons donc simplement pour notre Ibnclion perturbatrice

(17) w^ffaiw..

Développons U', sous forme liigonométrique de la même manière
que nous avons développé U^ un peu j^lus haut : nous aurons

U; = _^'^"^' cos (a'// + f!7' + vV + //)

a', fj, y' étant trois entiers, h' étant une constante égale à o ou à
=t-,A' étant un coefficient numérique, et X' une Ibnction sphé-
rique du second ordre telle que l'intégrale

étendue à toute la sphère ait une valeur constante donnée K, la même
pour toutes les Jonctions sphériques \'. Nous éciirons simplement

(18) U; = ^A'X'cosO',

en désignant, pour abréger, par

G' = a'// ^- p'/' + 7'ttt' + h'

l'argument du cosinus. Alors, d'après (16) et (iS), l'expression (17)
de AV peut s'écrire, en faisant sortir du signe I I tout ce qui ne
dépend pas des coordonnées du lieu A,

( 1 9) W = V A A' cos t cos (0 — t) cos 0' ) f \X' ch.

Telle est l'expression de la fonction perturbatrice dont nous avons
à chercher l'action sur l'orbite de la Lune.

TIIKORIE nE Slll i;. II. DAUWIN

110. Nous appliquerons la niélhotle de la variation des constantes.
?^ous commencerons par définir la position de la Lune par un sys-
tème de six éléments canoniques ('), Aux trois quantités y'.ra',/', nous
adjoindrons, pour achever de déterminer la position de la Lune, les
trois suivantes :

r/ = I — \/V

I

• -, '
2 sin- -

2

a', e', i' représentant le demi-grand axe, l'excentricité et l'inclinaison
sur l'équateur de l'orbite lunaire.

Le vecteur des aires a alors pour valeur (à un facteur constant près
dépendant des niasses et dont nous faisons abstraction)

et la projection de ce vecteur sur la perpendiculaire au plan de 1 équa-
teur a pour \aleur

\/a' \ \ — e'- cos t" = ;'(i — t/) (i — \x).

Les six éléments

r. r(r-V). ?'(! -V)(i -[-'), l'-^', ^'^ - )•'-
forment un système de variables canonirjiies '-) entre lesquelles
existent les équations de HAMu/rox. Nous aurons en particulier

dW

dt ~~ d{l' — m'y

d[^'{l — V)'. _ d^
\ dl ~ dm' '

/ , ;d[^{l—r^)\ d\S

(20) ' -t^-i -' —

di-yy

(') ^oil• H. PoiNCARÉ : Lerons de Mécanique Céleste, l. I, Cliap. III.
(-) Ce sont celles t|iii ont clé désignées par

L, G, e, /, g, 6,

à la p. -(] fie rOuvrage de M. H. Poincaré : Leçons de Mécanique Céleste, t. I.
Dans les trois premières de ces variables, nous faisons abstraction d'un même
facteur constant où fisurent les masses de la Terre et de la Lune.

i56

HYPOTIIKSES COSllOr.OMOUES

Telles sont les équations auxquelles nous conduit l'application de
la méthode de la variation des constantes, pour calculer les pertur-
bations des éléments lunaires sous l'action de la fonction perturba-
trice AA.

111. Le calcul qui précède est relatif à l'action, sur l'orbite lu-
naire, du bourrelet liquide soulevé sur les océans terrestres par la
marée solaire. ?Se pourrait-on pas appliquer le même calcul à l'action,
sur l'orbite lunaire, du bourrelet liquide soulevé par la marée lunaire
elle-même? On le peut certainement, mais à condition de prendre
quelques précautions : -/', ro', /' devenant alors égaux à /, w, l, la
fonction perturbatrice W se trouve dépendre de la variable -/ de deux
manières différentes : elle en dépend par '/et ensuite par -/'. Dans le

calcul de -ï-7 , il faut donc supposer d'abord '/' ;zf /, puis dériver W

par rapport à "/', et enfin faire / = '/'• Les mêmes précautions
doivent être prises dans le calcul des autres dérivées de W. En
d'autres termes, il faut distinguer la Lune en tant qu'astre troublant
producteur des marées et en tant qu'astre troublé par ces marées.
C'est ainsi que Sir G. II. Dakwix appelle notre satellite Diane quand
il est troublant et Lune quand il est troublé : alors '/, w, /, sont les
coordonnées de Diane, /', w', /', sont les coordonnées de la Lune, et
l'on a

y' = -/, Tir' = rn. /' = /.

Moyennant cette précaution, notre analyse s'applique à l'action des
marées lunaires sur la Lune elle-même.

112. Nous reprendrons donc les formules {•lo), et comme nous ne
nous occupons que des elTets séculaires, nous ne conserverons aux
seconds membres que les termes constants indépendants du temps /.
Nous avons d'après la formule (ig)

(20'""') • 'l~ =. — V A A' ros i cos (0 — s) (y' -h 'p') sin 0' / / XX' (/t.

jrzm) = "^^ A A' cos £ cos (0 — i) a' sin 0' M XX' ch.

TiiicouiE DE sut i;, ii. rmiwiN

Dans ces cxpicssloiis, le temps ne (lyuie que clans le produit

cos (0 — h) si 11 0',
produit qui, dével(j[)|)é, rournil des termes en

et des termes en

cos
sin

;o + ()').

Nous aurons donc, aux seconds membres des expressions ("io), un
terme indépendant de / chaque (bis que 5 — d/' ou 5 H- ^' se réduira
à une constante. Comme \J + ■;' n'est jamais une constante, les termes
séculaires correspondent à

0 — '/ := const.,
c'est-à-dire à

(/6 t/f)'

(21)

dl dt

Si l'astre troublant et l'astre troublé sont différents, celte condition
n'est jamais remplie ('), car le rapport des moyens mou\ements de
ces deux astres n'est pas commensurable. Nous [)ouvons donc dire
que la marée solaire ne produit pas d'etTet séculaire sur Torbite
lunaire.

Mais si l'astre troublant et l'astre troublé sont identiques, la con-
dition (2 1) est remplie chaque lois que 6 = 0' et n'est remplie que
dans ce cas : on a alors

cos (0 — s) sin 0' = ' sin (0' — 0 + s) + ' sin fe' + 0 — t),

2 ^ '2 ^ ^

qui donne le terme constant

^ sin (0' — 0 + ç) =. ^ sin t.

(') Excepté pour les termes sidéraux. Ces termes sidéraux n'ont d'ailleurs d'in-
fluence que sur l'inclinaison, et cette influence est faible.

l58 HÏPOTIlîvSES COSMOGOMQUES

Les seconds membres des formules (20'"'), dans lesquels on ne con-
serve que les termes constants indépendants de /, deviennent donc

V AA' ^ «' j j^XX'rf,.

Nous pouvons maintenant elTacer les accents « prime » devenus inu-
tiles, puisque tout se rapporte au même astre, la Lune. Nous remar-
quons que le facteur

est /(' même pour tous les termes, puisque nous avons eu soin de
choisir les fonctions spliériques X de façon que cette intégrale ait
toujours la même valeur constante K (note de la p. i5i). Nous n'écri-
vons donc pas ce facteur, qui est le même partout (quitte à le rétablir
plus tard), et les formules (20'"') prennent la forme

Rappelons-nous que l'angle z est très petit et que par suite sin 2 2

, , . - 1- •. I • 11 ' do ^

est proportionnel a tang s, c cst-a-du-c a la vitesse de la marec ■ . Ur,

(/O _ dy dl dm

dl^'^tl^^ dl "^ "^ (// '

et i'oii a

d/

dl = "

(//

dm , , ,

r=: O a très peu pros.
dl

vitesse angulaire de rotation de la Terre,
vitesse angulaire de révolution de la Lune.

I

Tiii:oniE DE sin n. ii. D.vnwiN lOf)

Par suite, dans les formules (20'-'), nous pouvons remplacer sin 2 c
par

a/l -+- p.i

(jui lui est pioporlionnel.

Finalement les formules (20), dans lesquelles on ne conserve que
ce qui est relatif aux ternies séculaires, sont devenues

Ces dernières formules, par un calcul imincdial, nous fournissent les
suivantes :

22) ; ' 777' = — S -^'^'^ + ^'î^)(*" + P--)'

[ I ^T = ^ A-(a + ^ — !^?)(3"t + ,3i>) -h termes en r,.

Ces trois formules vont nous permettre de calculer les variations
séculaires du grand axe, de l'excentricité et de l'inclinaison de l'orbite
lunaire, provoquées par le bourrelet liquide de la marée lunaire elle-
même. Dans la troisième de ces fornmies (22), qui nous servira à
calculer la variation de l'inclinaison (a =1 — cos /), nous néglige-
rons les termes en r^ , car

■t\ = 1 — v/i — e-

s'annuleavec l'excentricité, et, dans le calcul relatif à l'inclinaison, nous
pouvons, en première approximation, supposer l'excentricité nulle.

113. Les seconds membres de (22) sont des sommes de termes^
dont chacun provient d'un des termes

(i5) AX cos (a/_ ~h '^l ^ Y^ -+■ /') = AX cos 6

en lesquels on a pu décomposer le potentiel U^ producteur de la marée
lunaire. Parmi ces termes, nous ne conserverons ici que ceux qui

l6o lIYrOTIltsES COSMOGOMI^UES

sont du premier ordre au plus par rapport à rexcentricilé e et à l'in-
clinaisou . La théorie des marées (') nous enseigne que ces termes
sont les suivants :

Termes semi-diurnes :
ÇSl^) = cos (2/ -+- 2/0 — il) (principal senii-diurnc),

(N) =: ^ cos (2/ + 2/0 — 31 -\- w) (elliptique majeur),

/T - e sin- 0 . , , / 11- ,• • N

(L) = — cos (2/ + 2/n — / — ra) (cilq)tique mmcur) ;

Termes diurnes :
(0) = siu sin 20 cos (/. + /o — 2 / -h - j (principal diurne),
(Kj) ^= siu siu 20 cos f / H- /u — " ) (sidéral);

Terme à longue période :
[M,„) ^. ~ (i — a cos^ 0) cos (/ — TTî) (elliptique mensuel).

Ces six termes sont ceux que nous conserverons dans U^ (seul le
premier (AI^) est indépendant de e et de /).

114. Tels qu'ils sont, ces six ternies ne sont pas tout à fait de
la forme (1 5) (puisque Zq figure dans l'argumenl) ; or, il convient de
les rendre de cette forme.

1° Les trois termes semi-diurnes sont de la forme

{sd) B^^cos(2/o + 0),

qui peut s'écrire

, siu- 0 nu ^i"" "■' • fa

\i cos 2/_„ cos 0 — 13 SIU 2/0 cos G —

(') Voir Maurice Lévy : Leçons sur la Ihcorie des Marées t. I, Cli. III, et
H. PoiNCAnÉ : Leçons de Mécanique Céleste t III, Théorie des Marées, Ch. II. Nous
faisons ici abstraction d'un facteur constant, le mente pour tous les termes. Et nous
laissons de côté les termes éveclionnels et variationnels, bien qu'ils ne contiennent
e qu'à la puissance i ou o, [)arce qu'ils se trou\cnt alTectés de coefficients numé-
ricpies très petits.

THÉORIE DE sni G. 11. D\RWi:« l6l

or,

sin'^ 0 X- — y^

et

COS 37n

sin- 0 .

— ^ sin 2/„ =r o-j

sont justement des fonctions spliérkjiies \ qui donnent à l'intégrale

la valeur K (note de la p. i5i). Donc chaque terme semi-diurne (sd)
fournit deux termes de la forme (i5) ayant respectivement pour

coefficient B et — l>, et pour argument 0 et S — -. Par suite,

chaque terme semi diurne fournit aux seconds membres des formules
(22) deux termes égaux, pour lesquels on a

\- = B2.

2° Les deux termes diurnes sont de la forme

(t/j B sin -2 0 COS (Xo + 6),

ce qui peut s'écrire

r, sin 20 „ sin 20 . / -\
2 B COS •/(, COS 6 — 2 B sm /q cos ( 6 1 ;

or,

et

sm 2 0

— -- COS Xo = xz

sin 2 0 .

— r— sin Xo = )'.

sont justement des fonctions sphériques X qui donnent à l'intégrale

X^ f/-

la valeur K. Donc chaque terme diurne {d} fournit deux termes de la
forme (i5) ayant respectivement pour coefficient 2B et — 2 B_, et

PoiNCARK.

i6a

HYPOTHÈSES COSMO<;OSIQfES

pour argument 0 et S — -' . Par suite, chaque terme diurne fournit
aux seconds membres des formules (>'i; deux termes égaux, pour
lesquels on a

3» Le terme à longue période est de la forme

„ I — 3 cos- 0

B cos 0 ;

et, comme

3 co%- 0 a-2 + y

2 _U v2 O -2

2\/3 2\/3

est une fonction sphérique X donnant à l'intégrale

X^da

la \aleur K, ce terme est de la forme i5), ayant pour coefilcient
Bv/3- Il donnera donc aux seconds membres des formules (22) un
seul terme pour lequel on aura

Comme cliacjue terme diurne ou semi-diurne en fournit deux
éo-aux dans les seconds membres des formules (22), tandis que le
terme à longue période n'en fournit (\\\un seul, il v a lieu de multi-
plier par 2 la quantité A" relative à chaque terme diurne ou semi-
diurne. Au lieu de cela, nous diviserons par 2 la quantité A- relative
au terme à longue période ('), pour lequel on devra prendre, par con-
séquent,

3B^

A- =

2

115. Bref, si nous prenons les six termes

CM,), (X), (L), (O), (K,) ,M,

■') Cela revient à faire abstraction, ainsi que nous l'avons déjà fait plusieurs
fois d'un mcine facteur constant aux seconds membres des équations (22 .

TiiEOuiE Di; «m i;. ii. dauwin

16}

nous pouvons former le tableau suivant à tlouhle entrée

a

?

A^

a/i -(- 'it>

— ,'— f.>

ï-f .3— ;i?

Terme (M^)

3

— 2

■'

■

■1 n — - ii

" r,

X a

Terme (N)

a

— 3

1

'l'.l

fi
i.

■i n — ;5 fJ

— ■

»

Terme (L)

2

— 1

- ■

1

2/1 — a

'

»

'l'erme (Oj

I

— 2

0

2 ;j.

u — an

»

— 1

Terme fKi)

I

-

'•

2 ;j.

fl

»

■

Terme (M„.)

0

1

— I

W r,

Q.

I

»

Pour le calcul des quantités A^ t'^ a été remplacé par 2/; et

sin- .^ par -. Dans les deux dernières colonnes on n'a conservé les

termes en r, et en a que pour le terme principal (M^). Enfin, dans
l'avant dernière colonne, on ne s'est pas occupé des termes (0; et (K,)

(|ui contiennent sin ^ en facteur; dans la dernière colonne, on ne
s'est pas occupé des termes (N), (L) et (M„,) qui contiennent e en
facteur; car, pour le calcul des variations de l'excentricité, nous sup-
posons l'inclinaison nulle et, pour le calcul des variations de l'incli-
naison, nous supposons l'excentricité nulle.

116. Le Tableau précédent fournit tous les éléments nécessaires
pour calculer

dr 'dJ' '^dT

au moyen des formules (22). Nous trouvons ainsi
di

= ( — Z|/i H- 4ii) -f- termes en r, et en tji,

Il

-^J = -ir.hn — 2l>) — ^jr,{2n — 3l2) + --rX-^n — o) -f- 3r.lJ,

idiJ.
^dt

(m

-TT^= 5^(2/1 2 il) 2|Jl(/t

2 12;

2 an.

i64

lIYPOTIlliSES COSMOGOMIQUES

Ces trois formules s'écrivent (en négligeant an second membre de
la première les termes en rj et u. a côté du premier terme qui est fini)

(23) ^^;^,; = -«,, + 7...,

1 [x al

Rappelons-nous que nous avons lait abstraction, aux seconds
membres des formules (20) ou (22), d'un même facteur constant. Ce

facteur, il est facile de le voir, est négatif. Désignons-le par — t , et
rétablissons-lc maintenant dans les formules (23) qui deviennonli
ainsi

dt

dn
^ dt

= k{n — il),

V [J. dt

Au lieu de conserver les variables -^ et 11, introduisons l'excentricité
e et l'inclinaison / : nous avons, à des termes près d'ordre supérieur,.

. , t i-
a = 2 sin- - = — ,
2 2

et par suite

I

'0

dr,
dt -

1 de
^ ë dt'

1

dix
dJ-

_ -j di
~ i dt '

Les équations (2/1) s'écrivent donc

(.5) ^Ç^^ = 'f {,,„_, 8.).

. di Id

'dt = -2"-

TMLOIUE DE SIR C. M. DVUWIN

105

Ces dernières cqualions donneront les variations du grand axe, de
l'excentricité et de l'inclinaison de l'orbite lunaire par suite de l'effet
des marées.

117. Nous voulons aussi calculer la variation de la vitesse angulaire
n de rotation de la Terre. Nous nous servirons pour cela du théorème
des aires. Dans la Section II de ce Chapitre, nous avons posé

et l'équation des aires nous a donné (n" 98)

(;i) X -h Y = II.

En vertu de la Iroisièmo loi de Képleu, x est proportionnel à la
racine carrée du grand axe, c'est-à-dire à ce que nous appelons ici £.
Donc, en adoptant des unités convenables, cette équation (3) peut
s'écrire

Mais cette équation n'a élé établie qu'en supposant nulle l'incli-
naison de l'orbile lunaire sur l'équateur, hypothèse que nous aban-
donnons ici. Représentons {/}(/. .Sa) par 0 le plan de l'orbite lunaire,

fifj. 32.

par E celui de l'équateur terrestre, et par Yl le plan invariable (plan
du maximum des aires).

-Modifiant im peu les notations précédentes, nous appellerons i l'in-
clinaison de lorbile sur le plan invariable et j linclinaison de celui-
ci sur l'équateur.

Le théorème des aires donne alors les deux équations suivantes :

E co.si H- n cosj = h,
: sin i — n sin j = o.

l66 IIYPOTIIKSES COSMOGOMQLES

Les angles / et j étant supposés petits, ces équations s'écrivent appro-
ximativement

( jn = ic.

Ces équations nous serviront à calculer les variations des éléments
terrestres n et j, puisque les variations des éléments lunaires | et /
sont données par les équations (25). Nous aurons d'abord

(^7) -„ = - s,-- = - /.■('. - ").

Ensuite, puisque nous appelons maintenant / -+- i, ce qui. dans les
équations (25), est désigné simplement par /, nous devons, dans la
troisième équation (25), rem[)lacer / par j + / (di n'étant pas changé) ;
cette équation devient

Alors la seconde équation (2 G) donne

. dn dj . (/: ^ di

^ dt '^' " dl^'Jt'^'^ Il '

d'où nous tirons

(29) "|/J = 2 ('+j) ("— 212).

118. Hennissons dans un tableau les deux [)rcmières équations (25)
et les équations (27), (28) et (2<)) :

' dt=^'^"-'^'

du ,

^,=-/.(.-i2),

(30) { ^^^ =^^ (lI»-I.So).

C'est de ces écpialions que nous allons tirer les varialions des élé-
ments.

THtOIUE DP Pin n.

167

119. Kemarquons d'abord que les deux premières ne contiennent
ni r, ni /. l-]llcs donnent les variations de la rotation terrestre et de la
distance niovennc de la Lune. Ce sont ces variations que nous avons
discutées en détail dans la Section II. Rappelons les résultats de cette

Jig. Où.

discussion. Prenant pour abscisse | et pour ordonnée n {Ji'J- 33),
nous traçons la droite

+ n = h,

et la courbe de rigidité

qui coupe la droite en deux points G et D. Le point représentatif
(|, n) du système Ïerre-Lune est parti de G, état dans lequel le jour
et le mois étaient tous deux égaux à 5''36"' ; actuellement, ce point
représentatif est en P (c. = 0,2, n = o,(S) ; et l'état final sera repré-
senté par D, où le jour redeviendra égal au mois, leur durée com-
mune étant de 55 jours actuels.

120. Passons maintenant à la variation de l'excentricité c donnée

par la troisième équation (3o). Il s'agit de savoir si j^ est positif ou

négatif, pour reconnaître si l'excentricité e croît ou décroit. Or, le

de
signe de -n dépend du signe de l'expression

i8o.

l()8 HYPOTHÈSES COSMOGO>inLES

Si

lin — i8i> >■ o,

l'excentricilé croît. Si, au contraire,

lin — 1 8 <> <; o,

l'excentricité décroît. Traçons sur la figure 33 la courbe

un — i8 ti ^ o,
c'est-à-dire la courbe

I I

Cette courbe (représentée en trait ponctué) coupe la droite AP] en
deux points C et D'.

Lorsque le point représentatif (H, n) parcourait le segment de droite
ce, on avait

., ^ 18

c'est-à-dire

lin — 1 8 n < o ;

l'excentricité a donc commencé par décroître.
En P état actuel), on est entre C et D', par suite

un — 1 8 1> >• o ,

et l'excentricité est en train de croître.

Enfin, lorsque le point représentatif parcourra D'D, l'excentricité
recommencera à décroître.

Si l'on trace la courbe (fty. ofi) qui représente les variations de
l'excentricité e en Ibnction de ç (ce qui est possible puisqu'on con-
naît l'état actuel P), on constate que cette courbe présente une asym-
ptote verticale correspondant à l'abscisse du point C et que l'excen-
tricité c passe par un minimum en C, par un maximum en D', ])uis
décroît ensuite jusqu'au point final D où elle s'annule.

Il ne faudrait pas croire que l'asymptote verticale signifie que
l'excentricité a été initialement très grande. Les équations (3o), en
eiTct, supposent essentiellement e très petit et cessent d'être appli-
cables dès que e devient grand.

TlIKOniE ME 5in <;. II. DAinvIN MlÇ)

D'ailleurs, ce n'est pas ainsi cpie le problème se pose. Supposons
que l'excentricilé e ail été initialement nulle, la Iroisirme équation
(3o) donnerait

de

donc

e r= o

est une solution : elle correspond à une orbite circulaire restant indé-
iiniment circulaire ('). L'important est de savoir si celte solution est

f'O- 3i.

stable ou inxlahlc. Supposons que e ail subi une petite variation : la
troisième équation 3o étant de la forme

de y.

la solution

e = o

sera stable ou instable, suivant que ■NI, c'est-à-dire

1 1 n — i8t>,

sera négatif ou positif.

Donc, tant que le point représentatif [J"J- 33 est situé entre G et

C, la solution

e = o

est stable : l'orbite reste circulaire. ^lais à partir du point C celte
solution devient instable, et l'excentricité, avant cessé d'être nulle

M, Cf., n" 97.

lyO HYPOTIIliSES COSMOGONIQLES

par suite d'une pelite perturbation quelconque, croît jusqu'en D' ;

de
puis, à partir de là, ,. devenant négatif, elle décroît jusqu'en D où

elle s'annule.

La courbe représentative de l'excentricité (y/7. 34) se composerait
ainsi de la portion de droite cC et du morceau de courbe CDD.

Par suite, le Jait qu'actuellement l'orbite lunaire est excentrique
n'implique pas Ibrcément qu'à l'origine l'excentricité était difTérente
de zéro : le frolLcment des marées a pu, d'après Sir G. H. Darwin,
faire naître une excentricilé qui n'exislail pas inUialemeiit.

121. Etudions maintenant les variations des inclinaisons / et j,
données par les deux dernières équations (00). Gomme ce qui nous
intéresse c'est l'angle /+j que fait l'orbite avec l'équateur, nous
ajoutons ces deux équations : il vient

,0 \ d(i-]- j) k ,. ., / 12

Donc (/ 4- J) croîtra ou décroîtra suivant le signe de la quantité

Remplaçant n par 1i — ç, cette quantité s'écrit (au facteur positif
n'z^ près)

— 2\' + 3/if — h'^ — 2;

ce polynôme en | présente deux variations de signe ; il a donc au plus
deux racines positives. Dans le cas de la Lune, il a elfectivement
deux racines positives qui correspondent aux abscisses de deux certains
points G" et D' situés entre G et D {/kj. 33).

jNous pouvons donc faire pour l'inclinaison la même discussion
que pour l'excentricité. Nous avons pour l'équation (3i) la solution

Gctte solution est stable lorsque le point représentatif est entre G et G" ;
elle devient instable entre G" et D". Si donc nous partons d'un état
initial où l'inclinaison / -+- / est nulle, l'inclinaison restera nulle au
début; puis, lorsque le point représentatif sera arrivé en G', si elle
cesse d'être nulle par suite d'une petite perturbation quelconque, clic

TMiiouiE nr siii

II. IIMIWIN

au^Miicnlcra jusqu'en D ; ensuite clic diminucia jusqu'en D où elle
s'annulera de nouveau.

Nous voyons donc (|ue /(' frolIciDenl ilrs nvu'i'i's n pu Jnirc naître
une inclinaison da pl'in de forhilc sur l\'iju'ilcur, qui n'e.rislnd pas
inilialcmenl.

122. Nous venons d'exposer, dapns Sitli. 11. Dauwin. l'évolution
passée du svstènic Teric-Lune. Mais quelle a pu être la durée de cette
évolution 1' Nos formules ne nous l'apprennent pas, car il y entre le
coeflicient de viscosité inconnu qu"a\ait la Terre quand elle était
encore [)àteuse. Néanmoins nous pouvons reconnaître facilement qu il
y a un maximum de l'action pcrturliatricc, c'est-à-dire un mtiumum
de temps nécessaire.

Les seconds membres des formules (20'") sont de la forme

(32)

A- 3 siu 21.

Les \- et les ^j sont connus par la théorie des marées. ^Llis les sin 21,
définis par les équations

Ig t = A- a/i — 3l>),

sont inconnus puisque A: dépend de la viscosité. Ur. un sinus est tou-
jours inférieur à l'unité en valeur absolue. Nous exagérerons donc
l'expression (3:?), par suite nous diminuerons le temps nécessaire à
la variation de |, si nous rem[)laçons les sin 2£ par l'unité et si nous
prenons tous les termes avec le même signe.

Durée

Inverse

Distance

Durée

du mois

Incli-

de

(en

ï

Chaleur

Epoques

du jour

^en
jours

actuels

naison

l'aplatis-
sement

rayons
terrestres
actuels

n

dégagée

0

23''56°'

27,32

.■?3°28'

232

60.4

4.01

0

.46.3oo.ooo

i5 3o

18,62

20 4o

96

46.8

2,28

225

56.0)00.000

9 33

8.17

17 20

40

27,0

i.ii

760

56. 800.000

7 5o

3,59

i5 3o

25

i5,6

0,67

i3oo

56 810.000

6 45

1,58

i4 25

18

9.0

0,44

1760

C'est de celte façon qu'à procédé Sir G. H. Darwin pour introduire
le temps dans son analyse. 11 a dressé le Tableau ci-dessus, dans lequel

HYPOTIIKSES COS\IO(;OMOL'ES

la première colonne indique le nombre d'années écoulées à partir de
l'époque actuelle, et en arrière (ces époques sont de plus en plus rap-
prochées à mesure qu'on remonte dans le passé, parce que, la Lune
étant alors plus proche de la Terre, les eiïets des marées étaient plus
considérables).

L'énergie mécanique du système Terre-Lune a toujours été en di-
minuant, le frottement la transformant en chaleur. Si cette chaleur
avait été employée à échauiTer la Terre, elle aurait élevé sa tempéra-
ture d'un certain nombre de degrés (FAKE>nfc;rr) : c'est ce nombre de
degrés qui ligure à la dernière colonne du Tableau. Sir G. IL Darwin
fait remarquer que l'on pourrait peut-être invoquer cette cause pour
expliquer l'origine de la chaleur interne du globe.

123. Sir G. IL Dahwin a aussi essayé de calculer une valeur du
coellicient de viscosité inconnu de la Terre, en [)artant de l'accélération
séculaire de la Lune. Des observations déclipses dans l'antiquité ont
permis d'évaluer cette accélération à lo". Or, le calcul indique une
accélération théorique de 6" seulement. Il y a donc une accélération
de \" que la gravitation n'explique pas('). SirG. IL Dauwi.n cherche,
comn)e le lit autrefois Di^lalnay (n" 95), à en rendre compte par
l'augmentation du jour sidéral, due au frotlemeut des marées. La
Lune s'éloignant de la Terre subit réellement, non pas une accéléra-
tion, mais un retard, et son accélération apparente ne serait due qu'à
la différence entre le retard réel de la rotation terrestre et le relard
réel de la révolution lunaire, le premier de ces deux retards étant
plus grand que l'autre. C'est en égalant à /j ' la diflérence de ces deux
retards, telle que la lui donnent ses formules, que SirG. H. Daihvix a
calculé le coeflicient de viscosité de l'intéiieur de la Terre. Si l'on adop-
tait le coeflicient ainsi obtenu, on trouverait pour la durée de l'évolu-
tion plusieurs milliards d'années; mais il inqjorte d'observer que la
Terre a pu être autrefois beaucoup plus liquide qu'aujourd'hui.

124. Jus^pi'ici, nous avons toujours adopté des unités particulières
destinées à simplilier les fornndes. Cela était légitime, parce que nous
étudiions l'action des marées produites par un même astre, la Lune,

(*! l^ciit-èlrc qu'en ajoutant moins de loi à certains |)asgages d'Auteurs anciens,
«[tii en sont parfois peu dignes, ou dont les textes sont plus ou moins ol)SCurs,
quand ils rapportent des observations d'édipses, on arriverait à rétablir l'accord
er>lrc i'obscivalioii et la tliéoric de la gravitation.

TiihoiuE DI-: !-iK (;. II. Dvuwi.N 1-5

sur un munie astre, la Terre. Mais si nous voulons niaintcnanl com-
parer l'action des marées produites par divers astres sur im même
astre, ou par un même astre sur divers astres (par exemple si nous
envisageons le système formé par une planète et plusieurs satellites,
ou bien le système formé par le Soleil et l'ensemble des planètes), il
faudra rétablir les coeffîcients de proportionnalité. C'est ce rpie nous
allons faire.

125. De même que la marée lunaire a une inlluence sur la lon-
gueur du jour et du mois, la marée solaire a une influence sur la
longueur du jour et de l'année. Désignons par S, L, T les masses du
Soleil, de la Lune, de la Terre. Nous appelons toujours

C le moment d'inertie de la Terre,

Il sa vitesse angulaire de rotation,

Ll la vitesse de révolution de la Lune,

a le demi-grand axe de son orbite.

L'équation des aires, a[)pliquée au système Terre- Lune, supposé
seul, s'écrit

(33) Lrt-i2 + Cn = const.

Cn représente le moment de rotation dû à la rotation terrestre, L'^/-il
le moment de rotation dû au mouvement orbital de la Lune. Le mo-
ment de rotation dû au mouvement orbital de la Terre autour du
centre de gravité du système Terre-Lune étant très petit, nous le né-
gligeons à coté de La-0. Quant à celui qui est dû à la rotation de la
Lune sur elle-même, nous en faisons abstraction, envisageant ici la
Lune comme un simple point matériel sans dimensions.

Ecrivons maintenant l'équation des aires pour le système Terre-
Soleil, supposé seul. Appelant

Q.' la vitesse de révolution de la Terre autour du Soleil,
a' le demi-grand axe de l'orbite terrestre,

nous aurons

(3Z,) Ta'n>'-K C/i = const.

Cn représente toujours le moment de rotation dû à la rotation terres-
tre ; Ta'-Ù représente le moment de rotation dû au mouvement

llVPOTIlIlSrS COSMOGOMQU'ES

orbilal de la Terre aulour du Soleil, à cùté duquel celui qui est dû au
mouvement orbilal du Soleil, aulour du centre de gravité du système
Terre-Soleil, est négligeable. ?Sous faisons aussi abstraction du mo-
ment de rotation du à la rotation du Soleil sur lui-même, en\isageant
ici le Soleil comme un simple point malériel, ou, si l'on préfère,
comme mie sphère absolument rigide dont le moment de rotation est
constant.

Transformons les équations (3>3) et (3/i), en introduisant les quan-
tités

et en nous servant de la troisième loi de Kli'Leu qui donne

œ'ii^ = T.

Les équations des aires (33) et (3/|) s'écrivent alors

•2

LT-'; -h C;) = const.,

2

TS-'?' -t- C/i = const..

Considérons d'abord l'action de la marée lunaire. Cette marée donne,
pendant un ceitain temps ~, à la rotation n de la l'erre une variation
r^n, et il en résulte pour r une variation c?r donnée par

(35) LT^» o^ + Co/i^o.

De môme, la marée solaire fait, dans le même temps t, subir à // une
variation 6"n, et il en résulte pour |' une variation c? |' donnée par

(36) TS^ 5'i'-4-Co'/ir=o.

Comparons r)'n à (?/? : il s'agit de l'action de deux marées dill'é-
rentes sur un môme astre, la Terre. Le rapport de o"n à c?// sera donc

A'-
a[)proxiuialivement égal au rapport -ty des carrés des coefficients des

deux marées. La marée solaire est environ trois fois moindre que la
marée lunaire. On a donc

o;»_.V2_ /iY_ I

TIlliOUIE DE SIU (;. H

L'augmentation de la diitée du jour provenant de la marée solaire est
donc environ 9 lois moindre que celle qui provient de la marée
lunaire.

Les équations (o~)) et (30) donnent ensuite

0';' _ 1 LT^ .

or, le second membre est exlrcmcment petit; o"c' est donc incompa-
rablement plus petit que rj'z ; ce qui signifie que la marée solaire n'a
qu'une inlluence insignifiante sur la distance moyenne de la Terre
au Soleil, c'est-à-dire sur la longueur de l'année.

126. Les marées que la Lune soulrve sur la Terre ralentissent la
rotation terrestre. De même les marées que la Terre pourrait soulever
sur la Lime exerceraient une inlluence sur la rotation de la Lune.
Actuellement, la Terre ne soulève [)as de marées sur la Lune, puisque
la Lune nous présente toujours le même hémisphère. Mais aux épo-
ques reculées, la Terre a dû soulever des marées sur son satellite, et
c'est précisément, ainsi que l'avait déjà affirmé Laplace, à l'action de
ces marées qu'est due l'égalité actuelle de la durée de rotation et de
la durée de révolution de la Lune.

Soit M la masse de l'astre perturbateur qui produit la marée sur
un astre sphérique T de rayon a {Jl^. 35). Appelons c la distance

7/;/. 35.

TM du centre de la sphère T à l'astre perturbateur et /• la dislance
MA de l'astre perturbateur à un point V de la surface de l'astre T.
Le potentiel dû à l'astre perturbateur est

M M / a a'

— == — I — -i ~ cos 7 H — 5

/• c s. r c-

M , Ma Ma2 Scos^^cr

= 1 ^ cos 7 H ■

c c- C' 2

= Uo + U, 4- U,.

1-6 HYPOTHÎOSES COSMOGONIQLES

Le potentiel yénérateui- de la maiée est

,, Ma- 3cos-j — 1

il est proportionnel à

La dénivellation statique est

u

elle est proportionnelle à

Le bourrelet liquide, du à cette dénivellation, produit sur Taslre M
un potentiel perturbateur

où IV désigne la densité du bourrelet liquide soulevé sur l'astre T.
Or. nous avons, le signe ^^ indiquant la proportionnalité,

^ Ma-

et — peut, sous le signe I I être remplacé par U. (') qui est propor-
tionnel à • i^ous pouvons donc écrire

W^—,

M-ahu

c''g

Le couple l' qui lait varier la rotation de l'astre T est propor-
tionnel à

(*) Car on a
puisque !^ est une fonction spliérique du second ordre.

TIlliORlE DE Slll i;. II. UAUWl.N I77

puisque

<ly

représente le travail \itiuel [)r(xluil dans une petite rotation >ly de la
sphère T.

Comme .— est lui-même proportionnel à VV Cj le couple F est

proportionnel à

Si, maintenant, nous tenons compte de la viscosité de l'astre T,
nous trouvons

couple perturbateur I c>o — t: — sin 2 t.

La dérivée 7, de la vitesse de rotation de l'astre T s'obtiendra en

divisant le couple perturbateur F par le moment d'inertie de la sphère

T qui est proportionnel à iva".

Bref, nous aurons

dn M'a .

-j-i ="^ — ,— sin 2 £.

dt &g

L'angle c est défini par l'équation

tgt ^= k-x,

k étant une constante proportionnelle à la viscosité et a étant propor-
tionnel à la vitesse de la marée. Pour la marée principale semi-diurne,
on trouve, en faisant le calcul,

a — il

tg 2 = I q V ,

" '^ gaw

V étant le coefficient de viscosité de l'astre T. Comme l'angle i est très
petit (en prenant pour v le coefficient de viscosité de la poix, on trouve
que col angle ne dépasse pas 10' pour le système Ïerre-Lune), nous
pouvons écrire

, n— il

sin 1 1 c:^: te t --^^ •

° gaiu

I, Bien entendu, nous ne conservons dans W que le terme le plus important,
celui qui, pour les marées terrestres, est appelé terme principal semi-diurne.

POINCARK. 13

1-8 UYPOriiijSES COSMOGO.NHitES

Or, nous avons pour la gravité fj, à la surface de l'aslre T
et par suite

iva'

q 3VS — :;- CVS iva,
^ a-

n — £1 n — il

SUl 2 î 3V3 , — cvn -, — T- ■

g- a-iv-

Finalement, il vient

du M-fl n — a M'\n — Q)
cil c g g- c lo'a'

Si la sphère T est la Terre et l'astre M la Lune, ces proportionna-
lités représentent la diminution de la rotation terrestre due à la marée
lunaire.

Si, maintenant, nous voulions avoir la diminution -tt de la rotation

de la Lune, due aux marées que la Terre produit sur la Lune, nous
aurions

dl "^^ àw'-^a!'

où M' désigne cette fois la masse de la Terre, iv' et a' la densité et le
ravon de la Lune, oj sa vitesse angulaire de rotation.

Actuellement, les durées de rotation et de révolution de la Lune

., 1 A 1 '^"' T

étant les mêmes, 'A — il est nul et il en est de même de , : 1 action

retardatrice de la Terre sur la Lune est épuisée. Mais il n'en a pas
toujours été ainsi : à l'origine w — 0 était comparable à n — 12, cl
alors on avait

ce qui, puisque

s'écrit

dn'

dt

^{f,)'m

(a

dn ''

\7^

^t

M c^ w'a'\
M' CVS w a\

dll^

dl /v'Y'/ay

ïïiT ^ \w') [â'J •

dl

TiiiiOniE DE SI II r..

179

Gomme les densités w et w' de la Terre et de la Lune sont du même
ordre, ce rapport est comparable à

a y

- = 82 000 environ.

a I

Donc l'action retardatrice de la Terre sur la Lune a dû ctre au dé-
but environ 82000 fois plus forte que l'action retardatrice de la Lune
sur la Terre. On conc.'oit donc que cette action ait pu être assez puis-
sante pour avoir arrêté le mouvement de rotation de la Lune relative-
ment à la Terre, et pour avoir forcé notre satellite à nous tourner
toujours la même face.

127. Si, maintenant, on étudie le système formé par le Soleil et les
différentes planètes, on constate d'abord que l'action produite sur la
rotation du Soleil par les marées que les planètes soulèvent sur le
Soleil est tout à fait insignifiante. Quant à l'action retardatrice de la
marée solaire sur la rotation des ditTérentes planètes, son coefficient
de proportionnalité est

M-g n — li

ce qui peut s'écrire

Won

en négligeant la vitesse angulaire il de révolution de la planète, à
côté de sa vitesse angulaire n de rotation.

Or, M, masse du Soleil, est le même pour toutes les planètes, et
l'on a

tu

3 '--'■ ;.2 •

m étant la masse de la [)lanète envisagée. Le coelHcient de propor-
tionnalité auquel est proportionnel ^^j est donc pour chaque planète

i8o

HYPOTUKSES COSMOGOMQUES

Sir G. II. Dakwln donne le Tableau suivant (où C leprésenle le
moment d'inertie de la planète) :

Planètes

dl

dn
~dï

Mercure. ,

Vénus

La Terre

Mars

Jupiter

Saturne

I

o.oaC)

2,3

o,ii

I OOO

1 1

I

o,oooo5
0,00002

Le calcul, en ce qui concerne Mercure et \cnus, a été lait en sup-
posant à ces deux planètes une durée de rotation de l'x heures. On
voit que, pour ces planètes intérieures, l'action retardatrice delà marée
solaire est forte. S'il est vrai, comme le prétendent plusieurs obser-
vateurs, que ces deux planètes tournent toujours une même lace vers
le Soleil ('), ce lait pourrait s'expliquer par l'action retardatrice de la
marée solaire. La tliéorie ex])liquerait aussi pourquoi les planètes
extérieures Uranus et Neptune, n'ayant subi qu'une marée solaire très
faible, ont conservé leur rotation rétrograde.

IV. Influence accélératrice du refroidissement.

128. Le refroidissement séculaire de la Terre la contracte et di-
minue son moment d'inertie ; par suite, en vertu de la loi des aires,
sa vitesse de rotation doit s'accroître de ce chef. Il y a donc lieu, à
coté de l'influence retardatrice des marées, étudiée dans les pages
précédentes, de tenir compte de l'inlluence accélératrice du refroidis-
sement.

Nous avons vu plus haut (n" 126j que le couple retardateur T dû
à la marée est proportionnel à

M'a'

&'g

sm 2 i.

(1) Celte opinion, en ce qui concerne Vénus, ne paraît plus guère soulcnal)le
depuis les récentes observations spectroscopiqucs de M. Belopolsky.

TUtOKlE UE SIK G. 11. DAll« l.N

t8l

c'esl-à-diie à

ou encore a

M-ahi

M'a'

Or, M (masse de la Lune) et m niasse de la Terre) sont des cons-
tantes, et nous rejiarderons aussi c (dislance de la Lune à la Terre)
comme constant. Par suite, le couple V est i)ro[)oilionnel à

Le moment de rotation Cn de la Terre aura sa dérivée j[~ P'O-
porlionnelle au couple V : nous aurons donc l'équation

(/(Cn)

dl

= _ Aa" (/i — il).

A étant une certaine constante positive.

Comme C, moment d'inertie de la Terre, est proportionnel au
carré a'- de son rayon, nous pouvons écrire l'équalion précédente
ainsi

^'=-Ba'(„-U),

B étant une nouvelle constante poï^itive. De là nous tirons
., dn 2 n da ^ .

Par suite du retroidissement. le rayon terrestre a dmimue, et tt
est négatif; donc, au second membre de l'équation (07), nous avons
un terme positif dû au refroidissement séculaire, et un terme négatif
dû au frottement de la marée.
Posons

da

dl = - '«•

). étant une quantité positive. L'équation (87) s'écrit

dn
dl

(38) ^? = "(2 >> — Ba") -h Ba'o.

dl

2

da

=

■?'".

I

=

IJL
2

('-',

182 HYPOTHÈSES COSMOCONIQLES

Nous allons loul d'abord supposer, à seule fin de l'acililer les cal-
culs, que le refroidissement suit la loi particulière indiquée par la
formule

2 X = ixa\

[i étant une constante : nous aurons alors

da [JL „

Jl ^^

d'où

et

le rayon terrestre, avec cette loi, varierait comme l'inverse de la ra-
cine septième du temps. L'équation (38) s'écrit alors

I dn T-,\ r>

Si l'on a

I^>B.

n ira constamment en croissant, et tendra vers ±: oc , suivant son
signe.
Si l'on a

i.<B.

n tendra vers une limite finie qui sera atteinte lorsque ,j s'annulera,

c'est-à-dire lorsqu'on aura

«^ _ — W
Q ~ tx — jr

Cette rotation finale est directe (de même signe que D), puisque le
second membre est positif.

129. Appliquons celte loi du refroidissement à l'élude de l'évolu-
tion d'une nébuleuse planétaire qui se transforme en planète. Nous
avons vu (Chap. TIÎ, n" 42) qu'au début de son existence, lorsqu'elle
vient de se former aux dépens d'un anneau de Laplace, la rotation
d'une telle nébuleuse planétaire est rétrograde.

TIlLOniE DE Sin G. II. DAIUVIN 1 83

Alors, si

l'cITet du refroidissement l'empoile sur celui des marées : la rotation
reste toujours rétrograde et tend mt^nie à s'accélérer. C'est ce qui a
pu arriver pour les systèmes extérieurs d'I ranus et de Neptune.
Si

la rotation, d'abord négative, a varié en tendant vers la limite finale

— Bii

qui est positive. Si a est inférieur à B, mais très voisin de B, cette
vitesse angulaire finale est très grande. On peut penser que ce cas
s'est présenté pour Jupiter et Saturne, car leur rotation est directe et
très rapide.

Pour les planètes plus voisines du Soleil, B — u. croît puisque
l'influence de la marée solaire se fait sentir davantage. La rotation
finale est moins rapide.

Enfin, pour les planètes très voisines du Soleil (Mercure et \énus)
(tout au moins dans l'opinion de M. Schiapauelli!, u. est négligeable
devant B et la vitesse limite de rotation est

B = i> :

elle est égale à la vitesse de révolution.

130. Pour une loi de refroidissement autre que celle que nous
avons envisagée pour simplifier, 'j., au lieu d'être une constante, serait
variable et n tendrait toujours à se rapprocher de

— Bn
;z — B

si 'j. <C B, et à s'en éloigner si y. >- B.

Lord Kelvin estime que la variation séculaire de la durée du jour,

due au refroidissement, serait de 0- de seconde. Cette accélération est

très petite à côté du relard qui serait du à l'influence de la marée. On
doit donc penser que, pour la Terre, l'etl'et du frottement de la marée
interne l'emporte sur celui du refroidissement, et que la vitesse an-

l84 HYPOTHESES COSMOCOMQUES

sfulaire /? de rotation de la Terre est actuellement en voie de décrois-

sance

131. Une troisième cause peut modifier la rotation de la Terre.
Cette cause, c'est l'augmentation de la masse de la Terre par suite
de la pluie météorique, de la chute d'étoiles fdantes dont elle est
bombardée. Ces projectiles qui tombent sur la Tcrie viennent aug-
menter son moment d'inertie et, par conséquent, retarder sa rr)tation.
On a dit qu'il suffirait, pour expliquer les /j" d'accélération séculaire
de la Lune dont la gravitation ne rend pas compte, d'admettre que le
rayon de la Terre s'accroît de i mètre en loooo ans, par suite de la
chute des météores. Mais un tel accroissement du rayon terrestre
représente une pluie météorique vraiment énorme et inadmissible.

V. — Hypothèse sur la formation de la Lune.

132. Nous avons dit que, d'après Sir G. II. Daravix, la Lune à
sa naissance était très voisine de la Terre. Mais comment la Lune
a-t-elle pu naître de la Terre?

On peut d'abord supposer, restant dans l'ordre d'idées de Lai'lace,
qu'elle s'est formée aux dépens d'un anneau abandonné par la nébu-
leuse terrestre.

On peut aussi — ^ c'est là une hypothèse proposée par Sir G. H. Dar-
win — penser que la Terre encore liquide subissait la marée solaire : il
est arrivé un moment oîi la période propre d'oscillation de cette masse
fluide est devenue égale à la période de la marée solaire. Alors l'am-
plitude de la marée s'est exagérée par suite du phénomène de réson-
nance : l'intumescence est devenue énorme, et une portion de la
masse se serait détachée de la Terre, lui formant un satellite.

Mais une autre hypothèse, que nous allons examiner maintenant,
est encore admissible.

133. Rappelons ce que nous avons dit relativement aux figures
d'équilibre d'une masse fluide homogène soumise à l'attraction mu-
tuelle de ses parties et tournant avec une vitesse angulaire constante w
autour d'un axe ox (n" 47). Nous avons comme figures d'équilibre
possibles :

I" Des ellipsoïdes de révolution aplatis, dits ellipsoïdes de Mag-
Lauuix ;

TIIKORIE IT >TU <;. II. DARWIN

2' Des ellipsoïdes à trois nxes inégaux, dits ellipsoulos de JACom.

Reprenant les notations du n" 45, nous appelons a, h, c les trois

demi-axes de l'ellipsoïde qui est une liguic d'équilibre, et nous posons

n-
//2 •

/ =

Nous avons vu que .v et / sont com|)ris entre o et i, c'est-à-dire que
l'axe de rotation est toujours le plus petit axe de l'ellipsoïde, et que
dans le plan des s, I, la courbe lieu du point (.v, /) représentatif de
l'ellipsoïde se compose, à l'intérieur du carre

o < s < 1
o< < < 1.

de la droite OA, et d'une ligne DB (Ji;/. o6). La droite OA correspond

Jiç,. 30.

aux ellipsoïdes de Mac-L\i ui\, la courbe DB correspond aux ellip-
soïdes de Jacdiu.

Si l'on examine comment varie la vitesse angulaire o) lorscpi'on
chemine sur ces deux portions de courbe, on constate qu'au point A
où l'ellipsoïde de Mac-Lauri> est une sphère, la vitesse u est nulle;
lorsqu'on décrit la droite AO dans le sens AO, 03 croît jusqu'à un
certain point E où il est maximum, puis décroît jusqu'en 0 oii il
s'annule do nouveau. Si, maintenant, on décrit l'arc DB qui corres-
pond aux ellipsoïdes à axes inégaux, o) [)art de zéro en D, croît jus-
qu'en Ci où il passe par un niaximimi, puis décroît jusqu'en B où il
s'annule. Deux points tels que M et M', symétriquespar rapport à OA,
représentent- le même ellipsoïde de Jacohi, ayant simplement tourné
de 90".

l86 ini'iiTIlÈSF.S COSMOr.OMQlF.S

Mais ces figures ellipsoïdales d'éf|iiilibic, de Mac-Lauiun ou de
Jacoiîi, ne sont pas les seules possibles [)our noire masse fluide homo-
gène animée d'un mouvement de rotation : il en existe une infinité
d'autres (') dont nous allons maintenant parler.

134. Rappelons la définition des foo7'(/o/î/uV.<« cllipli(jiics de l'espace.
Considérons la famille de quadriques lionioCocales

X- y- r^

À- — a'^ À- — />- /,"- — c-

Par chaque point de l'espace passent trois de ces surfaces : en elTet,
X, y, z étant donnés, on a pour déterminer /- une équation du troi-
sième degré, dont les racines sont séparées par les nombres rr, b-, c-.
Appelant o-, 'X', V" ces trois racines, nous aurons

?"- > a- > IX- > Ifi > v2 > c\

La plus grande racine o- corres|)ond à un ellipsoïde, la racine
moyenne ir à un hyperboloïde à une nappe, la plus petite v^ à un
hyperboloidc à deux nappes.

Réciproquement, si o, 'J., v sont donnés, on a trois surfaces se cou-
pant en huit points placés symétriquement, par rapport aux divers
plans de coordonnées. Si on ne considère que les points situés dans
le Irièdre positif des axes de coordonnées, les trois nombres o, [X, v
définissent un point et un seul : ce sont les coordonnées elliptiques de
l'espace.

Soit R une fonction de o qui sera, soit un polynôme en o-, soit un
tel polynôme multiplié par un, deux ou trois des radicaux

V'p- — et- . \ z- — Ir , \' f — C- .

Soient M la même fonction de y, et N la mcine fonction de v. M et N
ne dilTèrent de R que par le changement de ^- en v.- et en v- respec-
tivement.

Le produit RMN est une fonclion de .r. y, r. Si cette fonction est
iiarmonique, c'est-à-dire si l'on a

/ d' d- <P

dx- dy- «--

(i) II. I*oi>f:AitÉ : Sur réipiUlbrc d'une mai^sc fluide animée d'un mouvement de rota-
lion {Acla Malhemaliai, t. Vif, i8S5, [). 'iSo-GSo). Voir aussi H. l^oi\c.\uii : Figures
d'équilibre d^une masse fluide (Ln.ons professées à la Sorbonnc en 1900).

THLORIE DE ïlll <i. H. DARWI!»

187

les fonctions l\. M, N sont dites foncLions de Lamk. On démonlro
qu'il existe elTectivement une infinité Je fonctions de Lamé.

Considérons un ellipsoïde E correspondant à une valeur donnée 0
du paramètre, et définissons une surface 2i l'oisine de l'ellipsoïde E

f'J- 37.
[fit/. 07) : en chaque point de E nous menons une petite normale PP'

: = £ /MX,

de longueur

en posant

1 =

\/(?'-i^'){?'--n

l est une fonction bien déterminée du point quelconque P de l'ellip-
soïde E ; M et N sont deux fonctions de Lamé conjuguées ; i est une
constante très petite.

Le lieu du point P' est une surface -qui coupe l'ellipsoïde E suivant
des lignes de courbure : en effet, le long de l'intersection de ces deux
surfaces, on a

: = o,

c'est-à-dire

M = o ou N =r o ;

c'est dire que cette intersection est située sur un hypeiboloïde

u ^ const. ou v^const.,

hyperboloïde qui, on le sait, coupe E suivant une ligne de courbure.

IIYI'OTHIiSES COSMOGOMOUES

135. Revenons maintenant à nos ellipsoïdes de Mac-Lai ri\ et de
Jacohi, figures d'équilibre d'une masse fluide homogène en rotation.
On peut démontrer qu'il existe une infinité d'ellipsoïdes de Mvc-
Lauhin, correspondant à des points N, Ni, N2, ..., (') de la droite
AO [ficj. 36y, tels qu'une surface voisine 2 définie comme nous venons
de le Caire soit aussi une figure d'équilibre. De même, il existe
une infinité d'ellipsoïdes de Jacori, correspondant à des points
M, M,, U„ ..., M', M',, M',, ..., de la courbe DB, tels qu'une sur-
face voisine 2l soit aussi une figure d'équilibre.

136. Parlons maintenant de la stabililc de nos figures d'équilibre.
On démontre que les ellipsoïdes de Mac-Lauiun sont stables de A en
G et instables de C en 0 {fig. 36). Pour les ellipsoïdes de Jacobi, il
suffit d'examiner la demi-courbe GB : ils sont stables depuis G jus-
qu'au point M où l'on rencontre pour la première fois une figure 1,
ils sont instables de M en B.

Quant aux figures d'équilibre .i voisines des ellipsoïdes, on démon-
tre qu'elles sont toutes instables, sauf peut-être une seule, celle qui
correspond justement au point M où l'ellipsoïde de Jacoiu cesse d'être
stable.

137. Gonsidérons alors une masse fluide homogène animée origi-
nairement d'un mouvement de rotation et se refroidissant lentement.
Si le refroidissement est assez lent, le frottement interne détermine la
révolution de l'ensemble dans toutes ses parties avec la même vitesse
angulaire. Le moment de rotation demeurera d'ailleurs constant.

Au début, la densité étant très faible, la ligiue de la masse est un
ellipsoïde de révolution peu diiïérent d'une sphère. Le refroidissement
aura d'abord pour effet d'augmenter l'aplatissement de l'ellipsoïde qui
restera cependant de révolution. Le point représentatif (/Z^. 36) dé-
crira la portion d^ droite AC qui correspond aux ellipsoïdes de Mac-
Laurin, et cela jusqu'en G où les ellipsoïdes de Mac-Laurin cessent
d'être stables. Le point représentatif ne pouvant pas prendre le che-
min GO prendra alors, par exemple, la direction GM ; l'ellipsoïde
deviendra à trois axe inégaux, et cela jusqu'en M où les ellipsoïdes de
Jacobi cessent d'être stables. A partir de là, la masse ne peut plus
conserver la forme ellipsoïdale puisque celle-ci est devenue instable :

[') Les poinls N, >,, No, ..., sont tous situés entre C et O.

miiOUIE DE SIK U. 11. DAKWl.X

189

elle [)reiidia alors la seule l'oniie possible, celle de la siu lace ^ voisine
<le l'ellipsoïde. Celte surface ^ ( //y. A-) présente une ligure piriforme,
ollranl comme un étranglement dans la région marquée 3, tandis que
les régions 2 et 1 tendent à se renller aux dé^)ens des régions i et
3, comme si la masse cherchait ;\ se diviser en deux masses inégales.

Il est dillicile d'annoncer ce qui arrivera ensuite. On peut penser
que la masse ira en se creusant de plus en plus dans la région 3 et
finira par se partager en deux corps isolés.

La figure piriforme 2i, avons-nous dit, csl peul-clrc stable; mais il
n'est pas certain qu'elle le soit réellement. Sir G. 11. D.vkuin a trouvé
que cette figure est stable, mais, d'après M. Liaimh Nofi-, elle serait
instable. Pour trancher la question il faudrait recoiunumcer le cal-
cul : or, ce calcul est extrêmement pénible.

Si cette figure 2^1 est instable, la rupture, la séparation de la masse
fluide en deux masses inégales, au lieu d'être progressive, se produi-
rait d'un seul coup et biusquemenl.

138. Quelles conclusions pouvons-nous tirer, au point de vue cos-
mogonique, de la discussion [)récédente ."^ Il est impossible de voir là
une origine, même approchée, des planètes : car les planètes n'ont
qu'une masse insignifiante relativement à celle du Soleil. Mais Sir
G. H. Darwin estimef'; que certains satellites ont [)u se former de cette
façon aux dépens de leur planète. Cela aurait pu arriver notamment
pour le système Ïerre-Lune dans lequel les deux masses sont compa-
rables, l'une n'étant pas une fraction extrêmement petite de l'autre.
La Lune, s'étant ainsi détachée de la Terre, aurait décrit autour d'elle
une orbite de très petit rayon; mais, par suite du irottement des
marées, ce rayon aurait été en augmentant, ainsi qu'il a été expliqué.

On pourrait concevoir de la même façon la formation de certaines
étoiles doubles, dont les composantes ont des masses du même ordre
de grandeur.

'j Voir r.lc//es5e de Sir G. H. D.iuwiN à M. II. Poincaké ^Séance de la Société
royale astronomique de Londres du 9 février I900), traduite dans E. Lebox :
Savants du jour : Hesri Poinc.vué l^aris, Gaulhicr-Villars, 1909 , p. 38-4o.

CHAlMTKi: YlII.

SUR L'ORIGINE DE LA CHALEUR SOLAIRE
ET DE LA CHALEUR TERRESTRE.

L — Chaleur solaire.

139. Jusqu'ici c'est surlout au point de vue mccaiwiuc que nous
avons envisagé le problème cosmogonique. Nous ne nous sommes pas
encore préoccupé du point de vue thermodynamique . Nous allons
aborder cette face du problème, et recliercber l'origine de la cbaleur
solaire.

Cette question s'est imposée lorsque, vers le milieu du siècle dernier,
on est arrivé à se rendre compte de la quantité énorme de chaleur que
le Soleil perd par an. Les ditïérentes mesures que l'on possède de la
constante solaire, c'est-à-dire de la quantité d'énergie rayonnée par le
Soleil, sont loin d'être d'accord; mais les nombres, tout en variant
du simple au double, nous renseignent sur l'ordre de grandeur de
cette quantité d'énergie. Nous adopterons ici les chiilVes de Pocii.LEr
bien qu'ils paraissent un peu trop faibles.

Un mètre carré de surface terrestre, exposé normalement aux
rayons du Soleil, reçoit de cet astre une quantité de chaleur égale à
0,3 grande calorie par seconde. En multipliant ce cliilïre par le rap-
port du carré de la distance du Soleil à la Terre au carré du rayon du
Soleil, on trouve que, de chaque mètre carré de surlace du Soleil, il sort
par seconde iSqoo grandes calories : cela représente une perte de (i
millions de kilogramm êtres par mètre carré de surface solaire et par
seconde. En multipliant le chiffre 10900 par la surface du Soleil,
évaluée en mètres carrés, et par le nombre de secondes contenues dans
une année, on trouve que le Soleil perd 2,7.10'"' grandes calories
par an.

Si nous supposions que le Soleil a la même chaleur spécifique que
l'eau, il serait aisé de calculer de combien s'abaissera par an la tem-

192

HYPOTHESES C0S\l0(;0NlOLF.S

péi'aliue du Soleil par suite de cette perte de chaleur, à supposer rpic
celte chaleur ne se renouvelle (las. Il sulHrait de diviser le chilTre
précédent 2,7.10^*' par la niasse du Soleil en kilogrammes 1,9.10'" :
on trouverait ainsi i''4 comme taux actuel du refroidissement annuel.
Or, la température actuelle du Soleil, d'après les mesures les plus
récentes, est généralement évaluée à G 000° environ. Donc, si la cha-
leur solaire ne se renouvelait pas par quelque procédé, nous arrive-
rions à celte conclusion qu'avant 6000 ans d'ici le Soleil serait gelé.
Mais il faut observer que la température de 6000" est celle de la pho-
tosphère du Soleil, et tout nous porte à croire que l'intérieur de l'astre
est incomparablement plus chaud, la température augmentant rapide-
ment avec la profondeur. La photosphère serait donc maintenue à
une température voisine de 6000" par des courants de conveclion qui
lui amèneraient constamment de la chaleur empruntée aux couches
plus profondes et plus chaudes de façon à compenser les pertes dues
au rayonnement. La chaleur rayonnée serait donc, en dernière ana-
lyse, prise à la masse solaire interne, et ce serait l'intérieur du Soleil
qui verrait sa température s abaisser.

Quoi qu'il en soit, le Soleil ne contient pas une provision de cha-
leur indéfinie et il perd annuellement une quantité de chaleur consi-
dérable. La plus grande partie de cette chaleur se dissipe dans l'espace
céleste et est entièrement perdue. Ce n'est qu'une très faible portion
de l'énergie rayonnée qui est reçue et utilisée par les planètes. iNe
pourrait-on pas supposer que le rayonnement ne peut se faire
qu'entre deuv corps matériels différents, et que, par conséquent, dans
les directions où l'on ne rencontre aucune matière pondérable, il ne
se produit pas de rayonnement? Dans cette hypothèse, un corps abso-
lument seul dans l'espace ne rayonnerait pas, ne trouvant aucun autre
■corps avec lequel il puisse échanger son énergie. Le Soleil ne rayon-
nant que dans les directions des planètes ne perdrait pas beaucoup
d'énergie. Cette hypothèse permettrait donc de prolonger énormément,
dans le passé comme dans l'avenir, la durée d'existence du Soleil en
tant que source de chaleur. Malheureusement, malgré son ingéniosité,
cette hypothèse est à rejeter, car au moment où l'énergie quille le
Soleil, elle ne peut évidemment pas deviner si elle rencontrera ou non
vme planète.

Force nous est donc d'admettre que la chaleur solaire se dissipe
■dans tous les sens. Puisque ce rayonnement s'est ellectué sans très

St'K l'origine de L\ chaleur solaire et IlE LA CHALEUR TERRESTRE IqS

grands changements pendant les temps historiques et probablement
aussi pendant une très grande partie des temps géologiques, nous
devons en conclure que le Soleil n'est pas simplement assimilable à
un corps chaud qui se refroidit, mais que sa chaleur se renouvelle et
s'entretient par un procédé quelconque. Un problème se pose donc :
Quelle est l'origine de la chaleur solaire?

140. Hypothèse chimique. — La première idée qui se présente à
l'esprit est que, dans le Soleil, la chaleur est peut-être entretenue
chimiquement comme dans nos foyers. Mais c'est une hypothèse tout
à fait insuffisante, car elle ne permet d'attribuer au rayonnement so-
laire qu'une durée fort limitée. Un kilogramme de charbon en brû-
lant dans l'oxygène dégage 8000 calories. On en déduit immédia-
tement qu'un bloc de charbon d'une masse égale à celle du Soleil,
s'il dégageait par an un nombre de calories égala 2,7. 10"*, serait
entièrement consumé en 5 600 ans. En supposant le Soleil formé par
un mélange détonnant d'hydrogène et d'oxygène, ou par un bloc de
coton-poudre brûlant par sa surface sans déflagrer, on trouverait un
nombre d'années plus grand, mais du même ordre de grandeur, c'est-
à-dire encore beaucoup trop petit.

L'hypothèse chimique est donc à rejeter et nous sommes amené,
avec Lord Kelvin ('), à examiner si des hypothèses mécaniques ne
seraient pas plus satisfaisantes.

141. Hypothèse météorique. — D'après l'hypothèse météorique,
dont la première idée remonte à Robert Mayer, la chaleur du Soleil
serait entretenue incessamment par les météores qui tombent sur cet
astre, la force vive de ceux-ci se transformant en chaleur. Un météore
venant de l'infini sans vitesse initiale et tombant en ligne droite sur le
Soleil, posséderait en arrivant à sa surface une vitesse de 62^ kilo-
mètres par seconde. La chute d'un kilogramme de matière représente,
avec cette vitesse, 2.10'° kilogrammètres (^). Or, le Soleil perd 6.10*"'

(') Voir Sir William Thomson (Lord Kelvin) : Constilullon de la matière (Confé-
rences scientifiques et Allocutions, traductioa de P. Lugol, avec des Notes de
M. Brillouin, Gauthier-Villars, 1898 ; p. 335-276). Sur les matières de ce Cha-
pitre, on peut voir aussi J. Bosler ; Les Théories modernes du Soleil (Encyclopédie
scientifique, O. Doin, 1910), Chap. III et IV.

(■-) La combustion de i kilogramme de charbon ne dégage que 8 000 calories

dont l'équivalent mécanique, Sii-io* kilogrammètres, ne représente que -r du

PoiNCABÉo i3

iq^ HYPOTHESES COSMOGONIQLES

kilogrammètres par mètre carre et par seconde. Si l'on veut que la
chaleur engendrée par la chute des météores compense la chaleur
radiée, il faut faire tomber à la surface du Soleil o,3 gramme de ma-
tière par mètre carré et par seconde, soit i kilogramme par mètre
carré et par heure. Avec la densité de l'eau, une telle pluie météorique
roduirait en un an à la surface du Soleil ime couche d'environ
cmètres d'épaisseur. L'augmentation qui en résulterait pour le dia-
mètre solaire serait absolument inappréciable à nos procédés de me-
sure, et rien ne pourrait nous la révéler.

142. Mais il y a une autre dilTiculté. Ce bombardement météo-
rique accroîtrait sans cesse la masse du Soleil, et une augmentation
de la durée de l'année en résulterait. La troisième loi de Kepler
donne en effet

M désignant la masse du Soleil, w la vitesse angulaire de la Terre sur
son orbite et a le rayon de cette orbite. D'ailleurs, la force étant tou-
jours centrale, la constante des aires G ne varie pas ; nous avons donc

toa^ = C.

De ces deux équations nous tirons

la vitesse angulaire de révolution de la Terre varie donc comme le
carré de la masse du Soleil.

Or, la pluie de o*^'',3 de matière par mètre carré et par seconde

accroîtrait en un an la masse du soleil d'environ ., de sa va-

03 oooooo

leur. La masse du Soleil pourrait donc être lepréscntée par l'expression

t

m(

.52. lO'

où t désigne le temps en années.

' Soit / la longitude moyenne de la Terre, nous avons

dl

clufrre précédent ; on conçoit donc la supériorilé des théories mécaniques su^
les théories chimiques.

SUR l'origine de la cii.vlelr solviue et de l.v ciialelr terrcstue kjo

celle quantité est proportionnelle au carré de la masse du Soleil, c'esl-
i\-dire à

[

^ ~^ 32.10V ~ ' "^ ^a.'io"'

Nous pouvons donc écrire (à tui facteur constant près)

dl _ 2<

dt~ ' "^33.IO«

d'où

Si nous faisons

àl vient

)2. 10"

/ = 4000 années,

/ = 4 000 H- -
2

En 4 000 années (de nos années actuelles), la Terre aurait donc par-
couru, non pas 4 000 circonférences, mais f '|000-f- j circonfé-
rences. Par suite, il y aurait, en A 000 ans, une différence de six
mois sur l'époque. Or, il est bien certain que depuis les temps histo-
riques une telle différence ne sest pas produite. La masse du Soleil
n'a donc pas pu varier sensiblement depuis 4 000 ans.

143. Dans le calcul précédent, on a supposé que les météores
•tombent de l'infini sur le Soleil. On pourrait supposer aussi que les
météores, dès l'origine voisins du Soleil, décrivent autour de cet astre
des orbites à peu près circulaires, formant comme un essaim autour
<le lui. Alors, étant intérieurs à l'orbite terrestre, ces météores atti-
reraient la Terre. Lorsqu'ils tomberaient sur le Soleil, l'attraction
exercée sur la Terre resterait la même. On peut donc dire que leur
chute sur le Soleil ne produirait pas d'accroissement de la masse de
cet astre, en tant que celte masse allire la Terre; partant, la longueur
de l'année ne varierait pas.

Mais, pour que ces météores, décrivant des orbites circidaires,
puissent tomber sur le Soleil, il faut qu'ils se meuvent dans un milieu
résistant, ou bien qu'ils soient suffisamment nombreux poni >e cho-
quer assez souvent.

iqG hypothèses cosmogoniques

On sait que la vitesse qui correspond à la trajectoire circulaire est
à la vitesse parabolique clans le rapport de i à y 2. La force vive d'un
météore qui tombe sur le Soleil par spirales de plus en plus serrées
est donc deux fois moindre qu'elle ne serait, si le même météore
tombait en ligne droite de l'infini. Il faudra donc, dans l'hypothèse
actuelle, deux fois plus de matière pour produire le même eiTet. Au
lieu d'admettre que la pluie météorique augmente le rayon du Soleil
de 10 mètres par an, il faudra admettre qu'elle l'augmente de
20 mètres, soit une augmentation de i kilomètre en 5o ans. A ce
taux le diamètre apparent du Soleil croîtrait de i " d'arc en /i 000 ans,
ce qui, bien entendu, est tout à fait inappréciable.

On peut penser que la lumière zodiacale est constituée par un tel
essaim de météores ; ces météores tombant peu à peu sur le Soleil,
entretiendraient sa chaleur. En attribuant à la lumière zodiacale une
masse égale à cent fois celle de la Terre, on trouve que la chute de
sa matière sur le Soleil pourrait entretenir le rayonnement de cet
astre pendant 4 700 ans, chiffre bien faible.

Lord Kelvin se demande aussi quel effet la chute de ces météores
produit sur la rotation du Soleil. Si l'on admet, dit-il, que les mé-
téores se meuvent tous dans le sens direct et dans le plan de 1 "équa-
teur solaire, on trouve que la durée de leur révolution est devenue
moindre que 25 jours, lorsque leur orbite n'a plus pour rayon que
le rayon du Soleil ; par conséquent, en tombant tangentiellement sur
le Soleil, ces météores doivent augmenter sa rotation. Lord Kelvin
voit là une origine possible de la rotation du Soleil (^), car cet astre
aurait pu acquérir ainsi en 26000 ans sa vitesse de rotation actuelle.
Mais rien ne prouve que les météores circulent tous dans le même
sens, ni qu'ils soient orientés dans un même plan.

144. Une grave objection à la théorie météorique telle que nous
venons de l'exposer vient de l'étude spectroscopique. Un météore
arrivant à toucher le Soleil se volatilise, mais il conserve néanmoins
son énorme vitesse orbitale. D'après le principe de Doppler-Fizeau,
ce phénomène devrait se traduire par un déplacement des raies

(') Rappelons que, dans la théorie de Laplace, c'était plutôt la rotation solaire
qui était primitive par rapport à la révolution des planètes. Ici ce serait, au con-
traire, la révolution des corpuscules qui aurait engendré la rotation de l'astre
central.

SLR l'origine de L\ CHVLELR SOLAIRE ET DE LV CIIALELR TERRESTRE 1^7

spectrales ; or, le spectroscopc ne révèle aucune déviation de ces
raies.

En outre, nous avons dit (n° 140) que l'accroissement de la niasse
du Soleil aurait pour conséquence une variation de la durée de l'année,
si l'on ne supposait pas que l'essaim de météores est intérieur à l'or-
bite terrestre. Comme la durée de révolution de Mercure n'a pas varié
non plus, il faut supposer que l'essaim est même intérieur à l'orbite
de .Mercure. La densité de ce nuage cosmique devrait donc être assez
forte, et les comètes devraient être arrêtées ou tout au moins forte-
ment retardées à leur passage au périhélie; or, même pour les comètes
passant à une distance de la surface du Soleil inférieure au rayon d
cet astre, il n'y a ni arrêt, ni retard très appréciable.

Il y a donc lieu de rejeter l'hypothèse météorique, ou tout au
moins de la modifier profondément, comme l'a fait Helmholtz. Ce
sont les idées de Helmholtz que Lord Kelvin, abandonnant lui-même
sa première hypothèse, a, dans la suite, adoptées et développées.

145. Hypothèse de Helmholtz. — Dans l'hypothèse de Helmholtz,
ce ne sont pas des météores distincts qui tombent continuellement sur
le Soleil et le réchaulïent. L'origine de l'énergie rayonnée par le
Soleil est toute différente. Le Soleil est considéré comme une masse
fluide qui se contracte. La contraction rapproche les particules les
unes des autres ; dans ce rapprochement, le travail de la gravitation
est positif.

L'énergie potentielle d'une sphère gravitante est

l/v.„„

dm représentant un élément de masse et Y le potentiel auquel est
soumis cet élément. On a

/v.

dm' représentant une masse attirante élémentaire et /■ la distance de
la masse attirante dm' à la masse attirée dm.

Si l'on a une sphère homogène de densité o, de rayon R et de masse
M, une couche sphérique de rayon a et d'épaisseur da a pour masse

dm = p!iT.a-da.

Ig8 HYPOTHÈSES COSMOGO.MQLES

Quel esl le polentiel V auquel est soumise cette masse dm':} A l'inté-
rieur de la sphère homogène l'attraction est proportionnelle à la dis-
lance au centre ; elle a pour valeur

Ma

à la distance a du centre : on a donc

dV__Ma.
(la ~ R3 '

d'oii l'on tire

^ P Ma-

M

Comme, pour a = R, on doit avoir V = r> , il est facile de calculer

la valeur de la constante C. Remplaçant alors G par sa valeur on a

^ _ 3M _ Ma2

2R 2R^^'

L'énergie de gravitation de la sphère est donc

elle est proportionnelle à
et, comme on a

pMR2;

4rpR' =M,
on peut dire que l'énergie est proportionnelle à

R

Donc, si R diminue, le travail est positif : une sphère gravitante
homogène qui se contracte en restant homogène fournit de l'énergie.
Helmholtz a calculé que, si la densité était uniforme dans tout le

Soled, une contraction de --— en diamètre fournirait un travail égal

1000

SLll L'oniGI>E UE L\ ClI.VLlCLll SOLAIRE ET UE LA CIULEUU TEUnESTHE IQIJ

à 9,0000 fois l'équivalent nircaniquc de la quantité de chaleur qui
représente le rayonnement annuel. Bien ([ue le Soleil ne soit pas
homogène, on conçoit qu'un jiioccssus analogue puisse mettre enjeu
la chaleur nécessaire à son rayonnement.

146. On peut aussi, dans le même ordre d'idées, essayer de cal-
culer la provision de chaleur ou d'énergie emmagasinée par le Soleil
lors de sa formation et d'évaluer le temps pendant lequel il a pu
rayonner au taux actuel de sa déperdition de chaleur. INous suppose-
rons que le Soleil et sa chaleur ont été engendrés par de petits corps,
primitivement séparés les uns des autres par de très grandes distances
et tombant les uns sur les autres, la quantité de chaleur totale produite
étant équivalente au travail positif ainsi produit.

Considérons la sphère solaire comme formée de couches sphériques
concentriques homogènes. A[)pelons 0 la densité à la distance /' du
centre, M la masse de la matière solaire intérieure à la sphère de rayon
r et W l'énergie emmagasinée par cette même matière, autrement
dit le travail que produirait cette matière, d'abord disséminée à l'in-
fini, en se condensant jusqu'à son état actuel. AI, W et 0 sont donc
des fonctions de r.

Si nous donnons à r l'accroissement dr, M s'accroît de

Pour calculer dW, accroissement correspondant de W, nous devons
supposer que la masse c/M tombe de l'infini à la surface de la sphère

de rayon r, passant amsi du potentiel o au potentiel — : nous avons

donc

r

Supposons d'abord, pour simplifier, la densité 0 constante. Dans
ce cas, l'intégration se fait immédiatement : on a

200 HYPOTHÈSES COSMOGONIQUES

d'où

w = ^^^' . ^''

3 M^
5 r •

Si nous appelons R le rayon du Soleil, l'énergie que cet astre a
emmagasinée en se formant est donc

3 W
5 R ■

Pendant combien de temps cette énergie peut-elle suffire à entre-
tenir la chaleur solaire au taux actuel de la radiation ? Nous avons dit
(n" 142) que la chaleur perdue annuellement par le Soleil est équiva-
lente à l'énergie que lui fournirait une pluie de matière tombant de

l'infini sur sa surface et au^-mentant sa masse de o de sa

° 02 OOOOOO

valeur :

M

dm = ^

Saoooooo '
cette pluie augmenterait W de

_M-' _i

~ K 32. io«"

Telle est la quantité d'énergie que le Soleil perd par an. Comme,
d'autre part, celle qu'il a emmagasinée à l'origne est

3 W
5 K '

le Soleil ne peut pas rayonner, au taux actuel, depuis plus de

3 M^

5 R .„.

3ï7ï^^ TT

d'années environ. Ce calcul est relatif au passé, puisque, dans l'ave-
nir, le Soleil peut continuer à se contracter en dégageant de nouvelles
quantités de chaleur.

SLR L ORIGINE DE LA CHALEUR SOLAIRE ET DE LA CUALELR TERRESTRE 301

147. Mais nous avons, dans le calcul, supposé constante la densité
p. Cette simplification n'est pas légitime, car il est bien certain que
dans le Soleil la densité croît à mesure qu'on se rapproche du centre.
Admettons donc que la densité o soit représentée, en fonction de la
distance r au centre, par la loi suivante :

a et a étant deux constantes positives {^). Les formules trouvées pré-
cédemment [n" 146) nous donnent alors

d'où

dM ^ [\~ar- ^dr

3 — a
M = IxT.n l

d\\' = - dM
r

"S — a'^

par suite

W =

{h^ay r'-'-'''

3 — a 5 — 2 a

celte dernière égalité peut s'écrire

M'^ 3 — a

W =

r 0

Dans cette hypothèse, l'énergie emmagasinée par le Soleil lors de
sa formation est donc

M^ 3 — oc

R 5 — 2a'

par suite le Soleil ne peut pas rayonner depuis plus de

(i) - — . 32. lO*^

^ O — 2 a

années.

(') Celte loi donnerait c = 3C au centre du Soleil; elle n'est donc qu'une
approximation, de laquelle la réalité peut se rapprocher plus ou moins.

HYPOTHESES COSMOGOMQUES

Si nous supposons, à titre d'approximation, que la matière solaire
est un gaz qui suit la loi de Mariotte, la pression p devra être pro-
portionnelle à p. L'équation de l'Hydrostatique (équation d'EuLER)
donne

Or,

donc

dp _ M

dr ~ ^ r'-

p est proportionnel à r"
j\I est proportionnel à r^

-J est proportionnel à r' ^*,

p est proportionnel à r^~"^.

Nous voulons que p soit proportionnel ii p, c'est-à-dire à ; — '". jNous
devons donc poser

c'est-à-dire

a = 2,

Alors l'expression (i) donne, pour l'Age du rayonnement solaire,
32 millions d'années.

Cette durée calculée du rayonnement serait un maximum. Elle est
d'autant plus longue que l'on suppose plus grande la condensation
centrale du Soleil, mais, quoi qu'on fasse, elle est toujours du même
ordre de grandeur. En mettant les choses au mieux, le Soleil n'aurait
donc pas, d'après la théorie de Helmhgltz, illuminé la Terre pendant
5o millions d'années.

148. Elude de la chaleur spécifique. — Nous avons dit (n" 139)
qu'en supposant au Soleil une chaleur spécifique égale à celle de
l'eau, son rayonnement abaisserait (si la chaleur ne se renouvelait
pas) sa température à i^/j par an. Ce chiffre est évidemment beaucoup
trop fort, et tout fait penser, au contraire, que la température du
Soleil n'a que bien peu varié depuis des temps très reculés. Tout se
passe donc comme si le Soleil possédait une chaleur spécifique très
considérable, celle-ci pouvant être due à l'énormité des pressions
qui existent à l'intérieur.

SLU L OIUGINE DE LA CHALEUR SOLAIHE ET DE LA ClIALELU TERnESTRE 20.)

Eludions la question au point de vue de la Thermodynamique.

Nous assimilerons tout d'abord le Soleil à un fluide parlait, c'est-à-
dire que nous supposerons en tout point la pression p uniforme et
normale à l'élément plan qu'elle sollicite. Considérons un élément de
volume

dz = dx dy dz ;

appelons o sa densité, X, Y, Z les composantes de la force (rapportée
à l'unité de masse) qui lui est appliquée. Dans un déplacement virtuel
(j^x, ây, âz) subi par cet élément, les forces accomplissent un travail

(X ox -+- Y oy -f- Z o;) p d- ;

et, pour tout l'ensemble de la masse iluidc, le travail accompli dans
un déplacement virtuel a pour valeur

S W = jjj (X 0.T + Y 5j + Z or) p dz.

Les équations de l'Hydrostatique donnent

dx

px.

dp _

dy-

pY,

dp_

dz ~~

pZ:

nous pouvons transformer c?W par des intégrations par parties : nous
avons par exemple

' If ''"'''' -fff"

or, l'intégrale double est nulle parce que la pression p est nulle à la
surface libre du fluide. Il reste donc

.-i-i,- I I I (d.ox d.cY d . oz\ ,

A\ =- n ï p[-^~ -^ -^^^ -^ -^)d-.;

2o4 HYPOTHÈSES COSMOGOMQUES

d'ailleurs, comme l'équation de continuité donne

d . Sa? d .cy d.CfZ

■ Q

dx dy dz p '

nous pouvons écrire

ou, en remplaçant dans cette dernière égalité dr par — , dm étant un
élément de masse,

Appelant v

le volume

spécifique, nous avons

d'oii

I

par suite

8W = — M i pZvdm.

Chaque élément de masse dm figure donc, dans la sommation,
pour la quantité de travail

pc,v dm,
soit

par unité de masse.

Appelons U l'énergie interne par unité de masse et âQ la quantité
de chaleur fournie, également par unité de masse, dans la modifi-
cation virtuelle envisagée. L'équation fondamentale de la Thermo-
dynamique (') donne

oQ = oU +poi;.

(') Cette équation traduit le principe cr équivalence : la chaleur reçue par un
corps (ou un système de corps) équivaut à l'accroissement de son énergie interne,
augmenté du travail e«terne qu'il a fourni. Dans cette équation nous ne faisons
pas figurer l'équivalent mécanique de la clialeur, parce que nous sup[)Osons oQ
évalué en unités de travail, comme les quantités du second membre.

SUR l'origine de la chaleur solaire et de la chaleur terrestre 2o5

La chaleur spécifique, dans une modification quelconque, est repré-
sentée par le quotient

8Q

0 i

de la chaleur fournie par l'accroissement de la température absolue T :

oQ _ oU OV

Supposons la pression p très grande. Si la modification a lieu à
volume constant, âv est nul, et la chaleur spécifique se réduit alors à

SU
oT

qui généralement est une quantité finie. Mais à pression constante (ou
plus généralement à volume non constant), le terme

01'

i' oT
peut-être très grand, si kj n'est pas très petit : il est possible en effet

que pour un solide, ou pour un liquide peu compressible, ^r.-, ne

soit pas très petit, même sous pression élevée ; toutefois ce n'est pas
ce qui arrive dans le cas d'un gaz parfait ('). Nous comprenons ainsi
comment, sous de fortes pressions, la chaleur spécifique peut atteindre
une valeur considérable.

149. Considérons un globe chaud qui rayonnerait, comme le
Soleil. Perdant de la chaleur ce globe se contracte et cette con-
traction tend à le réchauffer . L'ensemble du globe va-t-il s'échauffer,
va-t-il se refroidir ; sa température va-t-elle croître ou décroître ? C'est
une question qui sera discutée plus loin (Section III). Faisons
cependant la remarque suivante : pour que le globe s'échauffe en

oQ .
perdant de la chaleur, il faut que la chaleur spécifique w soit né-

(') Pour les gaz parfaits, lo coefficient de dilatation à pression constante
- ™ est constant ( et égal à — ^ 1 : quand la pression devient très grande, le vo-
lume spécifique v devient très petit, par suite -j. le devient aussi. Pour un gaz

parfait, la chaleur spécifique resterait donc finie sous les fortes pressions. Mais il
n'en c«t pas ainsi pour les solides ou les liquides, ni même pour les gaz naturels.

206 intPOTHÙSES COSMOGOMQUES

qative ; nous verrons plus loin que cela n'a rien d'impossible. Il peut
donc arriver ou que le globe s'écliaulïe, ou qu'il ne se refroidisse que
très lentement si l'efTet de la contraction, en accroissant la pression,
est d'augmenter la chaleur spécifique.

150. Précédemment (n" 148), nous avons assimilé le Soleil à un
fluide parfait. Si nous l'assimilions maintenant à un solide élastique
parfait, la même analyse et les mêmes résultats subsisteraient à peu de
modifications près. ^Jous aurions, au lieu d'une seule pression p en
chaque point, à considérer les composantes de la pression, bien
connues dans la théorie de l'Elasticité,

P.r.v, p. m. P,z.

Pyr, Pl/iJ, P;iz,

/^-. P-^u. P^^ ;
ces composantes se réduisent à six puisqu'on a

Ps!j = P,j,, P,jz = Pz„, P.x = Pxz.

Les équations de l'Elasticité s'écriraient

dpx.v _^ dp:ru _^ dp,. _

dx dy dz

-pX,

dpyr , dp,j,, dp„, _
dx ~^ dy "^ dz ~

-PY.

dpzx , dp,,, dp,,
dx ~^ dv '^ dz ~

— pZ.

Le travail

oW = (Xo.r + Yoj' -+- Zoz)pdx,

accompli dans une modification virtuelle, prendrait la forme suivante
(comme on le voit par des intégrations par parties) :

--iïr[/'.. 4^ -.. H-., cii^^.f )-....]-,

les quatre termes non écrits dans le crochet du second membre se dé-
duisant, par permulation circulaire, des deux termes écrits. Or, la dé-

SLK L ORI(;!>E DE L\ CIIALELU SOLAIHK ET DE LA CHALEUR TEURESTItE 2O7

l'ormaliou virtuelle est cnliùremenl déliiiie par les six déformations
élémentaires (trois dilatations et trois glissements) :

rp d.^X

^•'""~ dx '

rp f/.ÛV

■r-':,r-

„ d.oY d.oz
^^=— dz' ~^ dy '

rp d.oz d.ox
'"— dx "^ dz '

rp d.ox d.oy
^''■'— dy "^ dx

L'équation fondamentale de la Thermodynamique s'écrirait

oQ = SU -p.. î^^ - ... _ p„, I- _ ... ;

? ?

l'ensemble des six derniers termes du second membre, représentant
ici le travail externe ('), joue le rôle que jouait le seul terme po'v dans
le cas du lluide parfait. Ces six termes peuvent acquérir des valeurs
très considérables à l'intérieur de la masse oii les pressions sont énor-
mes. Nous retrouvons donc bien le même résultat : la chaleur spéci-
fique devient très grande sous les fortes pressions.

151. Si, maintenant, nous supposons le Soleil visqueux, ainsi qu'il
l'est certainement dans la réalité, sa contraction aura pour effet, non
seulement d'augmenter sa chaleur spécifique, mais encore de déter-
miner une véritable création de chaleur, car la contraction fait naître
des frottements qui produisent de la chaleur. C'est le travail de la gra-
vitation, ainsi transformé en chaleur par les frottements, qui, d'après
IIelmholtz, entretient la radiation solaire (ii° 145).

152. Dans l'intérieur du Soleil, en raison de la très haute tempéra-
ture, la plupart des corps doivent être chimiquement dissociés. Des
courants de conveclion amènent à la surface les matières de ces corps ;
là, trouvant une température moins élevée, elles se recombinent avec
dégagement de chaleur; s'étant ensuite refroidies, ces matières retom-
bent à l'intérieur du Soleil où elles se dissocient de nouveau. On peut
concevoir que le même cycle recommence et se poursuive, ce méca-
nisme permettant à l'énergie emmagasinée à l'intérieur du Soleil
de venir se dissiper à sa surface (sans qu'il y ait là, bien entendu.

(') Rappelons que, dans la notation habituelle de la tliéorie de l'Elaslicilé, les
pressions sont regardées comme positives si elles correspondent à des tensions et
comme négatives si elles correspondent à des compressions ; c'est la raison des
signes — qui figurent dans ?Q.

200 HYPOTHESES COSMOGONIQUES

créalion de chaleur, puisque ce sont toujours les mêmes corps qui
alternativement se dissocient et se recombinent).

La dissociation des matières centrales du Soleil joue le même rôle
qu'une augmentation ds la chaleur spécifique. En effet, si c est la
chaleur spécifique, pour élever de T degrés la température superficielle
du Soleil, il faut fournir par unité de masse une quantité de chaleur

cT;

s'il faut, en outre, dissocier cette masse, on devra lui fournir une
quantité de chaleur supplémentaire que nous pouvons représenter par

aT.

a étant positif. La quantité de chaleur fournie en tout sera donc

(c + ût) T ;

tout se passe donc comme si la chaleur spécifique avait été c + a au
lieu de c.

153. Plus la chaleur spécifique des parties centrales est grande,
plus est considérable la provision de chaleur que représente la tem-
pérature du Soleil. Quelle température peut-on assigner au centre du
Soleil? Celle de la photosphère est d'environ 6000°; mais cette tem-
pérature n'est pas celle de toute la masse. Puisque, dans certaines
parties de l'atmosphère terrestre, il s'établit une sorte d'équilibre adia-
batique, on peut penser que, dans le Soleil, s'établit un régime ana-
logue, les parties les plus comprimées étant les plus chaudes et les
parties les moins comprimées, les plus froides. Dans ces conditions,
le gradient de la température serait, d'après M. Arruenius, de 9° par
kilomètre pour une atmosphère d'hydrogène (en admettant que l'hy-
drogène soit devenu monoatomique aux hautes températures qui
régnent dans le Soleil). Si l'on admet que ce même gradient se pour-
suit jusqu'au centre, on trouve 6 millions de degrés comme tempé-
rature centrale du Soleil. Il est inutile d'insister sur tout ce que des
évaluations de ce genre présentent d'arbitraire et d'incertain ; mais, bien
que la température superficielle soit faible, il n'en est pas moins vrai
que la quantité de chaleur contenue dans le Soleil est énorme.

Ces diverses considérations nous montrent que tout a pu se passer
comme si la chaleur spécifique du Soleil était très grande; il en résulte
que le Soleil aurait pu emmagasiner une provision de chaleur consi-

SUR L ORIGINE DE I.\ CIlALELn SOLAIRE ET DE LA CHALEUR TERRESTRE

209

dérable, sans que sa température moyenne, et surtout sa température
superficielle, seule accessible à l'observation, se soient élevées à des
chiffres non admissibles. Mais ce n'est pas là une solution du pro-
blème ; si nous admettons que cette provision est due à l'énergie de
gravitation, elle se trouve toujours limitée par le calcul de IIelmuoltz
et la difficulté reste entière.

154. Nous avons dit que, d'après lÏEi.MUor.Tz et d'après Lord Knf,-
viN, le Soleil n'aurait pas, dans le passé, une durée d'existence attei-
gnant 5o millions d'années ('). Cette conclusion est-elle acceptable!*
La plupart des naturalistes l'ont rejetée absolument, au nom du trans-
formisme, prétendant que l'évolution des espèces a dû exiger des
centaines de millions d'années; il est vrai que cet argument a perdu
de sa valeur depuis la découverte, par M. De Vries, des phénomènes
de mutation. Mais d'autres arguments, moins sujets à de semblables
objections, sont tirés des faits géologiques. L'épaisseur des couches
déposées depuis que la vie existe à la surface de la Terre (et il est
bien difficile d'admettre que la vie ait pu exister sans Soleil) exige,
parait-il, beaucoup plus de 5o millions d'années. L'examen des chaînes
de montagnes des temps géologiques enlièrement détruites par l'éro-
sion conduit à la même conclusion : on a calculé que, pour raser
complètement les Alpes, l'érosion aurait besoin de 27 millions d'an-
nées. Or, depuis les temps dévoniens où la vie était déjà ancienne,
nous voyons surgir une chaîne pareille aux Alpes, la chaîne calédo-
nienne, puis les phénomènes d'érosion la détruisent ; ensuite la chaîne
hercynienne s'élève à son tour et est rasée par l'érosion, puis vient le
calme des temps secondaires, et enfin la période tertiaire où se sont
formées les Alpes, Les géologues sont donc très à l'étroit avec 5o millions
d'années, et ils réclament un temps beaucoup plus long. La difficulté
est d'autant plus fâcheuse que Lord Kelvin a calculé aussi combien
de temps il a fallu à la Terre elle-même pour se refroidir, et qu'il est
arrivé à un chiffre du même ordre que pour l'âge du Soleil.

II. — Chaleur terrestre.

155. Exposons les calculs de Lord Kelvin sur le refroidissement
de la Terre. Reprenant une hypothèse faite antérieurement par

(») Nous verrons un peu plus loin (n° 163) que la découverte des phénomènes
radioactifs fait entrevoir la possibilité d'augmenter de beaucoup cette durée.

PoKCAnÉ i4

3IO HYPOTHKSES COSMOGOMQLES

Poisson, Lord Kelvin suppose que la Teiie aurait autiefuis parcouru
des espaces chauds où elle aurait pris, dans toute sa niasse, une cer-
taine température uniforme, et que, étant arrivée ensuite dans des
espaces plus froids, elle aurait commencé à se refroidir. C'est ce
refroidissement que nous voulons étudier.

Prenons donc une sphère homogène dont la température initiale, à
l'époque / = o, est uniforme et partout égale à V, et plaçons-la dans
un milieu indéfini à température zéro ('). La sphère va se refroidir
par sa surface, celle-ci prenant par hypothèse la même température
zéro que le milieu avec lequel elle est en contact.

Comme le rayon de la sphère terrestre est très grand, nous le sup-
poserons infini. Le problème se ramènera ainsi à celui qu'on désigne
souvent, d'après Fourier, sous le nom de problème du mur indéfini
se refroidissant par contact : deux milieux I et II sont séparés par un
plan ; le milieu I sera la Terre, le milieu II l'espace céleste et le plan
sera le plan du sol. Prenons pour axe des x une perpendiculaire à ce
plan séparateur, dirigée vers l'intérieur du milieu I, ce plan sépa-
rateur ayant alors lui-même pour équation

Il s'agit de déterminer la température i' du milieu I (fonction de x
et de / définie pour a; > o et / > o), sachant que pour / = o cette
température est uniforme et égale à Y, et que pour / > o la tempéra-
ture superficielle (pour x = o) est v = o.

La fonction v n'est définie que pour £C >■ o, mais nous pourrons
compléter sa définition pour x <C o, en convenant de prendre pour v
une fonction impaire de x

V ( — x) = — V {x) ;

alors la fonction v (si elle est continue) s'annulera bien pour x ^ o,
comme nous le voulons.

L'équation aux dérivées partielles à laquelle satisfait v est celle de

FOURIEK

dv , d^v

dt dx^

(') C'est-à-dire que nous prenons pour zéro des tempcralurcs la tempcialure du
milieii supposée uniforme et constante.

SLR L 01U(;i>E DE I. V CHALEUR SOLAIRE ET UE LA CMALELU TERRESTUi; 311

OÙ k est une constante positive (dépendant de la conductibilité du mur
et de sa chaleur spécifique).
Considérons la fonction

dv
ilx

Cette fonction satisfera évidemment à la même équation aux dérivées
partielles

. . du , d'U

^'^ 'dt=^',Lc^-

Comme, pour / = o, on a

t* = V pour a; >> o,
u = — \ pour X <Ci o;

la fonction u satisfera, pour / =o, aux conditions initiales suivantes :

« = o pour X >• o,

u = o pour a; <<; o,

u ^ ce pour a- = o.

Il faut donc trouver une fonction u, de x et de /, qui satisfasse à
l'équation (2) et qui, pour l tendant vers o, tende elle-même vers o
quel que soit x, sauf pour a; = o, valeur pour laquelle elle tend vers
l'infini. Il est facile de voir que la fonction

(3) « = 4 e~^^

satisfait à toutes ces conditions, A étant une constante.
On aura alors

X-

ndx = A - e ''^\\x

il

Pour déterminer la constante A, nous écrivons que, pour x = -\- '-^ ,
le refroidissement ne s'est pas encore fait sentir et que la température
est égale à V :

^-^r^'%>

212 HYI'OTIIliSES COSMOGO:«IQL'ES

l'intégrale définie du second membre, qui est bien connue, a pour
valeur

,f

d^ := M- ;

par conséquent la constante A a pour valeur

A=X.

La température v a donc pour expression

e ''Ux.

156. La quantité

dv

dx

représente l'inverse du degré fjéo thermique : le degré géothermique
est la quantité dont il faut s'enlbncer à l'intérieur du sol pour voir
croître la température de i°, La valeur de cette quantité pour x = o
est

'dv\ _ A
Jxl ^ /L
_ V

Or, pour X = o, c'est-à-dire à la surface du sol, nous connaissons le
degré géothermique : il est, en moyenne, égal à 35 mètres environ.
Nous connaissons aussi la valeur de k, qui dépend de la chaleur spé-
cifique et de la conductibilité thermique du sol. Mais nous ignorons
la valeur de V et celle de /.

La valeur que Lord Kelvin adopte pour k correspond à

k = ko,

si l'on prend pour unité de temps l'année et pour unité de longueur
le mètre. Il vient donc

'dv\ _ V
y.dxl^ V/ZioTrf

— _L y.

SLH l'oHIOINE de LA CIIAI.ELII SOLAIRE ET DE LA CHALEUR TERRESTRE 21 S

Faisant

/,/,.\ _ I
\dxL ~35

nous aurons

Y = ' ! s't soit -^ v'/.

00 ' lO *

La température uniforme A à laquelle on doit supposer que la Terre
a été initialement chauHée, est donc [)rùporlionnellc à la racine carrée
du temps / depuis lequel elle se relroidil. Si nous faisons

t =z loooo années,
nous aurons

^" = 3o"

chiffre évidemment trop faible. Si nous faisons

l z= locoooooo d'années,

nous aurons

V = 3ooo",

température supérieure à la température de fusion de presque tous les
corps. On peut penser que les parties profondes de la Terre n'ont pas
une température supérieure à celle-là. Dans cette hypothèse, la Terre
aurait donc commencé à se refroidir il y a cent millions d'années.

157. Examinons les objections qui pourraient être faites à la théorie
précédente. \ous avons (n" 155) remplacé la sphère terrestre par le
mur plan indéfini. Cette simplification est-elle légitime? La formule

(3) montre qu'à chaque époque l, le gradient ,- de la température est

proportionnel au facteur

_ ■'■ _ j^'L

(en adoptant pour /» la valeur correspondant à celle que lui attribue
Lord Kelvin). Faisons

t= lO»

soit I milliard d'années; à quelle profondeur x faudra-t-il s'enfoncer
pour que ce facteur devienne égal à e~" (c'est-à-dire pour que le gra-

2l4 HYPOTHÈSES COSMOGONIQI ES

dienl devienne pratiquement nul) ? Pour calculer cette profondeur il
faudra écrire

ce qui donne x- de l'ordre de lo'^ et a; de l'ordre de lo". Il fau-
dra donc descendre à i million de mètres, soit à looo kilomètres

ou à |T à peine du rayon terrestre. L'influence de la courbure n'est

donc pas très grande et l'assimilation de la sphère au mur plan est
assez légitime.

158. Mais d'autres objections auraient plus de portée. iNous avons
supposé que la sphère terrestre est partie d'une température uniforme
et que le refroidissement a commencé brusquement, la superficie pre-
nant immédiatement et conservant la température zéro du milieu froid
dans lequel la sphère arrivait. Actuellement, le refroidissement n'aurait
pas encore gagné les parties centrales de la Terre, qui auraient con-
servé leur température initiale.

On pourrait, au contraire, pour se rapprocher d'un autre problème
classique de la théorie analytique de la chaleur, supposer que la
sphère est partie d'une distribution initiale quelconque des tempéra-
tures, et qu'elle s'est trouvée plongée dans un milieu à température
zéro. On sait qu'alors la température v, à une époque quelconque /,
peut se représenter par une série de la forme

les a étant des constantes positives de plus en plus grandes; les U
étant des fonctions dépendant des coordonnées x, y, z du point envi-
sagé, mais ne dépendant pas du temps / ; les c étant des coellicients
constants dépendant de l'état initial. Les e\ponentielles décroissent
très rapidement quand / augmente, et, au bout d'un certain temps,
la seule exponentielle non tout à fait évanouie est la première, celle
qui correspond au plus petit des nombres 7.. Le premier terme

représente donc l'étal pénnUième de la sphère, état auquel elle arrive
assez vite et que nous pouvons par suite supposer atteint actuellement.

SUR l'0RIGI>E de la CUALEin SOLilWE ET DE LA CllALELU TERRESTRE 21

Dans le cas actuel, qui est celui de la sphère, ce i)remier terme

e-'''U,

se calcule facilement : la lonction U, ne dépend que de la distance r
au centre de la sphère. L'équation aux dérivées partielles de Foluier

^^ / A

^7 = ^^'

s'écrit alors, u ne dépendant que de /•,

dv . l'd-v 2 dv\

dt ~~ \d?'~^rdr)'

.Nous avons, pour cette équation, la solution suivante

,,, ,- — 7.1 sin /r

^ ^ /r

les constantes a et À étant liées par la relation

a = A),-.

Pour déterminer 1 nous écrirons, en admettant toujours que le refroi-
dissement se fait par contact, que la superficie de la sphère est à la
température zéro. Par suite, en appelant R le rayon de la sphère, on
doit avoir

sin XR = o.

Prenant donc

ÀR = -

nous obtiendrons la plus petite valeur de a

a = ^' S2 •

L'état pénultième de la sphère est alors donné par la formule (4).
Nous en déduisons, pour le gradient de la température à la surface
(pour 7' = R),

■ /dv\ T- — a( X COS ),R T- — aM

-[dr). = -^' ^R— = ^^ R'

2l6 IlYPOTHÈSliS COSMOGOî<IQUES

d'où
et

■^>-«©,.-

Remplaçant — (-.'^| par ^^^ (inverse du degré géothermique) et R

j^ar 6.10'' (rayon terrestre), il vient

,. ^ 6.10''

K> -35- > ^7•IO^

Quelle est la température au centre de la sphère terrestre ? Nous
obtiendrons cette température en faisant r = o dans la formule (4) :

Si, dans cette formule, nous faisions / = o, nous trouverions pour
la température initiale au centre

f = K > 17. 10^ ;

mais observons que la formule précédente n'est valable que pour
l'état pénultième et nullement pour les états voisins de l'état initial.
La rapidité de décroissement de la température avec le temps est
mesurée par le coefficient

a = h- nT, = AO

R2 — ^" (6. io«)2

environ ; l'exponentielle décroissante est donc

i

Ainsi, au bout de loo milliards d'années la température aura décru
dans le rapport de e à ( .

Nous nous trouvons donc dans des conditions très différentes de
celles 011 nous étions précédemment (n" 156). C'est que des hypo-
thèses différentes ont été faites : ici nous supposons que le refroidisse-
ment s'effectue depuis longtemps et que l'état pénultième, quasi-

Sun L OniGINE DE LA CIIAI.ELR SOLAIIIE KT HE LV ClIALELR TEKHESTHE Ul'

stationnai le, est atteint; là, au contniiie, nous supposions avec Lord
Kelvin, que la Terre était partie d'un état initial où la lompéralure
était uniforme, cl que le refroidissement n'a\alt pas encore eu le
temps de gagner le centre. L'une des deux hypothèses n'est pas plus
invraiseniblahle que l'autre.

159. — Jusqu'ici nous avons toujours admis que le refroidisse-
ment se faisait par contact, c'est-à-dire que la Terre arrivant dans un
milieu à température zéro, sa superlicle prenait immédiatement et
conservait la température zéro de ce milieu. Ce n'est pas ainsi que les
choses se passent et en réalité le refroidissement se fait plutôt [)ar
rayonnement : la surface de la Terre ne prend pas la température
zéro du milieu environnant, mais elle perd par unité de temps une
quantité de chaleur proportionnelle à l'excès v de la température de
sa superficie sur celle du milieu ambiant. Ce flux de chaleur perdue

étant lui-même proportionnel à la dérivée normale ,~ de la tempéra-
ture, la condition qui doit maintenant èlrc remplie à la surface est

dv ,
an

h étant une constante. Dans celle nouvelle hypothèse, la superficie
n'étant pas à la température zéro, mais à une température supérieure,
le refroidissement se fera plus lentement que dans l'ancienne hypo-
thèse.

160. Dans tous les cas, c'est par sa surface que la Terre se refroidit.
La croûte superficielle, l'écorce terrestre, se contracte et doit hlenlùl,
semble- t-il, devenir trop petite pour le noyau qu'elle enveloppe. Des
fentes devraient donc s'y produire, semblables à celles qui, d'après
MM. LoE\vY et PriSELx, existent à la surface de la Lune. Or. ce sont
au contraire des couches plissées que les géologues observent dans les
régions tourmentées. On est donc porté à croire que la croûte est
devenue trop large pour le noyau qu'elle recouvre, et que c'est le
noyau qui se contracte plutôt que l'écorce.

U ne faudrait pas dire : la croûte superficielle recevant de la cha-
leur du Soleil et le noyau n'en recevant pas, c'est le noyau qui doit
se refroidir e.l non la croûte superficielle. Ce raisonnement serait dé-
fectueux, car c'est toujours par la superficie que la chaleur s'échappe.

310 HYPOTIIliSES COSMOGOMQUES

et les couches internes n'auraient aucune raison de se refroidir si les
couches externes ne l'avaient pas fait avant elles.

161. M. RuDZKi a calculé (^) quelle est la quantité de chaleur per-
due par la Terre dans son refroidissement. Soient G le degré géo-
thermique (égal à 35 mètres ou 3 5oo centimètres) et k la conducti-
bilité des roches qui forment la surface de la Terre (on a /t = o, 00682
en unités G. G. S., d'après Lord Kelvin). Le flux de chaleur perdu

k
par seconde et par centimètre carré étant p , on a

k 0,00582 , .

7s = —or calones-"rammes,

G 6 000 °

soit une perte de 62 calories-grammes par centimètre carré et par an.
M. RuDZKi cherche aussi (-) à se rendre compte de combien le
rayon terrestre se raccourcit par suite de la contraction due au refroi-
dissement. Soient a le coefficient de dilatation linéaire de la Terre,
S^a son coefficient de dilatation cubique et T la température d'un
élément de volume d-. Dans le temps et, cet élément cl- voit son
volume varier de

o dT ., ,

ou -,, et ilz.
dt

Par conséquent la variation de volume âW de la Terre est

l'intégrale étant étendue à tout le volume de la Terre. La tempéra-
ture T satisfait à l'équation de Fouuier

dT „,

Si l'on admet que u. et a sont des constantes, il vient
cV = 3o/aa ffi AT(/t

= Solixa I I '-^^- <h;

(•) D"^ M. I^. RuDZKi : Physik der Erde (Tauchnilz, Leipzig, itjii), p. 118.
(-) RuDZRi : Loc. cit., p. 315-217.

Sun l'oiugine de i.a. chalelr soi.miu; et de l\ ciialelu teiuiestiu: 219

J'y

or j- esl (au signe près) l'inverse du degré géothermique ; donc

0 \ = — .irj ,xa I I -p = — •> '■■'' [J- « -p — .

R désignant le rayon terrcslrc.

Mais d'autre part, on a évidemment

On trouve donc, en égalant ces deux valeurs de â\,

SU 3 (la

'et ~ G'-

En reniplac.anl u. et a par les valeurs numériques qui conviennent
en mo\enne aux roches terrestres, on trouve

ÔR

-1^ ^ — 0,004 environ ;
tt

le rayon terrestre se raccourcirait donc de /i millièmes de cenlimètrc
par an.

Ce calcul suppose que ^a et a sont des constantes. Il n'en est certai-
nement pas ainsi dans la réalité, surtout pour a qui dépend de la
chaleur spécifique. Nous avons exposé plus haut comment le cocfll-
cient de dilatation et la chaleur spécifique doivent dépendre de la
pression qui est énorme dans les parties centrales.

Certains plis montagneux donnent une idée du rétrécissement de la
croûte terrestre et par suite de la diminution du rayon. Comparant
les résultats de ses calculs et les résultats donnés par l'observation
de ces plis, M. Rld/.ki croit pouvoir conclure que la Terre se refroi-
dirait depuis 3 milliards d'années.

162. D'autres méthodes ont été proposées pour évaluer l'âge de la
Terre.

a, La salure de la mer doit augmenter peu à peu, puisque l'eau
qui s'évapore à sa surface est pure, tandis que l'eau que lui apportent
les fleuves contient en solution des sels qui ont été dissous dans leur
trajet. Évaluant la quantité de sel dont la mer s'enrichit ainsi par an,
M. JoLY a calculé qu'elle a dû mettre 100 millions d'années à atteindre
son état de salure actuel.

IIIPOTHKSES COSMO(;OMQLES

b) Depuis répoque cambrienne il a pu se déposer 3oooo mètres de
sédiments; or, comme, d'après les géologues, la formation d'un mètre
de sédiment exige de 3 ooo à 20000 années, il se serait donc écoulé
de 90 millions à 600 millions d'années depuis l'époque cambrienne.

c) L'uranium dégage de l'hélium avec une rapidité connue. Mesu-
rant donc la quantité d'hélium contenue dans les roches uranifères,
on en a déduit que ces roches pouvaient avoir ^|00 millions d'années
d'existence.

d) Le radium émet constamment de la chaleur en se transformant
en émanation : d'après Curie, i gramme de radium émet 100 petites
calories par heure. IN 'est-il pas permis de voir là l'origine de ce (lux
de chaleur que révèle le degré géothermique? Les roches granitiques
renferment une fraction de radium qu'on a évaluée à 4- io~'^ de leur
masse totale. Si l'on admettait que toute la Terre possède autant de
radium, on aurait 7^ fois trop de chaleur pour réparer la perte de
chaleur due au refroidissement. C'est i)Ourquoi on a proposé, pour
rétablir l'équilibre, d'admettre que le radium n'existe que jusqu'à
une profondeur de 72 kilomètres.

Il est vrai que le radium ne dure pas très longtemps : en l'espace
de 1 200 à I 900 ans il est presque com[)lètement détruit. On a admis
alors que le radium n'est qu'un produit de transformation de l'ura-
nium qui, lui, ne se transforme que très lentement.

163. Les considérations précédentes ont été étendues au Soleil et
l'on a proposé d'admettre que l'énergie qu'il rayonne est d'origine
radioactive. On pourrait augmenter ainsi dans des proportions consi-
dérables la quantité d'énergie que le Soleil contient en réserve, et
prolonger de beaucoup sa durée, aussi bien dans le passé que dans
l'avenir. Malgré ce que cette théorie a d'hypothétique et de prématuré,
elle suffît à nous convaincre que les chiffres de Lord Kelvin et de
Helmholtz, qui refusent au Soleil un âge supérieur à 5o millions
d'années, ne doivent pas être acceptés sans les plus expresses ré-
serves. Un fLiit entièrement inconnu de IIelmuoltz suffît pour que son
raisonnement perde sa force probante ; il y a sans doute beaucoup
d'autres sources ou réservoirs d'énergie que nous ne pouvons pas plus
soupçonner que Helmholtz ne soupçonnait le radium.

SUR L ORIGINE DE L\ CHAIELII SOLAIRE ET DE LA CHALELIl TERRESTRE

III. — Équilibre adiabatique d'un gaz parfait ' .

164. >'ous avons posé 'n" 149 la question suivante : une masse
chaude qui rayonne tend à se contracter, la contraction tend à l'é-
cliauiïer ; la masse va-t-ellc linalemenl s'échauffer ou se refroidir en
perdant de la chaleur? Nous allons approfondir cette question en
supposant que la masse est Ibrmée par un <jaz parfait en équilibre
adiabalique : nous entendons par là un état tel que l'équilihre des
températures ne soit pas altéré par la circulation, sans gain ni perle
de chaleur, d'une ]iarlio de la matière dans un tuhe fermé sur lui-
même.

La masse gazeuse va prendre évidemment, sous l'action de sa
propre gravité, une forme spliérique formée de couches concentriques
homogènes. Soient r le rayon d'une couche spliérique d'épaisseur dr,
0 sa densité, M la masse gazeuse intérieure à la sphère de rayon r.
Nous aurons

(5) (/M = 4-r^sf/r.

Appelant /) la pression, l'équation de l'Hydrostatique donne

dp M

\ ) dr ' r-

D'ailleurs, puisqu'on suit la loi adiabatique, la pression \) est pro-
portionnelle à iï y ^= - désignant le rapport des deux chaleurs
spécifiques du gaz à pression constante et à volume constant) :

V = ^? y
d'où nous déduisons

(7' -'- = Y — .

P ?

Les trois équations 5), (G) et (-) forment un système de trois
équations différentielles du premier ordre, propres à déterminer M,

(<) J. HoMER La>-e : On ihe titeoretical température of the San (American Journal
of Science, juillet 1870, t. 5o, p. 57-7'j).

HYPOTHESES f:0SMO(;O>iIQUES

p el c en fonction der, moyennant les conditions suivantes servant de
conditions initiales :

et p = o.

pour ;

• = U

on devra avoir

M = U,

pour ;

■ = o

on devra avoir

U= o;

r

par

ixr,

M

pa r

M.

/'

par

IX- 'p.

p

par

ix-'^p.

R désigne le rayon de la sphère et M^ la masse totale.

L'intégration s'elïectuerait sans difficultés, mais nous n'en avons
pas besoin.

Demandons-nous ce qui se passera si la sphère se contracte, c'est-
à-dire si l'on fait varier R. Nous allons appliquer le principe de
similitude mécanique. Remarquons que si l'on remplace

(8)

les équations (5), (6) et (7) ne changent pas. C'est dire que, si le
rayon de la sphère varie, la pression varie comme l'inverse de la
quatrième puissance du rayon, et la densité comme l'inverse du
cube du rayon (cette variation de la densité était facile à prévoir
d'après le principe de conservation de la masse).

Mais comment variera la température T ') L'équation caracté-
ristique des gaz parfaits est (')

pv = RT.

Puisque, par la substitution (8). p, se trouve multiplié par fj.-^ et
V par p?, T se trouve multiplié par [J-^^. La température varie donc
en raison inverse du rayon : quand la sphère se contracte la tempé-
rature s'élève ; autrement dit, le coefficient de dilatation est négatif.

Si l'on avait effectué l'intégration, avec les données relatives au
Soleil, on aurait obtenu, en admettant que le Soleil est formé de gaz
hydrogène, supposé monoalomique aux hautes températures, les
résultais donnés par le Tableau suivant :

(') R désigne, dans cette équation, la constante des gaz parfaits

R = G — c;

la niûme lettre R désignait plus haut le rayon de notre sphère : aucune confusion
n'est à craindre.

SUR l'origine de l\ ciialecr sol.mre et de la chalelr terrestre 223

Distance au centre
en fraction du rayon

Dsnsité

Pression
en atmosphères

Températures
en degrés

O

0,5

0,9

3,5',

0.2

8.109

a.io'-*

0 017.10'-'

2^.10'''
2.10''

165. Etudions maintenant la chaleur spccijiquc de la masse
gazeuse. L'équation fondamentale de la Thermodynamique donne,
en appelant (/Q la quantité de chaleur que reçoit l'unité de masse,

(/O = rfU -^ pdv

r/U désignant l'augmentation d'énergie interne et pdvh travail externe
dû à l'accroissement do du volume spécifique.
Pour vm gaz parfait, on a

di: = cdT
et d'ailleurs

pv = RT = {C — c) T.

Dans le cas d'équilibre adiabatique, T varie en raison inverse du

I

rayon, c'est-à-dire qu'il est proportionnel à i' ^ : on a donc

do _ ., dT .

.) -rrC >

V i

par suite

Il vient donc

pdv r= py — = — 3 : C — c) dT.

dQ=:c<n — Z{C — c)dT.

Cela revient à dire que la chaleur spécifique de la masse gazeuze,
dans les conditions d'équilibre adiabatique que nous supposons, est

c — 3(C — c).

G

Son signe dépend de la valeur du rapport -•

224 IIYPOTHIiSES COSMOGONIQLES

i" Pour les gaz monoatomiques (comme sont l'hélium, la vapeur
de mercure, et comme sont probablement tous les gaz aux hautes
températures du Soleil), on a

C_5.
c ~3'

ce qui donne, comme chaleur spécifique de la masse,

quantité négative. Donc, quand le gaz rayonnera, c'est-à-dire perdra
de la chaleur, sa température augmentera. Comme le coefficient de
dilatation est aussi négatif, le volume du gaz diminuera en même
temps.

2° Pour un gaz diatomique, on a

c 5'
ce qui donne à la chaleur spécifique la valeur

-4'-K?-')]=-5-

quantité encore négative. Aous aurons donc les mûmes conclusions.
3° Pour un gaz triatomique ou polyatomique on trouverait une
chaleur spécifique positive : la masse perdant de la chaleur, sa tem-
pérature diminuerait ; mais, le coefficient de dilatation étant négatif,
son volume augmenterait en même temps.

166. Telles sont les conclusions, d'allure paradoxale à première
vue, auxquelles nous conduit la théorie des gaz parfaits. Il ne faut pas
se hâter d'en déduire que ces conclusions sont applicables au Soleil,
parce que celui-ci est sans doute fort loin de l'état de gaz parfait.

167. Il est intéressant de retrouver les mêmes résultats en s'ap-
puyant sur la théorie cinétique des gaz. Rappelons-nous que le théo-
rème du viriel (n" 74) nous a fourni l'équation (')

(9) ^T -t- V = G.

(') Il est bien entendu qu'il ne s'agit ici que de valeurs moyennes. Aussi nous
dispensons-nous de surmonter d'un trait les lettres T et V.

SLR LOUIGIXE Di: L.V CHALEUH SOLVIUE ET DE LA ClIALELll TEUItESlME 22â

OÙ T représente la deiiii-lorce \ivc de Iraiislaliori des molécules et V
leur viriel. Dans le cas d'un gaz renfermé dans un récipient, le viriel
a pour valeur

\- = — 3y>i' ;

mais lorsqu'il s'agit, comme ici, d'une masse gazeuse libre dont le»
molécules sont soumises à l'altraclion ne^vloniennc, le viriel est é'^al
à l'énergie potentielle (n" 76) ; on a donc

Y '\^ mm'

r désignant la distance qui sépare les deux molécules quelconques m
et m' .

Supposons que la masse gazeuse reçoive une quantité de ciialeur
</Q. A ce gain de chaleur, correspond un accroissement de la demi-
force vive de translation T et un accroissement de l'énergie poten-
tielle. L'énergie potentielle étant égale au viriel V, nous écrivons

<io) d() = dT^d\.

Cette équation n'est exacte que pour un gaz monoatomique, car
pour un gaz polyatomique la l'orcc vive totale se compose, non seu-
lement de la force vive 2T de translation des molécules, mais encore
de la force vive due aux mouvements des atomes d'une même
molécule les uns autour des autres. Dans la théorie cinétique des
gaz, ces deux sortes de forces vives sont proportionnelles l'une à
l'autre, et la demi force vive totale peut s'écrire

'A\

tx désignant un coefficient égal à i pour les gaz mouoatomiques,
supérieur à 1 pour les gaz polyatomiques.

L'équation (10) doit donc être remplacée par la suivante :

dQ = [jdT 4- d\ ;

et comme l'équation (9) du viriel donne

2dT -+- dY := o,
nous aurons

dQ = {ix—2)dT.

Poi.NOARÉ. l5

<j20 ini'OTllÈSES COSMOGO:<IQL'ES

Comme T est proportionnel à la température absolue, la chaleur
spécifique de la masse gazeuse est proportionnelle à

IX — 2.

1" Pour un gaz monoatomique, on a

y.=z l, JJL 2 = I .

la chaleur spécifique est donc négative.
2" Pour un gaz diatomique, on a

5 _ 1

la chaleur spécifique est donc encore négative.

3° Pour un gaz triatomique ou polyatomique, on a

[X > 2,

la chaleur spécifique est donc positive.

Comparons cette chaleur spécifique de l'ensemble de la masse
gazeuse à la chaleur spécifique du gaz à vola/ne constant, celle qu'on
désigne par c. S'il s'était agi de réchauffement d'un gaz à volume
constant, on aurait eu simplement

dQ = iidT,

c'est-à-dire que le coefficient 7, est proportionnel à la chaleur spéci-
fique à volume constant c.

Par suite, la chaleur spécifique de la masse gazeuse libre, com-
parée à c, a pour valeur

;jL— 2

c.

Pour les gaz monoalomiques, u. = i, la chaleur spécifique est — c.

5 r • ^ c

Pour les gaz diatomiques, u. = r,, la chaleur spécifique est — , .

Nous retrouvons donc, par la théorie cinétique des gaz, exactement
les mêmes résultats que par la théorie des gaz parfaits.

Etudions de même le coefficient de dilatation de la masse gazeuse.
Si nous changeons /• en )./", le viriel

^. ^^ mm'

SI;r LOIUUINE DE L\ ClIALECn SOLVIUE ET DE LA CHALEUR TERRESTRE 227

se trouve multiplié par ^- ; et l'équation (9) montre que T est aussi

multiplié par . La température varie donc en raison inverse des

dimensions linéaires de la masse, ce qui prouve que le coefficient de
dilatation est négatif.

168. Ainsi, une masse ga/euse (monoatomique ou diatomique)
enlièiement libre, s'échauffera en se contraclanl, h mesure qu'elle
perdra de la chaleur par rayonnement : ses molécules, en perdant de
l'énergie, verront leur force vive de translation augmenter, (Jn pgut
comparer ce phénomène à celui qui se produit lorsqu'une planète
ou une comète se meut dans un milieu résistant : la [)erle d'énergie
due à la résistance se traduit (voir n" 88) par une diminution du
grand axe de lorbitc (c'est-à-dire de l'énergie [)0tentielle), en même
temps qu'augmente la vitesse linéaire (c'est-à-dire l'énergie cinétique
de translation),

169. Le même phénomène continuera jusqu'au moment où, par
suite de la contraction et du refroidissement de la masse gazeuse, les
molécules seront devenues polyatomiques. D'ailleurs, il n'est
nullement certain que le raisonnement soit applicable aux gaz mono-
atomiques, lorsqu'on suppose que ceux-ci subissent les pressions
énormes qui régnent à l'intérieur du Soleil : car alors il faudrait, au
viriel V, ajouter des termes compliqués provenant des actions inler-
alomiques ; le gaz s'éloignerait de l'état parfait, il se rapprocherait
plutôt d'un liquide, et la chaleur spécifique deviendrait sans doute
positive.

CHAPITRE IX.

THÉORIE DE Sir NORMAN LOCKYER.

170. Jusqu'ici, noire horizon n'a guère dépassé le système
solaire. Mais la spcclroscopie, en faisant naître la Chimie slellau-e,
a révélé des étoiles de types spectraux très différents, et l'on a été
amené à étudier l'évolution de ces astres. Les théories mécaniques ou
thermodynamiques (ont place ici à des théories chimiques.

La théorie de Sir Nouman Lockyer sur la genèse des grandes étoiles
repose sur l'étude simultanée de la composition chimique de ces astres
et des différences de température qu'ils présentent entre eux{')-

On sait que le spectre d'un corps incandescent est d'autant plus
étendu vers le violet que ce corps est plus chaud : c'est ainsi qu'une
barre de fer passe successivement du rouge sombre au blanc ébouis-
sant, à mesure qu'on la chaulTe à une température de plus en plus
élevée. On sait aussi que le maximum d'éclat du spectre se déplace
vers le violet, à mesure que la température de la source lumineuse
augmente (loi de AViex) ; on conçoit donc que l'étude du spectre des
étoiles puisse fournir des indications sur la température de ces astres.

Au point de vue des raies, Sir N. Lockveh distingue parmi les
spectres des étoiles trois types différents :

Le spectre de la flamme, qui est un spectre de bandes ;

Le spectre de l'arc, formé par des raies fines ;

Le spectre de l'étincelle, formé par de nouvelles raies et par cer-
taines raies de l'arc renforcées.

L'origine de cette distinction est la suivante : Si l'on place un corps
successivement dans une flamme et dans l'arc électrique qui est plus

, . , Voir LocKYEu iSir NouM.vN) : U Évolnùon inorganique (Bibliothèque scienti-
fique internationale, Paris, Alcan igo.',). Further Researches on the ternpe rature clas-
sijicalion o/.S/«/s(Proceeclings of the Roval Society of London, iyo4, vol. L.WIII,
p. 227-238).

aSo HYPOTHÈSES cosiiogomques

chaud, on voit le spectre du corps s'enrichir en raies ; si Ton f;iit
écUiler l'étincelle entre deux fragments du corps, la température de
l'clincellc étant encore supérieure à celle de l'arc, on voit de nouvelles
raies apparaître, pendant que certaines des raies de l'arc se renforcent
et que d'autres disjjaraissent.

Du fait qu'un même corps (un métal, par exemple) peut, suivant
la température à laquelle il est porté, émettre soit les raies de l'arc,
soit les raies renforcées ou celles de l'étincelle. Sir N. Locryer croit
pouvoir conclure que le corps s'est transformé ou dissocié, aux hautes
températures, en corps plus simples qui n'existent pas à l'état lihre aux
températures usuelles (^). Il nomme protométal la forme atomique du
corps qui correspond aux raies de haute température (raies renforcées
et raies de l'étincelle). Les protométaux seraient en quelque sorte des
métaux en voie de formation, ceux-ci ne prenant naissance que lorsque
la température est sufQsammcnt ahaissée.

171, Sir >. LocKVEu cherche à suivre les transformations gra-
duelles de la matière cosmique, à partir des météorites. Il pense qu'il
faut voir dans l'état plus ou moins avancé de l'évolution des astres
l'origine des différences que présentent leurs spectres.

Les néhulcuses nous offrent, selon Sir N. Logkver, le premier stade de
l'évolution cosmique. Il les considère comme formées par des essaims
de météorites dont les chocs mutuels ont pour effet une condensation
et une création de chaleur, produisant le dégagement des gaz inclus
dans les météorites qui se heurtent : les gaz qui se dégagent et se
répandent le plus facilement étant les plus légers; on observera sur-
tout les raies brillantes de l'hydrogène et de l'hélium.

La concentration se poursuivant, la nébuleuse se transforme en une
étoile qui s'échauffe de plus en plus : les météorites centrales non va-
porisées donnent de la lumière continue ; celle-ci traverse l'atmos-
phère qui contient une ftuhle proportion de vapeurs métalliques : les
raies métalliques commencent donc à apparaître sous forme de raies
sombres.

Bientôt la température atteint son maximum : les raies de haute

{') 11 pcul s'agir, suivant les cas, soit d'une simple transformation inok'culaire
comme celle de l'Indrogèno, habituellemenl diatomiqiie, qui dcviciil monoatomique
aux hautes températures; soit d'une véritable dissociation de l'élément, comme
riiélium qui se séparerait réellement en deux constituants, l'hélium cl l'actinium.

TIltOniE DE SIR NORMAN LOCKÏER

33 I

température (prolomclalliqiics) apparaissent alors dans le spectre et
remportent sur les autres.

Une fois toutes les météorites vaporisées, le bombardement cesse et
un calme relatif lui succède, l'astre va commencer à se refroidir en
même temps que vont disparaître, dans l'ordre inverse de leur appa-
rition, les raies de haute température.

Deux étoiles qui paraissent à la même température peuvent donc
être à des stades ti es dilTérents de leur évolution, "suivant que leur
température croît ou décroît.

172. Sir N. Lockveu a, d'après les idées que nous venons d'expo-
ser, classé les étoiles en un certain nombre de groupes. A chacun de
ces groupes, il donne le nom de l'étoile qui lui sert de t\pe, ou celui

Argonien

Cnucien

Alnitamien

Achernien

Taurien

N

\ Algolien

Rigelien /

\ Markabien

Cycnien /

\

— /

\ Sinien

Polarien /

\ Procyonien

Aldebarien /

\ A rcturien

Antarien /

\ Piscien

Jh- 38.

de la constellation qui renferme cette étoile. Il place ces groupes sur
une courbe au sommet de laquelle se trouvent les astres les plus
chauds (fifj. 38).

Les groupes de gauche correspondent à des étoiles dont la tempé-
rature va en s'élevant ; ceux de droite à des étoiles dont dont la tem-
pérature va en s 'abaissant.

Au sommet de la courbe, se trouve le type argonien dont le spectre

aSa HYrOTHÈSES COSMOGOMQUES

est caractérisé par les raies du protoliydrogcne{^). Un peu au-dessous
sont les types crucien, taurien, algolien, ..., où apparaissent d'abord
l'hydrogène et l'hélium (étoiles gazeuses) puis l'oxygène et l'azote.
Plus bas (types rigelien, rnarkabien), le spectre présente les raies des

protoniétaux (protocalcium, protomagnésium, ). Plus bas encore,

les raies métalliques apparaissent de plus en plus (types cycnien, ...,
arcturien) au détriment des raies gazeuses : c'est dans le type arctu-
rien que Sir N. Lockyeu place notre Soleil dont le spectre ne présente
plus les raies de l'oxygène ni de l'azote. Enfin, tout au bas de réchellc
des températures (types antarien et piscien), on trouve les étoiles à
spectre de bandes. Si l'on descendait encore, on trouverait, à gauche
les nébuleuses, à droite les étoiles éteintes.

Comment dislingue-t-on, par le spectre d'une étoile, si celle-ci doit
être rangée sur la branche ascendante ou sur la branche descendante
de la courbe des températures ? Il y a sans doute là une certaine part
d'arbitraire, puisque, sur la figure 38, deux groupes situés à droite et
à gauche sur une même ligne horizontale présentent des spectres
assez semblables. Sir N. Lockyer pense néanmoins que certaines raies
accessoires peuvent fournir des renseignements à ce sujet : celles des
métaux à poids atomiques olus faibles se montreraient de préférence
dans les étoiles dont la température s'élève ; celles des métaux à poids
atomiques plus forts, dans les étoiles dont la tenqiérature s'abaisse.

173. La question de la température des étoiles a été reprise récem-
ment à l'Observatoire de Paris par M. Noudm vx> (-). Il observa le
maximum de radiation dans le spectre en admettant, à titre d'approxi-
mation, que la loi de radiation est celle des corps noirs. Les chiffres
qu'il obtient nous renseignent tout au moins sur l'ordre de grandeur
des températures stellaires, et surtout sur le sens dans lequel varie la
température d'une étoile à l'autre. ^ oici les résultats auxquels il est
parvenu :

(i| Les raies de l'hydrogène forment une série satisfaisant à vine formule simple
(formule de B.vlmeh) où figure un entier arbitraire n ; si dans cette formule on

remplace n par '" on obtient une seconde série de raies, caractéristiques du

protohydrogène.

(-) Cn. NoRDMANN : Sur les alinosplières absorbantes el les celais inlrinsèques de
quelques étoiles (Comptes rendus de l'Académie des Sciences, \fy mars 1910).

Tlli:OHIE DE Slll N0U\1\N l.iil kVEU

233

Tvpe antaricn 38-0°

Soleil 5 300°

Type aldobarien 4 260°

Type polarien ^ j5o à 8 200"

Type procyonieii - sôo"

Type sirien i2r>ooà i4r>oo'

l'ypo algolien i3 3ooà i8 5oo°

Type rriicien i5 300°

Type taiirieii > '10000°

On voit que la classilicalion des températures de Sir N. Lokveii
n'est pas en complet accord avec les chilTres de M. ?S()ru.ma>n, quoi
qu'en gros il v ait une certaine concordance.

174. Sir N. LocKïEn a aussi étudié la distribution des étoiles des
dilTérenls types dans le ciel. 11 remarque que les étoiles gazeuses sont
plus condensées vers le plan de la Voie lactée que vers les pôles de
ce [)lan ; ces étoiles gazeuses ont, en moyenne, un mouvement [)roprc
plus petit que les étoiles métalliques : faut-il en conclure que les
étoiles mélalliqucs sonl moins éloignées de nous que les étoiles
gazeuses ') Remarquons plutôt que ce résultat n"a rien de surprenant,
car les étoiles gazeuses étant plus brillantes que les autres sont vues
de plus loin : à égalité de grandeur elles doivent donc, en moyenne,
être plus éloignées et par suite olTrir un moindre mou\ement propre.
On peut tenter d'expliquer d'une façon analogue l'accumulation des
étoiles gazeuses dans le plan de la ^ oie lactée. Si la ^ oie lactée a la
forme d'im disque très aplati, les étoiles tendront à se concentrer
dans le plan de ce disque et cela d'aulanl pins «jumelles seront plus cloi-
fjnées ; les étoiles gazeuses, plus éloignées en moyenne, doivent donc
présenter une plus grande tendance à la concentration. On peut dire
aussi que, si l'on rencontre plus d'étoiles chaudes dans le plan galac-
tique que dans les autres parties du Ciel, c'est que c'est dans ce plan
que les chances de collisions sont les plus nombreuses. C'est pour
cette même raison que les Novae apparaissent de préférence dans la
Voie lactée.

CHAPITRE X.

THÉORIE DE M. SCHUSTER.

175. M. Sciu STEH (') apporte plusieurs modifications à la théorie
de Sir Normal Lockyeu sur l'évolution des étoiles. Il se demande
pourquoi les étoiles dites ga/.euses sont plus chaudes que les autres :
ont-elles une atmosphère d'hydrof^ènc parce qu'elles sont plus
chaudes; sont-elles au contraire plus chaudes parce qu'elles ont une
atmosphère d'hydrogène ? Il semhle qu'on puisse supposer que l'at-
mosphère d'hydrogène ahsorbe et arrête les radiations infrarouges,
c'est-à-dire les radiations calorifiques. Une étoile à atmosphère d'hy-
drogène, dans ces conditions, perdrait moins de chaleur et par suite
resterait plus chaude. L'atmosphère de l'étoile jouerait ainsi, en quel-
que sorte, le rôle d'une serre chaude, laissant passer les rayons lumi-
neux, mais arrêtant la chaleur obscure.

Pour \l. ScHLSTEu, les étoiles gazeuses sont, non seulement plus
chaudes, mais aussi plus jeunes que les autres. Or, nous avons vu
(Ch. ^ III, Section III que, pour une masse gazeuse en équilibre adia-
batique rayonnant de la chaleur, la température doit aller en croissant
avec le temps, l'ait qui tendrait plutôt à prouver que les étoiles chaudes
sont les plus anciennes. D'après M. Schuster, ce n'est là qu'une con-
tradiction apparente :1a température observée est celle delà photo-
sphère de l'étoile et non celle de son noyau ; les étoiles gazeuses au-
raient une photosphère plus chaude, mais leurs parties centrales
seraient à une température moins élevée.

176. D'où provient maintenant la dilTérence entre les spectres des
étoiles gazeuses (étoiles à hydrogène et les spectres des étoiles moins
chaudes étoiles à raies métalliques . La solution la plus simple est

(') A. SciicsTER : Tlic Evolution of Solar Stars (Aslroiiliysical Journal, ii|o3,YoI.
XVII, p. 1 65-200).

236 HYPOTHESES COSMOGONIQUES

évidemment d'admeltre que les premières sont principalement cons-
tituées par deriiydrogènc et les secondes par des vapeurs métalliques.
Nous avons vu que tel n'est pas l'avis de Sir N. Lockyeii : celui-ci,
invoquant sa théorie de la dissociation des éléments, admet qu'il n'y a
pas de diITérence essentielle de composition chimique entre les astres,
et que toutes les étoiles, dans leur évolution, sont destinées à parcourir
les mômes stades.

M. ScHusTER, au contraire, ne pense pas que les éléments chimiques
soient dissociés. Il suppose, il est vrai, que les dilTérentes étoiles ont
môme composition chimique moyenne. S'il n'y a pas de courants de
convection, l'hydrogène, plus léger, apparaîtra à la surface (étoiles
gazeuses); si, au contraire, des courants de convection produisent un
brassage continuel, les vapeurs métalliques seront amenées dans les
régions superficielles (étoiles métalliques).

177. Voici donc comment M. ScnusiER se représente l'histoire des
grandes étoiles. La matière serait à l'origine répandue dans tout l'es-
pace. Les chocs de ses diverses parties engendreraient de la chaleur en
même temps qu'ils donneraient naissance à certains centres de con-
densation. L'attraction de ces centres serait au début insuHisanle pour
maintenir les éléments légers tels que l'hydrogène : en clîet, dans la
théorie cinétique, les molécules gazeuses ont des vitesses moyennes
d'autant plus grandes que le gaz est plus léger; les molécules d'hydro-
gène et d'hélium s'échappent donc, ou plutôt ne sont pas retenues par
les centres d'attraction, tandis que les molécules de vapeurs métalliques,
plus lourdes, sont captées : nous avons là l'étoile métallique de la
branche ascendante des températures. Le centre d'attraction augmente
peu à peu, et l'étoile se nourrit par bombardement ; sa masse de-
vient bientôt assez considéral)le pour retenir d'abord l'hélium puis
l'hydrogène : nous sommes au sommet de la courbe. La condensation
augmentant encore, les gaz légers finissent par être absorbés par la
masse centrale (comme l'hydrogène est absorbé par une masse de
palladium) : nous arrivons à l'étoile métallique de la branche des-
cendante.

Les spectres d'Arcturus et du Soleil (que Sir N. LoCKVEn plaçait
dans le même groupe) difTèrent en ce qu'Arclurus ne présente pas les
raies de l'hydrogène. M. Schuster suppose que cette étoile ayant une
masse plus considérable que le Soleil, son noyau central aura plus
vite absorbé l'hydrogène, qui aura ainsi abandonné son atmosphère.

Tlll^OUIE DE M. SCIILSTEU 287

Dans les étoiles doubles, la composante la plus brillante ((jui est
sans doute aussi la plus grosse) est souvent du type Soleil, alors que
la plus faible est blanche et du type gazeux. La dilVércnce d'éclat
pourrait, d'après M. Sciilstek, provenir de ce que la grande compo-
sante a absorbé l'hydrogène plus vile que l'autre.

CHAPITRE XL

THÉORIE DE M. ARRHENIUS

178. Dans la théorie Je M. Aiuuiemls. la pression de radiation
jouant un rùlc très important, il est nécessaire de commencer par
définir cette pression.

Dans une de ses théories de l'électricité, Maxwlm. (-), pour
expliquer les attractions électrostatiques, fait intervenir l'élasticité
du milieu fluide répandu entre les conducteurs. Il admet que, dans
un champ électrique, il existe des pressions et des tensions : en cha-
que point du milieu, un élément plan normal à la Vv^ne de force
subit une tension, un élément plan contenant la ligne de force
subit une compression ; ces tensions et ces pressions sont, d'après
Maxavell, proportionnelles au carre de la force électrostatique.

De même, pour expliquer les actions magnétostatiques, Maxwell
admet qu'un champ magnétique donne lieu à des pressions et des
tensions du milieu, en tout comparables à celles qui sont produites
par un champ électrique.

Si le milieu est à la fois le siège d'un champ électrique et d'un
champ magnétique, les deux sortes de pressions et Je tensions existent
simultanément et se superposent.

La lumière, d'après Maxwell, est un phénomène électromagné-
tique périodique. Considérons de la lumière rectilignement polarisée
se propageant par ondes planes : dans le plan d'une onde, nous aurons
une force électrique alternative parallèle à la « direcliun de Fres-
NEL n (3) et une force magnétique alternative perpendiculaire à cette

(') SvA>'TE Arrhemls : U Ëvolulioii des Mondes, traduction française par
T. Setrig (Paris, Béranger, ujio .

(') Voir H. PoiNC-VRÉ : Eleclricilc et Optique, 2' édit. I*aris, Gaulhier-Villars,
igoi) i" partie, Ch. IV et Cti. XI.

(3) La direction de Fresnel est perpendiculaire au plan de polarisation de la
lumière : c'est parallèlement à cette direction que s'effectuent les vibrations dans
la théorie de l'éther lumineux élastique de Fresnel.

2^0 HYPOTHÈSES COS.MOGOMQUES

direclion. Considérons alors un élément plan parallèle à l'onde : cet
élément est à la lois parallèle à la force magnétique et à la force élec-
trique, il subit donc une pression provenant de chacun de ces deux
champs; ces deux pressions s'ajoutent. Considérons, au contraire, un
élément plan normal à l'onde et contenant par exemple la direction
de Fresnel : cet élément, étant parallèle à la force électrique, subit une
pression, mais, étant perpendiculaire à la force magnétique, il subit une
tension. Or, il se trouve que cette tension d'origine magnétique, détruit
exactement la pression d'origine électrique ; donc cet élément ne subit
aucun effort. On reconnaît qu'il en est de même de tout élément
plan normal à Tonde. Mais pour tout élément plan non normal à
l'onde, il n'y a pas compensation : chaque élément plan non normal
à l'onde subit une pression d'île pression de radiation (').

179. Le principe de l'égalité de l'action et de la réaction nous
apprend que le centre de gravité d'un système de corps soustrait à
toute action extérieure décrit une ligne droite d'un mouvement
uniforme. A cause de la pression de radiation, ce principe n'est plus
vrai lorsque les corps envisagés reçoivent ou émettent de la lumière.
Il faut alors, pour obtenir la quantité totale de mouvement, celle qui
demeure constante, ajouter, à la quantité de mouvement réelle des
corps matériels, la quantité de mouvement d'un fluide fictif, la
lumière.

Considérons un train d'ondes planes TT' qui se propagent (/«^. 89) :
dans l'espace occupé à chaque instant par ce train d'ondes, est loca-
lisée une certaine énergie par unité de volume. Assimilons le train
d'ondes à un fluide fictif se déplaçant avec la vitesse de la lumière,
et ayant une densité proportionnelle à l'énergie par unité de volume.
Supposons que notre train d'ondes vienne frapper normalement une
plaque plane P qui lui est parallèle. Admettons d'abord que cette
plaque P soit parfaitement absorbante. Avant le choc, le fluide fictif
auquel nous assimilons le train d'ondes TT' possède une certaine
quantité de mouvement M. Après le choc tout se passe comme si le
fluide fictif avait disparu : la plaque P aura acquis une quantité de
mouvement égale à M. En un mot, au point de vue des quantités de

(') Au point de vue de l'ordre de grandeur de celte pression, disons que, pour un
mètre carré exposé normalement à la lumière solaire, elle est d'environ o^^jô si
la surface est absorbante et de i^t'^a si elle est parfaitement réfléchissante.

TIILOIUE DE M. VlUIllEMtS

a^i

mouvement, tout se passe comme si la théorie de l'émission de la
lumière était vraie.

Si lu plaque P avait été supposée parfaitement réfléchissante, le
train d'ondes ÏT' (ou plutôt son lluide lictif représentatif) aurait eu.

J'"J- 3y.

après le choc, la quantité de mouvement — M : conséquemment, la
plaque P aurait pris une quantité de mouvement 2M.

Les corps qui reçoivent de la lumière sont donc comme pousses par
elle. Pareillement, les corps qui émettent delà lumière reculent comme
un canon.

180. L'existence de la pression de radiation a été rattachée par
Bautoli à la loi de Stefan, au moyen de considérations thermody-
namiques et indépendamment de toute hypothèse sur la nature élec-
tromagnétique de la lumière.

Considérons un corps de pompe fermé par un piston mobile sans
frottement. L'appareil est vide et maintenu à une température T par
une source extérieure. L'appaieil étant entièrement clos, le rayonne-
ment en équilibre à son intérieur est, comme on sait, celui du corps
noir idéal (d'ailleurs, rien n'empêcherait de supposer que toutes les
parois sont parfaitement noires). Nous allons prouver qu'il ne peut y
avoir équilibre que si le piston supporte une certaine pression p.

D'aprèsla loi de Stefan, l'énergie rayonnée dans tous les sens par les
parois du corps de pompe et du piston est proportionnelle à T' ; l'éner-
gie absorbée par les parois, égale à l'énergie émise, est aussi propor-
tionnelle à T^. Il en résulte que l'énergie interne totale U à l'intérieur
est aussi proportionnelle à T* ; elle est, d'ailleurs, proportionnelle au

PoiNC/kRF.

2^2 HYPOTHÈSES (JOSMOGOMnUES

volume V du corps de pompe ; on a donc

U = Â Py.

A étant un coeflicient constant.

Supposons que le piston se soulève, accroissant ainsi le volume de
dv : en même temps, la source extérieure cède au système une quan-
tité de chaleur dQ, et l'équation fondamentale de la Thermodyna-
mique (principe d'équivalence) donne

(/Q = dU 4- pdv

= 4 AT3 vdT -+- AT'^ dv + pdv.

Puisque, par hypothèse, le système était primitivement en équilibre,
la modification peut être supposée réversible, et par suite

ï

est une différentielle exacte (principe de Carnot) : ce que nous
écrivons

4 AT^rflT -i- ( AT^^ ^ F^\ dv = f/S.
La condition d'intégrabilité du premier membre donne

d'oij

-;;,(,!:) = ATS

équation qui prouve déjà quey> ne peut pas être nul.
Intégrant, il vient

Il est presque évident que p ne dépend pas de v ; nous poserons donc

Ci (y) = o.

Par suite

AT*
p = -3-,

TItlîOlUE DE 51. VUIUIEMUS 2^3

d'où

Spv = AT* y == U,

U

P = or-

La pression de ladialion à rintérleiir du cylindre est ])ropoilion-
nclle à _ , c'est-à-dire à l'énergie i)ar unité de volume, qu'on peut

appeler densité de l'énergie de radiation.

Le cas que nous venons de traiter n'est pas absolument comparable
à celui que nous étudiions au numéro précédent, oîi nous considé-
rions un train d'ondes planes se [)ropag'eant dans une direction fixe et
venant choquer normalement un mur ; ici, à l'intérieurde noire corps
de pompe, nous avons des ondes de toutes directions. Or, la pression
de radiation est assimilable au choc produit par un fluide ficlil, et tout
se passe, avons-nous dit, comme si la théorie de l'émission était vraie.
Alors dans le corps de pompe les projectiles lumineux (ou calorifiques)
se croisent dans toutes les directions, ils sont comparables aux molé-
cules gazeuses dans le théorie cinétique des gaz, et on peut leur appli-
(|uer le théorème du viriel qui conduit à l'équation (n° 75)

(i) Spv = 2Ï.

Dans le cas d'un train d'ondes planes, au contraire, tous les pro-
jectiles fictifs ont la même direction : s'ils viennent choquer normale-
ment un mur plan parlaitement réfléchissant, le même calcul qui
nous avait fourni l'équation (i) nous donnerait maintenant

pv = 2 T.

On peut donc dire que la pression de radiation (à énergie égale) est
trois fois plus forte dans le cas du train d'ondes planes que dans le
cas du corps de pompe. Elle a donc pour valeur

U

où — représente l'énergie par unité de volume due à l'ensemble de

l'onde incidente et de l'onde réfléchie.

Si le mur plan, au lieu d'être réfléchissant, avait été supposé absor-
bant, la pression eût été moitié moiudi'e ; la densité de l'énergie eiit

2l^^ HyPOTHtsES COSMOr.ONIQUES

été réduite de moitié aussi, puisqn'alors 11 n'y aurait pas d'onde ré-
fléchie.

181. Revenons à l'exposé de la théorie de M. xVruhemus. Con-
sidérons une particule matérielle au voisinage du Soleil. Elle subira ;\
la lois une attraction due à la gravitation et une répulsion due à la
pression de radiation provenant de la lumière du Soleil ; rattraction
est proportionnelle à la masse de la particule, la répulsion propor-
tionnelle à sa surface. Par conséquent, plus la densité sera faible et
plus les dimensions de la particule seront petites, plus la pression de
radiation prendra d'importance relativement à la gravité. Elle pourra
même arriver à l'emporter.

Une gouttelette spliériqua de même densité que l'eau, parfaitement
réfléchissante et de diamètra o'"'",oor5. se trouverait en équilibre au
voisinage du Soleil sous l'action de la gravité et de la pression de ra-
diation. Si le diamètre de la gouttelette diminuait, la force répulsive
deviendrait prépondérante, et la gouttelette serait chassée loin du
Soleil. Toutefois, il ne faut pas que le diamètre de la gouttelette
devienne par trop petit: s'il devenait de beaucoup inférieur à une
longueur d'onde de la radiation incidente, les phénomènes de dilïrac-
tion changeraient complètement les choses, et, au-dessous d'un cer-
tain diamètre, la jiesanteur reprendrait son influence prépondérante.
Mais, entre ces deux limites, il y a répulsion etïective : pour des
gouttelettes de o""",oooi6 de diamètre, par exemple, la répulsion due
à la lumière solaire serait environ dix fois plus grande que la pesan-
teur ('). La proportion pourrait être encore plus forte pour des liqui-
des plus légers que l'eau, comme le pétrole.

182. Ainsi, lorsque de telles particules arrivent au voisinage du
Soleil, elles en sont comme chassées. On peut expliquer de cette ma-
nière les aspects que présentent les queues des comètes, toujours di-
rigées à l'opposé du Soleil, et qu'on considérait depuis longtemps
comme étant dues à une force répulsive émanée de cette astre. On
admet actuellement que cette force répulsive n'est autre que la pres-
sion de radiation qui s'e\erce sur les particules les plus fines de la
matière corné ta ire.

(1) Pour qu'il y ait pression de radiation, il faut que le corps sur lequel tombe
la lumière ne soit pas transparent ; s'il laisse passer la lumière, celle-ci ne produit
pas fie pression.

TlIlOUlt: UE M. ARP.IIE.MLS J '\0

183. M. Auiuii.MLs pense que la comonnc solaire esl due à des
phénomènes du même genre. La matière coronalc serait constituée
par de fines particules cpie la pression de radiation repousserait loin
du Soleil. La couronne serait donc parfailemenl cimiparahle oux
queues des comètes.

Quelle (jue soit l'exlrème ténuité de la matière coronalc, ce proces-
sus représente néanmoins pour le Soleil une perte constante de substan-
ce. Ne pourrait on pas alors revenir à la théorie météoritique primitive
de Lord Ki:r,viN (n"" 141 à 144 , qui supposait la chaleur solaire entre-
tenue par une pluie de météores tombant sur le Soleil. On se rappelle
<]ue Lord Kelvin avait abandonné cette hypothèse, parce qu'il en
serait résulté pour le Soleil un accroissement de masse, ayant j)Our
conséquence une variation inadmissible de la durée de l'année. Mais
no ^)ourrail-on pas penser que cet accroissement de masse est com-
pensé par la déperdition constante de la matière coronalc ? Dans cette
hypothèse, la matière décrirait une soi te de cycle : les météores tom-
bant sur le Soleil s'y trouveraient désagrégés, réduits en fines pous-
sières, et celles-ci seraient à leur tour chassées par la pression de ra-
diation ; elles se rassembleraient au loin pour former de nouveaux
météores qui retomberaient sur le Soleil, entretenant ainsi sa chaleur.
Celle manière de \oir esl insoutenable. En clTcl. dans ce cvcle, les
forces elTectucnt constanmicnt un lra\ ail postlif: (juand le météore
tombe, rattraction l'emporte et c'est la gra\ité qui travaille ; quand
les poussières coronales sont chassées, la répulsion l'emporte et le
travail est elTectué par la pression de radiation. Aux dépens de quelle
énergie ce travail constant est-il produit ? C'est évidemment aux
dépens de l'énergie solaire. Il est donc impossible de voir dans ce mé-
canisme un entretien possible de celte énergie.

^L AunMEMLS a d'ailleurs essayé de se faire une idée de la quantité
de matière météori(|ue qui tombe réellement sur le Soleil : la quantité
de matière tombant annuellement sur la Terre est d'environ 20000
tonnes. En partant de celle base, ^L Ahiuienus évalue à 3oo.io'^
tonnes la pluie météorique qui se précipite annuellement à la surface
du Soleil. La masse totale du Soleil étant de 2.10^' tonnes environ,
le bombardement météorique accroît donc annuellement cette masse
de

Soo.io' 1.5

2. lo''' 10'*

2^6 HYPOTHÈSES COSMOGOMQLES

de sa valeur. Or nous avons vu que, pour compenser la perte de cha-
Icuf du Soleil, Lord Kelvin avait besoin d'admettre que la masse de
cet astre s'accrût par an de

32000000 32.10''

de sa valeur, chitTre incomparablement plus fort que le précédent. La
cbule effective des météores sur le Soleil est donc beaucoup trop faible
pour être capable d'entretenir sa radiation : l'bypothèse météorique
est à rejeter.

184. On sait que les rayons ultraviolets ont la propriété d'ioniser
les gaz. Gomme la lumière solaire est riclie en rayons ultraviolets, on
peut penser que l'atmosphère du Soleil contient des gaz ionisés. Les
ions ont la propriété de condenser les vapeurs, et cette propriété ap-
partient en général à un bien plus haut degré aux ions négatifs qu'aux
ions positifs (expérience de M. Wilson sur la condensation de la
vapeur d'eau). Les ions négatifs de l'atmosphère solaire doivent donc
condenser la matière autour d'eux et former de fines particules qui
seront repoussées par la pression de radiation. Les particules de ma-
tière coronale sont donc chargées négativement, et il doit rester à la
surface du Soleil une charge d'électricité positive. Toutefois, cette
charge positive du Soleil ne peut pas dépasser une certaine limite,
au delà de laquelle elle deviendrait assez puissante pour retenir les
particules chargées négativement, malgré la répulsion que leur fait
subir la pression de radiation. Tous les phénomènes électriques résul-
tant de ta pression de radiation cesseraient du coup. M. Auuhemus
estime que celte charge limite du Soleil est de 25o milliards de cou-
lombs.

Le Soleil, étant donc chargé positivement, attire à lui tous les
électrons négatifs libies qui parcourent l'espace. Ces électrons, une
fois captés, condenseront autour d'eux la matière de l'atmosphère
solaire et reformeront des particules qui seront de nouveau chassées
par la pression de radiation : ces particules s'aggloméreront au loin
en météorites qui, sous l'influence de la lumière ultraviolette, per-
dront leur charge négative sous forme d'électrons libres ; ceux-ci
seront de nouveau captés par le Soleil et le même cycle recommen-
cera. Bien entendu, il ne faut pas voir dans ce cycle l'origine de l'en-
tretien de la chaleur solaire, puisque dans ce cycle il y a constam-

THÉORIE DF M. ARRIIEMIS

a47

ment un travail positif, pioiliiit aux dcprns de l'énergie solaii'c.
comme nous l'expliquions au numéro précédent pour réfuter une
hypothèse analogue ; toutefois le travail de l'attraction électrostatique
vient s'ajouter à celui de la gravité ; et un même accroissement de la
masse solaire correspondu un apport d'énergie mille fois plus consi-
dérable.

185. Les particules chargées négativement que chasse la lumière
du Soleil pourront atteindre notre atmosphère, où elles se manifes-
teront par les aurores boréales. Elles se déchargeront en arrivant
dans les hautes régions de l'atmosphère en émettant des rayons catho-
diques, origine de l'aurore. Les maxima et les minima périodiques
des aurores polaires et ceux des perturbations magnétiques concordent
d'une façon très marquée avec ceux de l'activité éruptive du Soleil.
C'est ainsi que très souvent le passage d'une tache solaire au méridien
dont le plan contient la Terre est suivi par une tempête magnétique
et par une aurore. Une gouttelette de o""",oooi6 de diamètre, ayant
la densité de l'eau, mettrait 50 heures pour venir du Soleil à la Terre.
Or, plusieurs observateurs ont constaté, paraît-il, un retard du
même ordre entre le passage d'une tache solaire au méridien et le
maximum de la perturbation magnétique ou de l'aurore polaire
correspondante.

186. Mais les particules chargées qui sont chassées parle Soleil,
et aussi celles que chassent les diverses étoiles, peuvent, selon
M. ARRHE>firs, faire des trajets beaucoup plus longs à travers les
espaces célestes : elles peuvent atteindre les nébuleuses. M. Vrutieniis
pense que les nébuleuses sont à des températures excessivement froides
(ôo" absolus environ . Malgré cela leurs p.nrfies périphériques
arrivent à devenir lumineuses, par suite du liombardement que leur
font subir les particules chargées qui sillonnent l'espace de toutes
parts : l'origine de cette luminescence des parties superlicielles de la
nébuleuse serait donc comparable à celle des aurores polaires de notre
atmosphère. Gomme la majeure partie des particules de poussière est
arrêtée avant d'a\oir pénétré un peu profondément à l'intérieur de la
nébuleuse, c'est la périphérie seule qui est lumineuse. Quant à ce qui
se trouve dans les parties profondes, nous l'ignorons absolument.

Le spectre des nébuleuses présente en général les raies de l'hy-
drogène, de l'hélium, et d'un autre élément, le « nébulium » dont la

2\S JlYPOTlliiSES COSMOGONIIJLES

lumière n'a été observée nulle part ailleurs. L'hélium et l'hydrogène
(et sans doute aussi le néhnlium) étant des ga/ très peu condensahles,
sont susceptibles d'exister à l'élat gazeux avix très basses températures
que M. Aruhenius attribue aux nébuleuses : à ces températures tous
les autres éléments sont liquéfiés ou solidifiés ; par suite, les parties
profondes de la nébuleuse peuvent contenir ces éléments condensés ;
mais les parties extérieures ne doivent contenir que les éléments
gazeux, c'est-à-dire l'hydrogène et l'hélium (et le nébulium). La
périphérie de la nébuleuse étant seule lumineuse, d'après M.
Arkhexils, il n'est pas étonnant que le spectre de la nébuleuse ne
présente que les raies de ces derniers éléments.

187. Revenons au Soleil et suivons son évolution. Le Soleil perd
constamment de la chaleur; mais il contient à son intérieur des
matièies radioactives ou des combinaisons endothermiques ; tout se
passe donc comme s'il avait une chaleur spécifique énorme, et il
possède un provision de calorique extrêmement considérable qui lui
permet de continuer sa radiation pendant très longtemps — des
billions d'années, dit M. Ahriiemus (il entend par là lo'- . — Mais
quelle que soit la lenteur extrême du refroidissement, il arrivera un
moment où la température de la surface du Soleil sera assez abaissée
pour que celle-ci commence à s'encroûter. La croûte mince périphé-
rique ainsi formée protégera l'intérieur du Soleil resté fluide contre
le refroidissement qui deviendra de plus en plus lent, de même que la
croûte terrestre garantit les parties profondes de la Terre (').

Le Soleil ressemblera alors à une bombe remplie d'explosifs : sa
surface sera très froide, mais ses parties centrales auront conservé une
température presque aussi élevée que celle qu'elles ont aujourd'hui, et
il s'y trouvera encore les mêmes combinaisons endothermiques que
maintenant.

Que deux pareilles bombes viennent à se rencontrer, leur choc
produira une chaleur et une lumière énormes : c'est l'origine d'une
étoile nouvelle.

Quelle est la probabilité pour qu'une étoile déterminée en rencontre
une autre :' l'étant données les distances qui séparent en moyenne les

(') On sait que I^ord Kelvin pense, contrairement à cette o|iinion, qne la Terre
est entièrement solidifiée : si en efTet son intérieur était lliiide, le pliénomèiie de
la précession des écpiinoxes serait très dilTérent de celui que nous observons.

TIILOHIK UE M. AIIIIIIE.MLS

U)l)

étoiles et les dimensions de celles-ci, il y a dos chances pour fjii'un
choc se produise au bout d'un lenips de l'ordre de lo'" années. Mais
supposons que, dans l'espace, il existe non seulement les étoiles biil-
lantes que nous voyons, niais aussi un très grand nombre d'étoiles
obscures : les chocs deviendront beaucoup plus fréquents. Si l'on veut
expliquer par de telles rencontres le nombre relativement grand d'étoiles
nouvelles que nous observons (soit à peu près une par an), on est
amené à supposer qu'il y a environ loooo luis plus d'étoiles obscin'cs
que d'étoiles brillantes ; supposition assez, peu vraisemblable, car si,
dans un cube ayant pour arête la distance du Soleil à a du Centaure, il
existait loooo étoiles de masse comparable à celle du Soleil, elles
produiraient sur les mouvements des planètes des pertubations qui ne
passeraient sans doute pas inaperçues.

Quoi qu'il en soit, supposons que deux soleils éteints encroûtés se
heurtent : il se produit une A'ora. Le choc en général no sera [)as central
et il en résultera un uKuivoment de rotation rapide de l'étoile nouvelle.
La collision aura fait jaillir des deux corps deu-v puissants jets de
matière {fifj. \o) formant comme de formidables éruptions des maté-

fifj. Ao.

riaux explosifs provenant des régions centrales. Ces deux jets, grâce à
la rotation générale de l'ensemble, présenteront l'aspect d'un tourni-
quet. Et comme l'expansion des gaz projetés produit leur rapide
refroidissement, les jets latéraux seront relativement froids, alors que le
contre sera très chaud. La lumière blanche du corps central sera plus
ou moins absorbée par la couche ga/euse des deux jets spiraloïdes,
suivant la position de ceux-ci par rapport à l'observateur, La rotation
produira don.c une alternance d'absorption et de non-absorption, c'est-
à-dire une variation périodique du spectre de l'étoile nouvelle, ainsi

20O IlYl'OTUESES COS.MOGO.NJ<JUES

qu'on l'a observé pour la Nova Persei qui est apparue en fé\ lier 1901
dans la constellation de Persée.

La rotation extrêmement violente de la masse centrale des deux
étoiles fusionnées produit une force centrifuge considérable qui trans-
formera cette masse tournante eu une sorte de disque aplati, présen-
tant des formes spiraloïdes : ce serait l'origine des nébuleuses spi-
rales (').

La nébuleuse ainsi formée recevra le bombardement des corpuscules
qui sillonnent l'espace : chacunes de ces particules deviendra un centre
d'attraction qui se nourrira aux dépens des gaz de la nébuleuse : ainsi
se formeraient les météorites à l'intérieur de la nébuleuse.

Mais les nébuleuses peuvent faire des captures bien plus importantes :
elles peuvent capter de petits soleils. Lu petit soleil arrivant dans la
nébuleuse attire à lui les météorites déjà formées et accroît ainsi sa
masse. C'est de cette façon que les nébuleuses se transforment en amas
d'étoiles. Les diverses étoiles d'un même amas seraient donc originel-
lement étrangères l'une à l'autre : elles auraient seulement été retenues
par la même nébuleuse qui les aurait arrêtées, de même qu'une toile
d'araignée arrête les mouches qui essaient de la traverser. La Voie
lactée elle-même pourraient avoir cette origine. Ses soleils auraient
été captés par une nébuleuse gazeuse provenant d'une énorme Nova.
et leur ensemble reproduirait la forme spirale de cette nébuleuse
gazeuse, aujourd'hui disparue.

Chaque soleil de l'amas suivra ensuite l'évolution habituelle des
étoiles : d'étoile gazeuse il deviendra étoile protométallique, puis métal-
lique, puis étoile à spectre de bandes, sa température allant constam-
ment en diminuant. Nous arrivons ainsi au soleil refroidi, encroûté.

M. AuiuiEMi s admet donc que, de tout temps, le Monde a suivi cette
évolution alternante, les nébuleuses étant engendrées par les soleils, les
soleils étant à leur tour formés dans les nébuleuses. Le cvcle de cette ■
évolution est h; suivant : étoile nouvelle, nébuleuse spirale, amas

''') Le.» nébiileiisos spirales présenlent en général pliitùt nn sjicctre conlinu
qu'un spectre de gaz C'est pourquoi beaucoup d'aslronomes les considèrent comme
des voies lactées exirèmement lointaines que leur grand éloignemcnt a seul empêché
jusqu'ici de résoudre en étoiles. Ce n'est pas l'opinion de M. Vuriiemis qui pense
que, dans les nébuleuses spirales, les couches extérieures qui masquent le corps
central sont extrêmement raréfiées et ne parviennent pas h cacher le spectre des
jjoussiêres iMcandc^celltes des couches profondes.

TIILOIUE VF. M. ARRHENILS

dV'loiles, soleil chaud. ;>oleil refroidi, soleil éteint. Le choc de deux
soleils éteints donne de nouveau une Xova.

188. M. AuKiucNu >- pense que le Monde est infini. S'il n'en élail [)as
ainsi, tlil-il, les poussières seraient chassées indélinimcnt [)ar la pres-
sion de radiation, elles ne seraient pas captées en chemin, et le monde
finirait par s'évanouir. Cette raison n'est [)as convaincante, car on peut
penser qu'une l'ois arrivées à de très grandes distances, les poussières
ne suhissent plus la pression de radiation, la lumière étant toujours
plus ou moins ahsorhée dans son parcours.

Si l'Univers est infmi, une droite de direction quelconque, issue de
notre œil, doit finir par rencontrer une étoile : il semhie en résulter que
le Ciel tout entier devrait avoir l'éclat du Soleil. Mais cette conclusion
n'est pas légitune. [)arce que, comme nous venons de le dire, la lumière
subit toujours une absorption [)lus ou moins forte dans les espaces
interstellaires. Dans l'ordre d'idées de M. VaRUEMUs, cette absorption
serait due aux soleils éteints, et surtout aux matières cosmiques nébu-
leuses obscures beaucoup plus grandes, qu'il suppose abondamment
répandues dans l'espace. Ce dernier point de vue semble trouver sa
confirmation dans un phénomène qu'a présenté la Aora Pcrsct : on
a observé autour de cette étoile nouvelle plusieurs nébulosités sphé-
rif(ues s'éloignant du centre, comme des ondes, avec des vitesses
comparables à celle de la lumière ; il semble qu'on puisse supposer
que la lumière de l'explosion est venue successivement rendre visible
les diverses couches d'une immense nébuleuse, ou bien encore que
c'étaient là des vitesses de propagation d'une luminescence due par
exemple à un bombardement cathodique à travers une nébulosité
obscure par elle-même, plutôt que des vitesses réelles de corps
matériels.

189. Abordons maintenant un point très délicat de cette théorie.
M. AuRUEMUs, supposant que l'Univers, dans son évolution des nébu-
leuses aux soleils et des soleils aux nébuleuses, décrit une sorte de
cycle fermé, est amené à penser que l'Univers ne doit pas « vieillir ».
11 cherche donc à échapper à la « mort calorifique » [Warnielod) que
Cla.usius avait cru pouvoir assigner à l'Lnivers, d'après le second
principe de la Thermodynamique Principe de Carnot-Clausilsi.

Ce second principe, on l'énonce parfois d'une façon peu correcte
en disant qu' « un système matériel tend vers l'homogénéité tant au

202 Jlïl'OTIlÈSES COSMO(;oN:nLES

poinl de vue de la distribution de la matière qu'au point de vue de la
distribution des températures ». D'après cet énoncé (et en admettant
que le principe puisse s'appliquer à un système infini comme l'Uni-
vers', la matière, dans son état final, serait également répandue partout
d'une façon uniforme sans aucune dilTérentiation locale quelconque :
ce serait la mort du système. Or, M. Aiuiuemls ne veut pas voir
mourir l'Univers, et c'est pour cela qu'il s'ellbrce de mettre en échec
le principe de Carnot, en tant qu'il s'agit de l'Univers. Selon lui,
u l'entropie augmente dans les soleils, mais diminue dans les nébu-
leuses » ; autrement dit, « l'énergie est dissipée ou <( détériorée »
dans les corps qui se trouvent à l'état de soleils et au contraire
(1 améliorée )> dans ceux qui sont à l'état de nébuleuses » (L'Evolu-
lion (les Mondes, Préface, p. IV).

Les nébuleuses reçoivent de la chaleur [)ar le rayonnement des
étoiles : il semble donc qu'elles ne vont pas rester froides, mais
tendre h se mettre finalement en équilibre de température avec les
étoiles, d'après le principe de Cau>ot qui paraît exiger la tendance au
nivcllcnu'itl des températures (de même qu'il sendjic exiger la tendance
à la dilVusion homogène de la matière). Nous allons voir les raisons
que donne M. Arrhe>'ils pour être d'un avis contraire.

190. Dans la théorie cinétique des ga/, la tendance à l'homogène
s'explique d'une façon très simple : si nous avons un récipient plein
de gaz et si le gaz qui remplit une moitié du réci[)ient (par exemple
la moitié de droite) est plus chaud que celui qui remplit l'autre moitié
(la moitié de gauche), la vitesse moyenne des molécules est plus
grande à droite qu'à gauche. Mais, par suite tlu brassage [)roduit par
les mouvements des molécules, les molécules de droite passent à
gauche et inversement, et il finit bientôt [)ar s'établir un équilibre de
tem[)ératuie dans lequel la vitesse moyenne des molécules est la même
partout.

De même, si la moitié de droite du récipient avait été occupée ini-
tialement par de l'azote, et la moitié de gauche par de l'hydrogène,
l'étal final eût été le mélange complet, |)ar suile du mouvement des
imlécules gazeuses.

Nous n'avons aucun moyen d'ell'ecluer inversement (sans travail
extérieur I le triage entre les molécules d'azote et celles d'hydrogène,
ou bien entre les molécules à très grandes vitesses et celles à petites
vitesses, de façon à ramener les unes à droite du récipient, les autres

TIlliOHlE DE M. VUUIIFMUS ^Sd

à gauche. Mais si nous ne savons pas faire cette opération, elle serait
résolue sans peine par les « dénions » ({ua imaginés Mawmm.l. Sépa-
rons en deux notre récipient par une cloison percée de tout petits
trous, pouvant ne laisser passer qu'une seule molécule à la fois. Chaque
petit trou est muni d'une soupape qu'on peut à volonté ouvrir ou
fermer sans Iniviil. Derrière chacune de ces soupapes, plaçons un
observateur infiniment petit (démon de Maxwkll). servant en quelque
sorte de douanier. Chaque fois qu'un démon verra une molécule à
grande vitesse se diriger de gauche à droite, il ouvrira sa soupape
pour la laisser passer ; mais il la fermera à toute molécule à petite
vitesse allant dans la même direction ; de même il ouvrira la porte aux
molécules à petite vitesse allant de droite à gauche, mais il la fermera
aux molécules à grande vitesse allant dans la même direction. Nos-
petits démons, sans produire aucun travail par eux-mêmes, arriveront
ainsi à accumuler à droite toutes les molécules à grandes vitesses, à
gauche toutes celles à petites vitesses : ils auront séparé la masse
gazeuse primitivement isotherme en deux parties à températures dif-
férentes. Ils auront tourné le principe de Gartot.

191. Pour éviter la mort calorifique de l'Univers, M. Arruenus
pense avoir trouvé un mécanisme analogue se produisant naturelle-
ment. Considérons une planète, la Terre par exemple, possédant une
atmosphère limitée en équilibre convectif (ou adiabatique). Une molé-
cule de la région externe de cette atmosphère, si elle possède une
vitesse suffisante 'ccUc vitesse serait de ii kilomètres par seconde
pour la Terre, s'échappe pour toujours de la sphère d'attraction de la
planète et continue son chemin vers l'infini. L'atmosphère delà pla-
nèle perd donc sans cesse les molécules gazeuses qui sont animées
d'une vitesse suffisante. Or la distribution des vitesses obéissant dans
toute région à la loi de MAX^vEM. (n" 80, p. 107), il y a toujours des
molécules qui ont de grandes vitesses ; par suite l'atmospbère de la
planète s'appauvrit sans cesse. Les vitesses des molécules gazeuses
sont d'autant plus grandes que le gaz atmosphérique est plus chaud
et plus léger. L'appauvrissement sera aussi plus fort pour une petite
planète que pour une grosse, car, par la gravitation, une grosse pla-
nète retiendra plus qu'une petite ses molécules atmosphériques. C'est
ainsi que la Lune, dont la masse est faible, a perdu toute son atmos-
phère. La Terre a perdu l'hydrogène qui est très léger, elle a conservé
l'oxygène et l'azote plus lourds.

254 IIYrOTIIKSIÎS COSMO(;ONIQUES

Celle pciie tics molécules almosphériqnes joue, d'après M. Aiuuie-
Mus. un rôle extrêmement important dans l'économie des nébuleuses,
où la gravité est très faible, ainsi que la densité des gaz constituants.
Les parlies périphériques perdront donc très facilement leurs molé-
cules à grandes vitesses, refroidissant ainsi les couches les plus éloi-
gnées du centre. Il en résulte que la chaleur envoyée par les soleils
aux nébuleuses n élève pas la icmpêralurc de celles-ci : en etîet, cette
énergie communique de la vitesse à certaines molécules, mais ces
molécules s'éloignent de la nébuleuse pour toujours. Ces molécules
chaudes finiront par être absorbées par des soleils, contribuant ainsi
à entretenir leur rayonnement.

192. Ce mécanisme nous mcl-il pour toujours à l'abri de la loi de
dégradation qu'implique le principe de Carnot ?

Observons que le raisonnement s'appliquerait à un univers fini :
si, par exemple, noire Monde n'était pas euclidien mais riemannien, il
serait fini qiioiqu'illimilé : nous aurions donc un système fini ne se
dégradant pas : c'est la négation absolue du principe de Cauxot, tel
qu'on l'envisage habituellement. Que vont devenir ces particules
échappées des nébuleuses? on peut supposer qu'après avoir erré dans
l'Espace, elles finissent par être absorbées par les soleils en formation
en leur fournissant à la fois de la matière et de l'énergie ; nous avons
vu qu'elles ne sauraient suffire pour entretenir l'énergie des Soleils
formés, dont la masse ne s'accroît plus.

Mais ce processus pourra-t-il se poursuivie indéfiniment ? ou bien
ne viendra-t-il pas un moment où ces particules errantes rempliront
les vides interstellaires, où il n'y aura plus de vide et où, jiar consé-
quent, les molécules n'auront plus de raison de quitter les nébuleuses.
Une comparaison fera mieux comprendre notre pensée. Reprenons
le cas d'une planète munie d'une atmosphère limitée en équilibre
conveclif : cet équilibre convectif suppose implicitement des mouve-
ments internes et par suite des frottements : un tel équilibre ne sub-
sistera donc pas indéfiniment, il tendra à se transformer en équilibre
isothcrmique. Dans le cas de l'équilibre isothermique, l'atmosphère
n'a plus de limite supérieure, elle s'étend indéfiniment. Comment
cet équilibre isothermique s'élablira-t-il P Ce sera par l'échange des
molécules entre les parties hautes et les parlies basses de l'atmo-
sphère : or, une molécule à grande vitesse partant des régions basses
arrivera dans les régions hautes avec une vitesse très diminuée (à

TiiiioniE OE >i. vnniiEMis

cause (le la posanteur ; do niêmn, nno molécule se dirigeanl des
régions hautes vers le bas arrivera avec une vitesse très augmentée.
Il ne semble donc pas à première vue que la haute atmosphère va
s'échaufTer et la basse atmosphère se refroidir. 11 semble donc
qu'ici encore nous n'aurons pas tendance au nivellemement des tem-
pératures, et que ce mécanisme, com[)arable à celui de AI. Auiuiemus,
mettra en échec le principe de G.vhnot. Mais observons que les
seules molécules qui pourront passer des régions basses vers les
régions hautes sont celles (jui sont animées d'une très grande vitesse;
et, bien que perdant en route une partie de cette vitesse, elles posséde-
ront encore assez de vitesse pour échaulVer les régions hautes. L'équi-
libre final sera donc isotherme, conformément au principe de Carnot.
Or, dans le mécanisme de M. Aukuemis, il se passe quelfjue cliose
de tout pareil : les molécules [jarties des couches internes de la né-
buleuse vont aller dans les régions supérieures, c'est-à-tlirc dans le
vide où règne le zéro absolu: la densité et la température de ces ré-
gions supérieures, primitivement nulles, vont donc s'accroître peu à
peu, c'est-à-dire que nous tendons vers l'uniformité des températures
et des densités, ce qui est encore en parfait accord avec le j)rincipe de
Carxot ; les nébuleuses ne s'échautl'ent pas quand les soleils leur
envoient de la chaleur, mais c'est parce qu'elles cèdent à leur tour de
la chaleur à une source encore plus froide, le vide dont la tenq)éra-
ture absolue est nulle.

Cependant il n'est pas tout à fait légitime de comparer les gaz des
nébuleuses, et surtout les molécules égarées dans un vide presque
absolu, à une atmosphère gazeuse ordinaire. En elTet, dans les gaz
exlrcmcmcnt raréfiés, la vitesse des molécules n'est plus de la chaleur,
c'est de la véritable foixe vive, c'est-à-dire de l'énergie non dét/radée.
Si, par exemple, il n'y a qu'une seule molécule par centimètre cube,
on n'a pas, dans chaque petite région élémentaire, un mélange confus
de projectiles avec vitesses dirigées dans tous les sens (comme il
arrive pour un gaz à la pression ordinaire, oîi ce mouvement parfai-
tement désordonné constitue la chaleur), mais on a, au contraire, une
vitesse unique dirigée dans un sens bien déterminé. Pour agir indivi-
duellement sur chaque molécule, nous n'avons plus besoin de recou-
rir aux démons de Max^\ell; nos instruments ordinaires pourraient
suffire. Il n'.y a donc peut-être pas lieu, pour les nébuleuses, de par-
ler de dégradation de l'énergie, toute énergie y étant purement méca-

256 IIYIIOTIIÈSES COSMOGOMQL'ES

nique; et par suite le principe de G.vRNor, sans être en défaut, ne
trouverait pas son application.

193. M. AuuHEMus indique une seconde cause qui fait que les
nébuleuses, en recevant de la chaleur des soleils, voient leur tempé-
rature, non pas augmenter, mais au contraire diminuer. Il assimile les
nébuleuses à des masses gazeuses en équilibre adiabatique, comme
celles que nous avons étudiées au Chapitre Vlll (Section III), d'après
M. IIoMEa Lane. Une telle masse gazeuse a une chaleur spécifique
négative ; par suite, un gain de chaleur la refroidit.

Bien entendu il ne peut pas être question, cette fois, de voir dans ce
processus un échec au principe de Cvuxor : c'est, au contraire, en pleine
conformité avec ce principe que s'accomplit le phénomène. Considé-
rons, par exemple deux masses, de gaz parlait, toutes deux en équilibre
convcctif, mais inégalement chaudes (') : la plus chaude rayonnera
vers la plus froide ; cette dernière, recevant de la chaleur, se refroidira
encore, tandis que la première, 'perdant de la chaleur, s'échauffera. Les
températures des deux corps, loin de se niveler, s'écarteront au con-
traire de plus en plus l'une de l'autre. Le principe de Cauxot est-il
violé? Au contraire, il est pleinement satisfait, puisque la chaleur a
passé du corps chaud sur le corps froid. C'est le phénomène inverse,
le nivellement des températures, qui l'aurait violé, s'il avait eu lieu.

De cette discussion je ne veux pas tirer de conclusion définitive :
il semble que, par ce processus, la mort calorifique de l'Univers sera
énormément retardée, mais on [)eut croire qu'elle ne sera que
retardée (^).

(') On peut, si l'on veut, placer ces deux masses aux deux fovers d'un miroir
parfait ayant la forme d'un ellipsoïde de révolution : de la soi te toute l'énergie
ravonnée [)ar l'une des masses est reçue par l'autre ; on a ainsi l'exemple d'un système
fini, où le principe do Carnot ne tend pas à niveler les températures, au moins au
début.

(-) Sur les tentatives d'extension du principe de Carnoï-Clausius à l'Univers, on
peut voir Bi^uxaud Brukhes : La dcgradalloa de l'Energie, Cli. XXIV (Paris,
Flammarion, 1909).

ciiÀPiTiu: XII.

LA VOIE L.\GTÉE ET LA THÉORIE DES GAZ :M.

194. Nous allons, dans co Chapitre, exposer des considérations
dont la première idée remonte à Lord Kelvix.

Dans la théorie cinétique des gaz, une masse gazeuze est regardée
comme un système formé d'un très grand nomhre de points matériels
(les molécules) s'entrecroisant dans tous les sens; ces points matériels
agissent à distance les uns sur les autres, mais cette action n'est sen-
sible qu'à dos dislances extrêmement laihles et s'évanouit très vite
lorsque la distance augmente.

Si nous envisageons l'ensemble de la Voie lactée, nous trouvons
que cette nébuleuse est constituée de même par un grand nunihrc de
points matériels (les étoiles) qui s'attirent l'un l'autre suivant la loi de
Neavton, et qui sont animés de vitesses de translation paraissant
dirigées dans tous les sens. L'attraction newtonienne est très faible
aux distances qui séparent ordinairement les étoiles ; aussi, peut-on
considérer les trajectoires de celles-ci comme étant généralement rec-
tilignes; elles ne s'incurvent et ne se dévient que lorsque deux étoiles
viennent à passer suiïisamment près l'une de l'autre.

Nous pouvons donc, à un certain point de vue, dire que la Voie
lactée tout entière est comparable à ime masse gazeuse — aux dimen-
sions près. Et, poussant plus loin l'assimilation, nous pouvons essayer
de lui appliquer les théorèmes de la théorie cinétique des gaz.

195. Cherchons à nous faire une idée des dimensions de la Voie
lactée par l'observation des mouvements propres des étoiles. De même
que, dans une masse gazeuse libre en équilibre adiabatique, la pression

(/) H. PoixcvRÉ_: Voir Bullelin de la Sociale astronomique de France, avril i()o(),
p. i53-i65; et Science et Méthode, Livre IV, Cli. I (Bibliothèque de Philosophie
Scientifujue, Paris, Flammarion, ijjoS).

Poi.XCARÉ,

258 IIYPOTIU:SES COSIMOGONIQUES

et la température croissent de la superficie an centre, de même pour
la Voie lactée, les vitesses propres moyennes doivent être plus consi-
dérables pour les étoiles des régions centrales que pour celles de la
périphérie. Nous sommes justement situés vers le centre de la Voie
lactée. En observant les vitesses propres des étoiles qui nous entourent,
nous connaîtrons ce qui correspond à la température centrale de notre
sphère gazeuse en équilibre adiabatique, et nous pourrons déterminer
son rayon.

Comme nous ne pouvons pas avoir ici d'autre ambition que celle
de déterminer un ordre de (jrandeiir, nous ferons une hypothèse sim-
plificatrice. La Voie lactée sera supposée sphérique et les masses des
étoiles y seront réparties dune façon homogène. Sans doute, cette
hypothèse est loin de la réalité, mais les chiffres qu*elle nous fournira
seront du même ordre que ceux qui correspondraient à des hypothèses
plus voisines de la réalité.

Or, à l'intérieur d'une sphère homogène, un point matériel quel-
conque subit une attraction proportionnelle à la distance au centre et,
par suite, décrit une ellipse ayant même centre que la sphère. Les
équations de mouvement à l'intérieur d'une telle sphère sont donc

d'^x
W-

d^z
di'

ICC

ou l on a pose

a _ 3 o.

0 étant la densité de la sphère homogène.

Ces équations nous fournissent immédiatement l'intégrale des
forces vives

«■(^'-/-H.^)+(*)V(:i;-H(§)=con,t.,

que nous écrirons

îi-r^ -t- V- = const,,

en appelant /■ la dislanc(> du [)oinl mobile au centre et \ sa vitesse.

L\ VOIE LACTEE ET LA TIIEOIIIE DES GAZ

■2i)g

Appelons r^ lYlongatlon maxinia du mobile et supposons qu'au
point coirespomlant la vitcs.se V soit nulle, ce qui correspond au cas
d'une trajectoire rectiligne ; l'équation des forces vives s'écrira

o.-r- H- V^ = aVQ ,
d'où

V- = %-iri — /•-).

Lorsque le mobile passera nu centre (r — o), sa vitesse sera donc

(I) V=-a,v

Revenons à la Noie lactée assimilée à une spbcre homogène où
toutes les étoiles décrivent des ellipses de même centre. Pour la plu-
part des étoiles, l'élongation maxima r^ sera du même ordre que le
rayon de la sphère, et la vitesse maxima V sera donnée par l'égalité
(i ). Donc, inversement, si dans cette égalité (i) nous donnons à V la
valeur de la vitesse propre moyenne des étoiles voisines de nous (et
qui. par conséquent, sont voisines du centre de la Voie lactée), nous
trouverons pour /"„ le rayon de la Voie lactée, ou pour mieux dire son
ordre do grandeur.

Mais, pour faire ce calcul, il faut d'abord connaître a, qui est pro-
portionnel à la racine carrée de la densité fictive o. Si la masse du
Soleil était uniformément répartie dans une sphère avant pour ravon
/;^ le rayon de l'orbite terrestre (ro= i unité astronomique), la vitesse
maxima correspondant à cette élongation r^ = i serait la vitesse o
de la Terre sur son orbite. L'équation (i) donnerait alors

Mais, pour que la densité de la Voie lactée devînt homogène, il fau-
drait répartir la masse du Soleil dans une sphère de ravon lo" fois
plus grand, ce rayon étant à peu près la distance des étoiles les plus
rapprochées. La densité o deviendrait donc lo'*' fois plus faible; par
conséquent a, proportionnel à \'ô, deviendrait lo^ fois plus petit. La
valeur de a à adopter est donc

et la formule- (i ) devient

V = W.IO^'Tft.

200 HYPOTHESES COSMO<;ONH^)L ES

L'observation inonlie que la vitesse piopie moveniie A des étoiles
voisines de nous est du même ordre que la vitesse w de la Terre sai-
son orbite. L'équation précédente donne donc, pour l'ordre de gran-
deur du rayon de la Voie lactée ('),

r^ = lo'' unités aslronoinlques,

soit environ looo l'ois la distance qui nous sépare des étoiles les plus
rapprochées. Le nombre total des étoiles de la Voie lactée serait alors
environ de lOoo', soit i milliard.

Il est intéressant de constater que ce chitl're concorde à peu près
avec les évaluations que l'on a pu déduire des observations au téles-
cope et qui ont conduit à admettre l'existence de 200 millions
d'étoiles : au point de vue qui nous occupe, 200 millions et 1 milliard
ne doivent pas être regardés comme deux cbilïres dilïérents, [)uisqu'ils
sont du même ordre de grandeur.

Certains auteurs ont prétendu que nos télescopes ne percent pas
entièrement la Voie lactée et que, s'ils avaient une portée beaucoup
plus grande, ils nous découvriraient beaucoup d'étoiles que nous ne
voyons pas. Les considérations (pie nous venons de développer sont
plutôt contraires à cette sup[)osition, puisque le nombre des étoiles
brillantes que l'on a « comptées d concoide avec le nombre qui a été
« calculé ».

De même, ne pourrait-on pas supposer que le nombre des étoiles
obscures est beaucoup plus grand que celui des étoiles brillantes? La
même raison nous invite à croire que non. Si n désigne le rapport du
nombre total des étoiles (tant obscures que brillantes) au nombre des
étoiles brillantes, la densité 0 qui nous a servi à calculer a devra être

multiplié par n ; a devra donc être multiplié par v /i, et /•„ [)ar -,-- . iNous

\ '^
aurions donc

10'*

r„ = .- •
V/i

Le nombre total i\ des étoiles est de l'ordre de (—%) , puisque 10"
est la distance de deux étoiles voisines. Nous écrivons donc approxl-

(') Nous parlons du rajon de la ^ oie laclée comme si oelte rirbuluiise élaii splié-
riqiie; or, elle a |iliilùt la forme d'un disque aplali ; r^ représentera sans doute une
longueur inlcrnu'diairc entre r('paisseur du di>(juc et son ra\on.

L\ VOIE l.\CTl';r ET 1\ Tllliouii; DES GAZ 26 1

inati\enienl

' lo^/

ou

Si N est voisin de i milliard, n doit être voisin de l'unité. Les étoiles
brillantes représenteraient la presque totalité des étoiles.

196. Dans ce qui précède, nous avons assimilé la ^ oie lactée à une
sphère homogène. Si nous avions voulu nous rapprocher un peu plus
de la réalité, nous aurions dû l'assimiler plutôt à une masse gazeuse
en équilibre adiabatique : mais on sait que la loi adiabatique n'est

pas la même pour tous les gaz, puisqu'elle dépend du rapport ^ ae

leurs deux chaleurs spécifiques, et que ce rapport n'est pas le même
pour les gaz monoatomiques que pour les gaz diatomiques ou poly-
atomiques. Auquel de ces gaz devrait-on comparer la \ oie lactée? A un
gaz monoatomique évidemment. En effet, les molécules seraient ici
les ditîércnts svstèm(>s stellaires, et nous devons considérer qu'il y a
choc chaque lois que deux de ces molécules passent assez près l'une
de l'autre pour être déviées de leur route; or, même si nous prenons
une étoile multiple, l'action d'un astre étranger qui viendrait à en
approcher deviendrait assez sensible pour dévier le mouvement de
translation général du système, bien avant d'être capable de troubler
les orbites relatives des composantes. En un mot, l'étoile multiple se
comporterait comme un atome indivisible.

197. Posons-nous encore une autre question. La ^ oie lactée est-
elle vraiment comparable à un gaz ordinaire, ou n'est -elle pas plutôt
assimilable à la matière rndinnfe de Crookks ? On sait que le gaz
renfermé dans un d tube de Chookes » est tellement raréfié, que les
chocs entre ses molécules sont relativement rares, et qu'une molé-
cule a des chances de parcourir tout le tube sans être déviée de sa
route : Crookes disait alors que le parcours moyen des molécules
est plus grand que les dimensions du tube et que la matière à l'inté-
rieur du tube esta l'état radiant.

Qu'arrive-t-il pour la A oie lactée? Une étoile a-l-elle des chances
de la traverser sans subir de choc, c'est-à-dire sans passer assez près

afia HYPCTTIÙSES COSMOOOMnlES

d'une aiiti'c étoile pour être déviée de sa route? Que devons-nous
entendre d'abord par assez près? Ces mots comportent forcément un
peu d'arbitraire : nous conviendrons, par exemple, de dire qu'il n'y a
pas choc si la distance entre deux étoiles reste supérieure au rayon de
l'orbite de Neptune (ce qui pourrait représenter une déviation d'une
dizaine de degrés). Imaginons alors chaque étoile entourée d'une
(( sphère de garde » ayant le rayon de l'orbite de Neptune : une droite
pourra-t-elle passer entre ces sphères? A la distance moyenne des
étoiles de la Voie lactée, le rayon d'une telle sphère serait vu sous un

angle de ~^ tle seconde environ; or, nous avons un milliard d'étoiles.

Plaçons donc sur la sphère céleste un milliard de petits cercles de

-- de seconde de rayon : recouvrirons-nous ainsi toute la sphère, et

ces petits cercles empiéteront-ils les uns sur les autres i^ Loin de là,

nous n aurons recouvert que la partie du Liel.

*■ I ooo '-

Le parcours moyen d'une étoile est donc plus grand que les di-
mensions de la ^ oie lactée, et celle-ci ressemblerait plutôt à de la
matière radiante qu'à un gaz.

198. Nous avons jusqu'ici assimilé la Voie lactée à une sphère. Or,
elle offre plutôt l'apparence d'un disque aplati. Gomment expliquer
cet aplatissement? On peut faire à ce sujet des hypothèses bien diffé-
rentes.

On peut d'abord supposer les étoiles animées de vitesses qui sont
en majorité parallèles au plan galactique, mais d'ailleurs distribuées
uniformément dans tous les sens parallèlement à ce plan. Un pareil
étal de choses ne pourrait être que pro\isoire el ne saurait se main-
tenir indéfiniment ; car les u chocs » des molécules, ou pour mieux
dire des étoiles, tendraient à distribuer les vitesses dans tous les sens
conformément à la loi de Maxwell, et, finalement, l'amas devait
prendre la forme sphérique, qui est l'état normal dune masse gazeuse
libre.

Une seconde hypothèse est de supposer que la ^ oie lactée a une
rotation d'ensemble entraînant un aplatissement définitif. On sait que,
[)0ur une masse fluide, de densité o, tournant avec une vitesse angulaire
03, il existe une certaine valeur du rapport

L\ VOIE LACTÉE ET LV TlltOltlli UES GAZ

jG3

au delà Je laquelle la force centrUugc à l'équaleur l'emporte sur
l'attrat lion : la figure (ré(|uilil)re currespondante est très aplatie, et,
au delà, il n'y a plus de li<,Mire déquilihre stable. Comme, pour la
Noie lactée, la densités est extrêmement l'aiMe. la vitesse, angulaire
limite r.) sera très l'aihle aussi : elle correspondiait (environ à un tour

complet en joo millions d'années, soit - de seconde d'arc par siècle.
Ln tel mouvement échapperait, bien entendu, complètement à Tobscr-
valion : nous ne [)ourrions, en elTct, nous en apercevoir qu'en visant
des nébuleuses exicricurcs à la Voie lactée et ne participant pas à sa
rotation (de mèaie que nous nous apercevons du mouvement diurne
de la Terre en visant les étoiles fixes extérieures à la Terre). Or, outre
que le mouvement à mettre en évidence est extrêmement petit, les
pointés sur les nébuleuses sont fort peu précis.

Tl y a encore une autre hypothèse qui consiste à regarder la Voie
lactée comme une nébuleuse spirale !' . Considérons une masse
gazeuse animée d'un mouvement de rotation de plus en plus rapide.
Au début, la rotation étant nulle ou très l'aible, la figure de la masse
ga/.euse est spbérique ; la rotation s'accélérant, elle s'aplatit et prend
une forme analogue (^) à l'ellipsoïde de Mac-Lu iu\ ; la rotation de-
venant encore plus rapide, l'aplatissement augmente, et la figure de-
vient analogue à l'ellipsoïde de Jacoiu. Si la rotation s'accroît encore,
la force centrifuge aux deux extrémités du grand axe viendra a
l'emporter sur l'attraction, et la matière s'échappera en deux jets à
ces deu\ sommets : ces deux jets prendront évidemment une lorme
spirale, en vertu du principe des aires, Vaile marchante prenant un
retard sur le pivot. Ainsi, la masse gazeuse olVrira l'image d une nébu-
leuse spirale, ses molécules représentant les étoiles dont se compose
cette nébuleuse. Il ne paraît donc pas impossible d'expliquer les
formes spirales des nébuleuses en ne faisant intervenir que la loi de
gravitation et des considérations statistiques rappelant celles de la
théorie des gaz.

(M Les nébuleuses spirales, quoiqu'irrésolul^les, offrent un speclre coiilinu.
Aussi les cnnsiilère-t-on généralement comme formées d'une mulliludo d'éloilcs
que leur éloignement empêche rie distinguer. Elles seraient, en quelque sorte,
d'autres voies lactées situées à des distances immenses.

f-) Nous disons rmalorjue, car l'existence des (ignres ellipsoïdales do Mac-I^aibi.n
et de Jacohi Ji'a été démontrée 'n° 47 cpie pour une masse lluide liomogène, et
noire ga/ ne l'est pas.

jg/. HYPOTHÈSES COSMOGOMQliES

199. Reprenons la comparaison de la Yole laclée avec nne masse
gazeuse. Si cette comparaison était tout-à-fait exacte, les vitesses des
molécules, c'est-à-dire des étoiles, devraient être distribuées confor-
mément à la loi de Maxwell : par suite, dans une région quelconque
du Ciel, les mouvements propres des étoiles qui peuplent cette région
devraient nous paraître dirigés indifléremment dans tous les sens
d'une façon parfaitement irrégulière (abstraction faite d'une même
composante dne au mouvement de translation du système solaire vers
l'apex). Or, ce n'est pas ce qui arrive : les mouvements propres des
étoiles d'une même région ont une tendance marquée à marcher dans
deux (Ureclions dilJercntes. M. Kapteyn conclut de cette observation
qu'il existe deux essaims d'étoiles, deux courants, ayant chacun une
translation d'ensemble déterminée et se pénélrani mutuellement : à
chacun de ces deux essaims, pris séparément, la loi de M.^xavell
s'appliquerait; mais les deux courants paraissent s'ignorer l'un l'autre.
On peut les comparera deux jets gazeux de directions difl'érentes qui
viennent à se rencontrer. Ces deux jets ne se mélangent pas tout de
suite : au début, les molécules des deux espèces de gaz n'ont pas
même vitesse moyenne; mais, au bout de peu de temps, les deux
jets gazeux se mélangent et ne forment plus qu'une seule masse. Si
les deux courants d'étoiles qui constituent la Voie lactée sont restés
distincts, c'est qu'ils n'ont pas encore eu le temps de se confondre en
un seul : le temps nécessaire à ce mélange, excessivement coiat pour
les deux jets gazeux, est au contraire énorme pour les cornants
d'étoiles, parce que, pour ces courants, le « parcours moyen » est
très grand et les « chocs » très rares ; or, ce sont les chocs entre
molécules gazeuses qui amènent le mélange des deux jets. La \oie
lactée n'aurait donc pas encore atteint cet état d'équilibre statistique
qui permettrait de l'assimiler à un gaz.

Dans la théorie des gaz, la loi de Maxwell assigne aux molécules
les plus grosses les plus faibles vitesses, et aux molécules les plus
petites les plus grandes vitesses. Les étoiles les [ilus petites devraient
donc olTrir les plus forts mouvements propres. En particulier, les mé-
téorites, qui sont des astres très petits, devraient posséder des vitesses
énormes ; or, les bolides ont bien en général des vitesses hyperboli-
ques, mais ces vitesses sont presque toujours peu supérieures à la
vitesse parabolique ; il faut donc conclure que les météorites n'ont
pas encore eu le temps de prendre ces vitesses énormes que leur

LA VOIE L\f:TLn r.l I.A TlIliOlUE DES GAZ

a or»

assigne la lliéoric, et on est do nouveau amené à penser fjue la ^ oie
lactc'e n'a pas encore atteint son état d équilibre.

200. Vu\ doux essaims d'étoiles de .M. Km'tevn, Scuiai'ARF.li.i
adjoint un troisième essaim dont le Soleil ferait partie. La Noie lactée,
d'après lui, se composerait donc de trois essaims ayant chacun leur
translation d'ensemble. Les comètes seraient des membres infimes de
ce troisième essaim. Ce serait pourcela cpie nous n'observerions [)as de
comètes nettement hyperboliques, pnis(|ue les comètes faisant partie
de notre essaim auraient, en gros, le même mouvement de translation
que nous. Scni vi'ahei.li s'écarte ainsi de lopinion générale, d'après
laquelle les comètes appartiennent au système solaire.

Lorsqu'une étoile ne présente pas de mouvement [)ropre sensible,
on en déduit habituellement qu'elle est très éloignée. Schiaparelu en
tire une autre conclusion. Il la considère comme appartenant au troi-
sième essaim ; son absence de mouvement propre proviendrait
simplement de ce qu'elle possède à peu près la même translation que
le Soleil, translation qui ne dilTère pas sensiblement de celle du troi-
sième essaim.

CHAPITRE XIII.

FORMATION DES NÉBULEUSES SPIRALES D APRÈS M. SEE.

201. Dans l'Ouvrage que nous avons déjà cité('), M. See s'est
occupé de la l'ormation des nébuleuses, en particulier de l'origine des
nébuleuses spirales.

Imaginons deux nuages cosmiques N, N' à peu près égaux et cbe-
minant en sens inverse ffig. \\,i). Lorsqu'ils viennent à s'approcher
l'un de l'autre, leurs extrémités les plus voisines s'allongent l'une vers

2

JiO- 4i.

l'autre par sTiite de l'attraction mutuelle r/7^. /|i.2) et peuvent même
finir par se réunir ffuj. /|i,3) en un seul corps, vers le milieu duquel
l'attraction, jointe aux frottements, tendra à produire une condensa-
tion, une sorte de noyau central. Les deux nuages primitifs N,N' tour-
neront dans le sens des flèches autour de ce centre, comme deux ailes
de moulin.

Telle serait, d'après M. See. l'origine des nébuleuses spirales. Le
noyau central aurait tendance à s'enrichir de plus en plus aux dépens
de la matière des deux branche spirales X,N'. On voit donc que, pour
M. See, le mouvement de la matière, dans les deux bras de la nébu-
leuse spirale, serait centripète, et non centrifuge, contrairement à
l'opinion habituelle. Que le mouvement soit d'ailleurs convergent ou

(') T. .T. .T.' See : Researclies on Ihe Eoohilion. of ihe stellar Systems, vol. II : TIte
capture Tlieory of cosinical Evolution. Cl». XIX.

268

HYPOTHESES COSMOHOMOUES

divergent, la loi des aires explique aussi bien dans les deux cas le
retard de l'aile marcliante sur le pivot, c'est-à-dire la forme spirale
des deux ailes.

Il peut arriver que les deux extrémités des deux nuages N, N' qui
s approchent l'un de l'autre ne se réunissent pas, mais soient seule-
ment déviées par l'attraction : alors la phase qui suit la phase 2 de la
figure 4i n'est pas la phase 3, mais la phase [\ (fig. [\'2), puis la
phase 5. ÎNous assistons à la naissance d'une nébuleuse annulaire
telle que la nébuleuse de la Lyre. M. See voit dans les deux parties
floues diamétralement opposées que présente l'anneau de la Lyre un
argument à l'appui de cette diéorie : les extrémités des deux nuages
A, N' ne se seraient pas parfaitement soudées.

Une nébuleuse annulaire se forme donc, d'après M. See, par le
même mécanisme que les nébuleuses spirales, dont elle se trouve
ainsi être en quelque sorte un cas particulier. Mais la forme annu-
laire est fort rare, parce que les conditions de formation d'un anneau
parlait ne sont pas souvent réalisées.

On peut faire à cette théorie une grave objection. Les deux bras
d'une nébuleuse spirale sont en général à peu près symétriques. Dans
l'hypothèse habituelle où l'on suppose le mouvement sur ces bras
divergent, cette symétrie peut s'expliquer puisque les deux bras ont
une origine commune. Dans l'hypothèse de M. See, on ne voit aucune
raison pour en rendre compte, car les deux nuages cosmiques j\ et N'
qui engendrent la nébuleuse et qui se sont rencontrés par hasard, ne
seront pas égaux en général : ils devraient donc donner naissance à
une nébuleuse dissymétrique.

202. M. See [)ense qu'à l'origine le système solaire était une nébu-
leuse spirale d'une grande extension. La matière, à son intérieur,
s'est d'abord agglomérée en particules qui, la résistance de milieu
aidant, par le mécanisme exposé au Chapitre VI, se sont condensées

FORMATION DKS Nl'jSLLELSLS SFIUALES u"\l>HÈS M. SEK a(jy

en astéroïdes, puis en [)lanèles, celles-ci se nouriissaiil par homhar-
dement (').

Par analogie, M. See esl amené à croire que les nébuleuses spirales,
moins avancées dans leur évolulidu (pie le syslème solaire, sont rem-
plies d'un très grand nombre d'aslres 1res pelils comme les planètes
ou même la Lune. Si nous ne pouvons pas « résoudre » ces nébu-
leuses, ce serait à cause de la petitesse extrême des composantes, et
non pas parce que ces objets célestes sont excessivement éloignés :
M. Boulin a essayé de mesurer la parallaxe de la nébuleuse d'yVndro-
mède (qui est une nébuleuse spirale à spectre continu), et il l'a trouvée
égale ào",i7, de sorte que cette nébuleuse serait relativement très
près de nous. Mais, étant donné le peu de précision que comportent
les pointés sur les nébuleuses, doit-on considérer cette observation
comme définitive et certaine ?

('j ^I. See voit, dans les cralcres lunaires, les cmpreititcs d'un bombardement
produit à la surface de la Lune par la chute d'un grand nombre de petits satellites.
Il compare ces cratères aux empreintes laissées par de grosses gouttes de pluie sur
le sol [loc. cit , p. 3'j3, Planche XII).

CHAPITRE XIV.

HYPOTHÈSE DE M. É. BELOT.

203. Selon M. E. Belot (' , les chocs et les lourbillons jouent, en
Cosmogonie, un rôle essentiel et son! les deux facteurs principaux
de la formalion des mondes. La production efTectivc de chocs dans
l'univers cosmique nous est prou\ée par l'apparilion des \ovac ;
quant aux mouvements tourbillonnaires. les nébuleuses spirales nous
montrent qu'ils existent réellement dans la nature.

Le système solaire, dans la théorie de M. Belot, serait dû au choc
d'un lube-lourbillon contre un nuage cosmique. Autrement dit, une
nébuleuse animée d'un mouvement tourbillonnaire, venant heurter
une nébuleuse amorphe, s'\ serait épanouie et transformée en notre
système solaire.

Lord Kelvin et ^L J.-.L TnoMS(i\ ont monlié qu'un tourbillon se
comporte comme un corps élastique : il est susceptible de vibrer sous
un choc. Il possède une stabilité telle qu'elle va parfois jusqu'à la
rigidité rigidité gyrostatique).

Imaginons, avec M. Belot, qu'une nébuleuse ayant la forme d'un
tube-tourbillon vienne heurter en B un nuage cosmique AÂ', à la
façon d'un obus frappant une plaque de blindage, comme il est repré-
senté sur la figure ^3 que nous empruntons à r(Juvrage de M. Belot.
Par suite du choc, le tube, en vertu de son élasticité virtuelle, va se
mettre à vibrer longitudinalement ; cette onde longitudinale, se réflé-

(' É. Belot : Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 1905-1906-1908; —
RuKelin de la Société astronomique de France 1907 ; — Journal de l'Ecole
Pol\ technique 1908 ; — Comptes rendus des Congrès tenus en rqoS et en
1909 par l'Association française pour l'Avancement des Sciences.

M. Emile Bei ot a rassemble et développé ses idées cosmogoniques dans un
Ouvrage intitulé : Essai de Cosmogonie lourbillonnairc (Paris, (laulliior-Xillars,
191 1 , I vol. in-8''j.

IIYl'OTHESES COSMOGONIQUES

chissant i\ l'exlrémité postérieure du projectile, donnera lieu à une
onde stationnaire, de telle façon que nous aurons, le long du tube,
une série de nœuds et de ventres équidislanis. Chaque ventre viendra
à son tour frapper le nuage cosmique AÂ'.

fuj. /i3.

Le tourbillon primitif serait l'origine du Soleil, les ventres seraient
l'origine des dilïérentes planètes. Quant aux molécules du tourbillon,
elles ne peuvent quitter celui-ci en majeure partie qu'aux ventres où le
rayon est dilaté, et elles décrivent alors des spires s'épanouissant sur
nne surface évasée, appelée nappe loiirbillonnaire.

Prenons pour axe des c la direction Z'OZ de la translation du

IIVI'OTIIKSE DE M. !.. liri.OT

373

touibillon clans le nuage cosmique, direction qui n'est autre que
celle de l'apex. Le plan des x y, oblique à l'axe des z, sera pris
parallèle à l'écliptique, auquel M, Belot suppose que le plan de rota-
tion du tourbillon pritiiitif était parallèle.

Une molécule quelconque M d'une nappe lourbillonnaire subit de
la part du nuage cosmique une résistance de milieu qu'on peut
supposer proportionnelle au carré de la vitesse. Gomme la vitesse
avec laquelle le lubc-tourbillon est venu frapper la nébuleuse amorpbc
est excessivement grande (M. Belot estime, peut-être un peu arbi-
trairement, qu'elle serait de l'ordre de 70000 kilomètres par seconde),
la composante

V .-= ''^

dt

de la vitesse de M paralèllemcnt à OZ est incomparablement supérieure
à ses autres composantes ; la résistance opposée au mouvement, qui
est supposée proportionnelle au carré de la vitesse, est assez
grande pour que l'on puisse négliger devant elle toutes les autres forces ;
si bien que l'on peut écrire

dt- — k. \dt ) '

jv- désignant le coefficient de la résistance proportionnelle au carré de
la vitesse. Cette équation s'écrit

ou encore

Intégrant, il vient

(0'

dt — Iv,

dl , f/V

/_!___ I

K' \' — ~ ^\

W, désignant la valeur initiale de la vitesse de translation V à l'instant
(/ ^ oj du choc.
Nous pouvons aussi, de l'équation (i), tirer la valeur de c : nous avons

d\ = — ,.- \^àt
= — ,-' \d: ;

Poi.XCARK. 18

•274 HYPOTHESES COSMOGONIQUES

par suite

€t

rfz = — kj -y

(2) Z = K,l0g^-^',

nous avons pris, comme plan z = o, celui du choc, pour lequel
V= W,.

Mais, dans le tourbillon primitif, chaque molécule décrit une
hélice ; par suite, si ù est l'angle mesurant, dans le plan XOY,
l'azimut de la molécule, on peut écrire

(3) z = BK.û,

en appelant BK, un coefficient constant.

M. Belot admet que cette équation (3), qui représente la trajec-
toire hélicoïdale avant le choc, reste encore satisfaite après le choc
dans la nappe tourbillonnaire qui émane du tourbillon : mais les
hélices décrites dans la nappe auront un rayon B de plus en plus

grand, en raison de la vitesse d'expansion radiale - dont nous allons

nous occuper.

L'équation (3), différentiée en /, donne

dz chî

ou

(5) V = BKjW,

en appelant

dÇi

la vitesse angulaire delà molécule M.

204. Etudions, avec M. Belot, \q profil de la nappe tourbillonnaire
qui s'épanouit et s'évase en forme de tulipe. Cette tendance à l'épa-
nouissement est due principalement à deux causes ; d'une part, à
l'impulsion radiale presque instantanée qui, dans le choc, porte le
rayon du tourbillon (à un ventre) de sa valeur initiale a à une
valeur plus grande a + £ ; d'autre part, à une force répulsive due à

UYPOTIIKSE DE M. L. IlELOT 37^)

la pression do radialion, le choc ayant dégaj/é une grande quantité de
chaleur et de lumière.

Appelant U la distance (comptée parallèlement au plan \OYj de la
molécule M à l'axe ZZ' du tourbillon, M. Belot pose, peut-être un
peu arbitrairement,

^^'^^ = B.co(K-a),

Bi étant un coefficient constant. La vitesse deNjiansion ,. s'annule

en ellet [)our R = ^/, puisqu'on est alors dans la position primitive du
tourbillon. De cette équation nous tirons

R

ce qui s'écrit, d'après l'équation {^),

^^ ^ ^L d~

R — a ~ HK ,

Telle est l'équation qui relie le rayon H de la section circulaire de la
nappe, à l'ordonnée z. C'est, si l'on veut, l'équation dilTérentielle du
profd de la nappe.
Intégrant, il vient

(6) z = -j3-log-^.

£ désignant la valeur initiale du renflement R — a du tourbillon au
ventre considéré.

Dans ce calcul, M. Belot n'a pas tenu compte de l'attraction, qui
devient cependant très prépondérante dès que le Soleil a commencé à
se former. Dans un calcul plus exact, il y aurait sans doute lieu
d'introduire cette attraction. En elTet, dans les calculs précédents,
nous avons traité les difl'érentes masses, comme si elles étaient indé-
pendantes et on ne voit pas bien pourquoi elles se trouveront finale-
ment à peu près dans un même plan (celui de l'écliptique). Si les
calculs de M. Belot le conduisent à expliquer en apparence ce fait
important, c'est par suite d'hypothèses qui paraissent mal justifiées,
et auxquelles l'Auteur n aurait jamais songé, s'il n'avait pas connu
ce résultat d'avance. Au contraire, en tenant compte, dès le début,
de l'attraction solaire, on arrive tout naturellement au même but.

2^6 HYPOTHESES COSMOGOMQLES

205. Comparons les équations (2) et (6). En posant

B —"'

nous aurons

ce qui peut s'écrire

log — ^ — = b log y »

V''(R — «) = const.

ou encore, puisque d'après l'équation (5) V est proportionnel à oj,

co'' (R — a) = const.

Cette formule correspond, dans la période de formation du système^
à la troisième loi de Kepler, sur laquelle on retombe en faisant a = o

(condensation finale du tourbillon) et 6

206. M. Belot cherche quelle sera la loi des distances planétaires^
C'est la relation (G) entre r et R qui va nous renseigner à ce sujet.
Cette relation nous apprend que le profil de chaque nappe est une-
courbe logarithmique. Chacun des ventres va être l'origine d'une
nappe venant couper l'écliptique suivant un cercle, et chaque nappe
donnera naissance à une planète.

Comme, par hypothèse, les différents ventres sont équidistants sur
le tube-tourbillon, nous devons donner à z dans la formule (6) des
valeurs en progression arithmétique. Il en résulte, pour R — a, des
valeurs en progression géométrique. C'est la loi exponentielle des
distances planétaires, analogue à la loi de Bode.

La formule donnée par M. Belot est (en unités astronomiques) :

xn — 0.28 = / ,- • 1,883",

au lieu de celle de Bode

x,i — o,li = 0,3 . a".

Une difficulté se présente ici : au moment de la formation des pla-
nètes, la nébuleuse n'était sans doute pas encore condensée. Pendant
la condensation, la loi d'attraction a varié, et, comme nous l'avons-

HYPOTIIi;SE DE M. lO. IIELOT 2nn

expliqué à propos de la llicorie de Faye, les distances des planètes ont
dû varier également. La question est de savoir si la loi de 13oi>e, si
on la suppose vérifiée à l'origine, a pu rester vraie pendant cette
variation.

207. Nous allons écrire, avec M. Beloï, la condition pourquc toutes
les nappes arrivent simultanément dans le plan de l'écliplique.

Appelons Y„ la vitesse de translation de la nap[)c de rang n au
moment où elle arrive dans l'écliptique, W„ sa vitesse de translation
au contact du tourbillon en Z„. Soient /„ le temps mis par la nappe
■de rang n à venir de Z„ à l'écliplique ; t,, le temps mis par le tour-
billon primitif à aller du plan Z„ au plan Z„_ i. Il faudra qu'on ait

D'après l'équation (i) on aura

"■\ "71 " n— 1

Les tn satisfont à l'équation (2) qui peut s'écrire d'après l'équa-
tion (1)'

/W
z = K, log i^-^t-^i

ou

on a donc

^.-^,=.K.

<9) -^1,-^1=6^^^=6^'^

(10) ^'''=i^,_, + i=e^^ =e 1^1 .

Eliminant /„, tn-i, ~n entre les quatre équations (7), (8), (9), (10),
on trouve

J'ai dit plus haut que les hypothèses qui servent de point de dé-
part à ce calcul me paraissent un peu arbitraires, et qu'en tenant

278 HYPOTHÈSES COSMOGONIQUES

compte dès le début de l'attraction solaire, on arriverait à une expli-
cation toute naturelle.

208. Mais comment chaque nappe tourbillonnairc va-t-elle donner
naissance à une planète? Revenons à la figure /|3. Supposons que
la nébuleuse amorphe AA' possède elle-même vme vitesse de trans-
lation perpendiculaire au plan de la figure et dirigée d'arrière en avant.
La rotation du tourbillon étant supposée de sens direct, il y aura
maximum de conflit de vitesse précisément dans le plan ZOX de la
figure, et du cùté OX, puisque, en cet endroit, la vitesse tangentielle
des nappes sera directement opposée à la vitesse transitoire de la
nébuleuse.

C'est donc vers OX que les nappes se transformeront en tourbillons
planétaires. Telle est, d'après M. Belot, l'origine des planètes.

Quant aux satellites, ils sont formés par le tourbillon planétaire,
de même que les planètes ont été formées par le tourbillon principal.

209. Sur la figure /(3, nous voyons que les profils des nappes suc-
cessives coupent, sur OX, l'écliptique sous certains angles ; et ces
angles se trouvent coïncider sensiblement avec ceux que les axes de
rotation des planètes font avec l'écliptique ('). Cette coïncidence
s'explique, puisque, dans la théorie actuelle, on admet que les tour-
billons planétaires se sont tous formés du côté OX et que l'axe de
chaque tourbillon est resté tangent à la nappe correspondante.

La position de l'axe d'Lranus, presque couché dans le plan de
l'écliptique, est expliquée de la façon suivante : la projection rapide
du tourbillon principal ZjjXja dans le nuage cosmique aurait déter-
miné la formation d'un lore-toiirbillon analogue à un anneau de fumée ;
c'est cet anneau-tourbillon qui aurait engendré Uranus.

210. Disons encore qu'à la loi des (Jlslances et à la loi des inclinai-
sons, M. Belot joint une loi des rotations, c'est-à-dire une formule
donnant la durée de rotation (directe) d'un astre du système solaire,
en fonction de son diamètre et de sa densité.

M. Belot essaie enfin, par un mécanisme analogue (nébuleuse
tourbillonnairc venant frapper un nuage cosmique), mais en variant

(') La dislance BO est inconnue à priori : or, les angles eii question défendent
évidemment de celle dislance ; c'est précisément comme conséquence de la loi des
inclinaisons que M. Belot la trouve égale à Si ravons de l'orbite terrestre.

HYPOTin:SE DE M. K. BELOT a'Ql

de différentes façon les conditions initiales, d'expliquer la formation
des différents systèmes sidéraux (étoiles multiples, nébuleuses spi-
rales, ...) que nous offre l'observation du ciel. Pour ces points, nous
renverrons aux Ecrits de l'Auteur.

211. Quelles que soient les critiques que nous ayons cru devoir
formuler sur divers points de celte théorie, cette tentative mérite l'at-
tention. Si on peut reprocher à M. Belot d'avoir été un peu plus
ambitieux qu'il ne convient de l'être dans l'état actuel de la Science
et d'avoir voulu prématurément trop embrasser, et si ses idées ne
semblent pas pouvoir être acceptées sous leur forme actuelle, il semble
qu'il peut être utile de les faire connaître, parce qu'on pourra un jour
v trouver à glaner d'intéressantes vérités.

TABLE DES MATIÈRES.

Paces

Préface

CHAPITHE PREMIER.

HYPOTHÈSE DE KA>T.

I. Chaos iriilial. sa cli(T<Tcntiation — 2. Formation du Soleil et des planètes
— 3. Rotation directe des planètes — '|. Anneau de Saturne — 5. Co-
mètes — 6. Critique de riiypothèse de K\>t

CHAPITRE II.

HYPOTHÈSE DE LAPLACE.

7. iSchuleuse de Laplace — S. Formation des anneaux — 9. Rupture des
anneaux, formation des planètes et des satellites — 10. Comètes — 11.
Lumière zodiacale — 12. Egalité des durées de rotation et de révolution
de la Lune — i3. Satellites de Jupiter

CHAPITRE III.

ANALYSE DE l'iITPOTHÈSE DE I.APLACE. TRAVAUX DE ROCnE.
ÉTCDE DE LA STABILITÉ d'lS ANNEAU. FORMATION DES SATELLITES.

I. Surfaces de niveau.

ï^. Méridiennes des surfaces de niveau de la nébuleuse de Lai'lace — i5.
Points de ces méridiennes où la tangente est perjiendiculaire à Taxe de
rotation — lO. Abandon d'aimeaux dans le plan équatorial par suite de
la condensation i5

II. Nécessité dt; Vliypothèse d'une condensalion centrale.

17. Abandon d'anneaux par une nébuleuse dépourvue de condensation cen-
trale — 18 Calculs de M. FoucuÉ — nj. Limite inférieure de la densité
d'un anneau 18

HVPOTHliSES COSIIOGOMQLES

III. Formation successive des anneaux.

20. Condition de formation d'un anneau — ai. Discontinuité de l'abandon
de vapeurs dans le plan équalorial par suite de la non-uniformité du
refroidissement — 22. Cause de la non-uniformité du refroidissement —
33. Signification de la loi de Bode — 24. Formation d'anneaux inté-
rieurs, d'après Roche 23

IV. Discussion de lliYpothèse d'une rotation iinifornie.

25. Faiblesse de l'influence du frottement pour de grands volumes fluides

— 26. Distribution adiabalique des rotations dans une masse fluide tour-
nant autour d'un axe — 27. Surfaces de niveau dans une masse fluide
tournant autour d'un axe, lorsque la vitesse angulaire varie avec la dis-
tance à l'axe — 28. Cas particuliers de la distribution uniforme et de la
distribution adiabatique des rotations ; la distribution adiabatique est
incompatible avec la formation d anneaux de Laplace 28

V. Elude de la stabilité d'un anneau. Anneaux de Saturne.

29. Ilypotbèses diverses sur la constitution des anneaux de Saturne — 3o.
Rejet de l'hj'pothèse d'anneaux solides par Lapi.ace et par IIirn — 3i, Sa,
33, 34. Calculs de Maxwell relatifs à riivpotlièsc d'anneaux constitués
par une multitude d'astéroïdes indéjjendants — 35. Extension au cas d'un
anneau supposé fluide; limite supérieure de la densité d'un anneau fluide

— 3(5, 3", 38. Limite inférieure de la densité d'un anneau fluide ... 35

VI. Rupture des anneaux de Laplace. Formation des planètes.

3g, /40. Instabilité des anneaux de Laplace — lii. Leur rupture — \'j.

Cause de la rotation directe des planètes : efTet des marées internes . . ic)

VIL Formation des satellites.

43. Les nébuleuses planétaires sont comparables à la nébuleuse solaire, mais
sous de moindres proportions — /j'|. Etude d'une nébuleuse planétaire
tournant sur elle-même dans un temps égal à celui de sa révolution
autour du Soleil — 45. Equilibre d'une masse fluide bomogène animée
d'une rotation uniforme, soumise à l'altraction muluelle de ses parties, et
à l'attraction d'un astre perturbateur éloigné — /((l. Représentation géo-
métrique — fi-j. Cas particulier oi'i l'astre perturbateur a une masse nulle;
figures d'équilibre de Mac-Laurin et de .Lvcoiti — 48. Cas particulier oîi
l'astre perturbateur a une masse très grande; application aux satellites de
Jupiter — • 4(). Equilibre d'une masse fluide présentant une forte conden-
sation centrale — 5o. Limites supérieures des dislances ties satellites aux
planètes, d'après Roche — 5i. Origine de la Lime d'après Roche — .")2.
Ij'anneau de Saturne ne s'est pas transformi'- en satellite, parce que.
d'après Iîoche, à une aussi faihle distance de la planète, une masse fluide
ellipsoïdale n'aurait pas pu être en équilibre .,,.,,.,. 5*

TAni.E DES M.VTIlinES

^III. Objections à la théorie de Laplace.

a8S

53. Sens direct de rotation des planètes — 5'|. Longueur du temps néces-
saire à la transformation d'un anneau en une masse planétaire unique,
objection de M. Kihkwooh — 55. Grande dislance de la Lune à la Terre
et faible dislance du premier satellite de Mars et de l'anneau intérieur do
Saturne — 50. Satellites à révolution rétrograde 64

CILVPITRE n .

HYPOTHÈSE DE H. TAYE.

57. Conception de IL Faye sur la nébuleuse primitive — 58. Différence
avec la conception de Laplace — 5i). Loi de la force centrale ^ariable
avec le temps, d'après IL Faye — 60. Période directe et période rétro-
grade — 61. La Terre, dans l'hypothèse de Faye, serait plus vieille que
le Soleil — 6:>. Comètes — 1)3. Planètes directes et planètes rétrogrades,
satellites à révolution rétrograde — ti'i. Une planète, soumise à une force
centrale dont la loi varie lentement avec le temps, conserve une orbite
circulaire, si celte orbite est inilialcmenl circulaire — 05. Cas particulier
dune force centrale inversement proportionnelle au carré de la distance,
le coefficient de proportionnalité variant a\ec le temps — GO. Distances
initiales des planètes au Soleil, d'après Faye 69

CHAPITRE V.

HYPOTHÈSE DE M. DU LI(;OM)ÈS.

67. Le chaos initial, d'après M. du Licondès — 0'^. La théorie de ^L du
LiGONDÈs n'est pas, comme celle de Kant, en conlradiclion avec le prin-
cipe des aires — Ot). Somme arithmétique et somme géométrique des
moments des quantités de mouvement — 70. Les chocs qui se produisent
dans la nébuleuse chaotique ont |)our double cHct une concentration et
un aplatissement de cette nébuleuse — 71. L'aplatissement, une fois
commencé, va s'accentuer — 72. Tendance des trajectoires des projectiles
à devenir et à rester circulaires — 73. Paradoxe a])parcnt qui résulte de
la comparaison de la théorie de ^L du Ligo>dès avec la théorie cinétique
des gaz — 74. Théorème du viriel — jj. Application à un gaz renfermé
dans un vase, loi de ^L\R10TTE et de Gay-Lussac — 7O. Application à la
nébuleuse de ^L du Lkjoxdès, tendance à la concentration — 77. Loi de
répartition des vitesses dans la théorie cinétique ; mouvement d'un li-
quide, probabilités — 78. Heprésentation du mouvement d'un svstème
matériel à ;i degrés de liberté par le mouvement d'une particule en sus-
pension dans un liquide incompressible dans l'espace à 2 n diinensions.
Postulat de Maxwell — 71). Cas où les équations du mouvement ad-
mettent des intégrales premières: densilés llctives — 80. Application à
un gaz renfermé dans un vase, loi de NLvxvvell pour la répartition des
vitesses des molécules — 81. Extension de la loi de Maxwell au cas
d'une masse gazeuse libre — 82. Frottement et conductibilité thermique
dans une masse gazeuse — 83. Application à la nébuleuse de ^L nu Li-
GONDÈs ; chocs véritables et demi-chocs — 8'j. Hi''le des demi-chocs —
85. Sens de rotation des planètes — 86. Considérations diverses ... 83

Paffes

•284 inPOÏIlèsES COSJIOr.OMQLES

CHAPITRE M.

llYl'OTIlKSi; DK M. SEE.

87. Pour M. See, les planètes ont été captées par le Soleil, et la Lune [lar
la Terre — 88. Effet d'une résistai. ce de milieu sur le mouvement d'une
planète; variation du grand axe et de l'excentricité de l'orbite — 89.
Effet séculaire — 90. La diminution séculaire de l'excentricité peut se
prévoir sans calculs — 91. Capture des planètes par le Soleil — 92.
Capture des satellites par les planètes — 98. Tentative d'explication du
sens direct des mouvements des astres du svstèmo solaire et de la faible
inclinaison de leurs orbites , 117

CHAPITRE Yll.

THÉORIE DE Sni G. -H. D.VUWIN.

I. Gcncralik's.

•94. Effet du frottement des marées; ralentissement delà rotation delà
Terre et augmentation corrélative de la distance de la Lune — 95. Accé-
lération séculaire du movcn mouvement de la Lune i3i

II. L'exceiitricilé cl rincVinaison de l'orbite lunaire sont suppost'cs nulles.

96. Alarées internes aux époques reculées où la Terre était encore fluide — -
97. Si l'excentricité de l'orbite lunaire a été initialement nulle, elle le
restera toujours — 98. Le moment de rotation du système formé par une
planète et son satellite demeure constant, son énergie mécanique décroit
sans cesse — 99. lîepréscntalion géométrique ; dIscus>ion — 100. Cas du
système Terre-Lune — loi. Diminution du moment d'inertie de la Terre
par suite du refroidissement — 102. Cas des diverses planètes et de
leurs satellites; cas du Soleil et de l'ensemble des planètes i33

III. Cas (jt'ncral.

io3. Rappel de la tbéorie statique des marées ; dénivcll.ilion statique —
10^. Expression de la dénivellation statique — io5. Légitimité de la
théorie statique — 106. Mise en compte de la ^iscosité — IC7. La visco-
sité doit être considérée comme faible — 108. Développement Irigono-
métrique de la dénivellation statique — 109. Expression du potentiel
perturbateur dû à l'attraction sur un point extérieur du bourrelet liquide
soulevé par la marée • — iio. Variation des éléments lunaires sous l'action
perturbatrice de la marée solaire — iii. Variation des éléments lunaires
sous l'action perturbatrice de la marée lunaire elle-même — ii3. Effets
séculaires — 11 3. Termes à conserver dans le potentiel producteur de la
marée — ii'i. Transformation de ces termes — iiô. Tableau rccajtitidatif
— 116. Equations donnant les variations du grand axe, de l'excentricité
et de l'inclinaison île l'orbile lunaire — IJ7- E<(uations donnant les varia-
tions des éléments terrestres — i 18. Récapitulation des étpialions — 1 19.
Variations de la rotation terrestre et de la dislance moyenne de la Lune

TABLE DES MATIÈUES 28S

— I30. ^arialion de l'cxccnlricilô de l'orbilc lunaire — lai. \arialion
de rincliiiaisoii de l'orbite lunaire sur l'éciuatcur — 132. Durée probable
de l'évolulion — i23. Calcul du cociTicieiit de viscosilé de la Terre —
13^, i;j5. Ilétablissemetit des cocllicienls île proporlionnalilé — 126.
Comparaison entre l'action retardatrice de la Lune sur la Terre et l'action
retardatrice de la Terre sur la Lune : cette dernière a pu être 33 000 fois
plus forte que la premiùre — 127. Système fornu' par le Soleil et les
piînèles l!^^

IV. liijlucncc accclcrutricc du refroitlissemcnl.

128. !Mise en compte de l'innucncc accc'lèratrice du refroidissement: loi
particulière de refroidissement — 129 Ap[)licution à l'cvolution d'une
nébuleuse planétaire — i3o. Pour la rotation terrestre, l'inlluence accé-
lératrice du refroidissement est très faible vis-à-vis de l'influence retar-
datrice de la marée — i3i. Inlluence retardatrice de la pluie météorique. 180

V. Ihpotlù'SC sur la formalloii de la Lune^.

i32. Formation possible de la Lune aux dépens de la Terre i)ar suite d'une
exagération de l'amplitude de la marée, due à un phénomène de résoti-
nanco — • i33. Figures d'équilibre d'une masse fluide homogène en rota-
tion : ellipsoïdes de Mvc-Lauiux et de Jacobi — \'i!\. Fonctions de Lamé

— i35. Figures d'équilibre inliniment voisines des figures ellipsoïdales

— i3G. Stabilité des figures d'érpiiiibre — 137. Ucfroidisscmcnrconlinu
et contraction d'une masse lluide homogène : elle arrive à prendre une
figure piriforme — i'38. Formation possible, par ce processus, du système
Terre-Lune et de certains systèmes d'étoiles doubles i8.'»

CHAPITRE MIL

scR l'origine de la chaleur solaire et de La chaleur terrestre.

I. Chaleur solaire.

i3(). N alenr de la constante solaire; taux annuel du refroidissement du
Soleil ; dissipation de sa chaleur — l'io. Hypothèse chimique — i^i.
Hypothèse météorique — i42, i/i3, i^A- Difficultés qu'elle soulève - —
iA5. Hypothèse de Helmholtz ; contraction d'une sphère gravitante homo-
gène — 1:^6. Provision de chaleur emmagasinée par le Soleil; âge du
rayonnement solaire — • 1^7. La densité du Soleil n'est j)lus supposée
constante — i'|8. Etude de la chaleur spécifique ; la chaleur spécifique
peut, sous de fortes pressions, devenir très considérable ; cas où le Soleil
est assimilé à un fluide parfait — i'i9. Pour qu'un globo chaud qui
rayonne s'échaufle en perdant de la chaleur, il faut que sa chaleur spéci-
fique, dans les conditions considérées, soit négati^e — iSo. Cas où. le
Soleil est assimilé à un solide élastique parfait — i5i. Si le Soleil est
visqueux, sa contraction détermine une véritable création de chaleur —
102. La dissociation chimique des matières centrales du Soleil joue le
même rùlc qu'une augmentation de sa chaleur spécifique — iô3. Tem-
pérature du Soleil — i54. DiHicultés de la présente hypothèse. , . . lui

286 IIYPOTIIKSES COSMOGOMQLES

II. Chaleur terrestre.

î55, 156. Calculs de Lortl Kelvin. La Terre est assimilée à un mur plan
indéfini se refroidissant par contact — ■ 167. L'inlluence de la courbure
étant faible, l'assimilation de la sphère au mur plan est assez légitime —
i58. La Terre est supposée partie d'une distribution initiale quelconque
des températures, et arrivée à son état pénultième — 109. Cas où le
refroidissement se fait par rayonnement et non par contact — 160. Le
refroidissement de la Terre s'eiïcclue par sa superficie — 161. Calculs de
M. IluDZKi sur le refroidissement terrestre — 163. Diverses méthodes
proposées pour évaluer l'âge de la Terre — i63. L'énergie solaire est-
elle d'origine radioacti\c.''

m. Equilibre adiabalique cVun (jaz parfait.

r âges

209

i6/j. Une masse de gaz parfait en équilibre adiabatique a un coefTicicnt dn
dilatation négaLif — i65. La chaleur spécifique d'une telle masse est
négative pour les gaz monoatomiques ou diatomiques, positive pour les
gaz polyatomiques — 166. Le Soleil étant très éloigné de l'été t de gaz
parfait, les considérations précédentes ne lui sont sans doute pas appli-
cables — 167. On retrouve les résultats précédents au moyen de la théorie
cinétique des gaz — 168. Une masse gazeuse (monoatomique ou diato-
mique) entièrement libre s'écliaulTe en se contractant, à mesure qu'elle
perd de la chaleur par rayonnement ; ce phénomène est comparable à
celui d'une planète qui se meut dans un milieu résistant — iGi). Il n'est
pas certain que les raisonnements s'appliquent même aux gaz monoato-
miques, lorsque ceux-ci subissent des pressions énormes 321

CHAPITRE IX.

THÉOUIE DE Sin MORJIAN LOCKYER.

170. Sir N. LocKYER distingue parmi les spectres des étoiles trois types dif-
férents : le spectre de la ilamme, le spectre de l'arc, le spectre de l'étin-
celle. Théorie de la « dissociation, des éléments» — ^1^- Evolution
cosmique d'après Sir ^l. Lockyer — 172. Classification des étoiles —
173. Températures des étoiles, d'après M. Nordm.vnn — 17'!. Distribution
des étoiles des dilTérents types dans le ciel 220

CHAPITRE X.

TUÉORIE DE M. SCUUSTER.

175. Si les étoiles gazeuses sont plus chaudes que les autres, c'est que leur
atmosphère joue le rôle d'une serre chaude, laissant passer les rayons
lumineux, mais arrêtant la chaleur obscure — 176. La dilTércnce entre
les spectres des étoiles proviendrait des courants de convection plus ou
moins intenses dont elles sont le siège — 177. Histoire des grandes
•étoiles, d'après M. Scuuster ; absorption finale des gaz légers de l'atmos-
jîhère par la masse centrale a35

TAHI.E DKS M.VTIKUES 387

CHAPITRE \I.

TlILOniE Di; M. AnUHEMLS.

pHt-ea

178, 179. Pression de radiation dans la tliéoric éleclromagn(;li(|ue de la lu-
mière — 180. L'cxislenre de la pression de radiation peut se déduire des
principes de la Thermodynamique — i8i. Pour des particules très petites
situées au voisinage du Soleil, la force répulsive provenant de la pression
de radiation peut l'emporter sur la force attractive due à la gravitation
— 182. Queues des comètes — i83. Couroime solaire. Estimation de lu
quantité de matière météorique qui tombe sur le Soleil — i8/j. Ionisation
des gaz de l'atmosphère solaire. Charge électrique positive du Soleil —
i85. Cause des aurores polaires — i8G. Nébuleuses : leur périphérie
devient lumineuse par suite du bombardement que leur font subir les
particules chargées qui sillonnent l'espace ; leur intérieur nous est com-
plètement inconnu — 187. E\olution des soleils d'après M. AnnnEsius.
Naissance d'une .\ova j)ar le choc de deux soleils éteints — 188. L'Univers
est infini — i8(j. M. Arrheml's cherche à échapper à la « mort calori-
Hque )) que le principe de Caiinot semble assigner à l'Univers — 190.
Démons de Maxwell — iqi. Mécanisme, imaginé jiar M. AnnuEMLS,
par lequel la chaleur que les soleils envoient aux nébuleuses n'élève pas
la température de celles-ci — 192. Ce mécanisme peut-il mettre pour
toujours l'Univers à labri de la loi de dégradation qu'implique le prin-
cipe de Carnot? — 193. Seconde cause d'après laquelle les nébuleuses ne
s'échauflent pas quand los soleils leur envoient de la chaleur .... 289

CHAPITRE XII.

LA VOIE LACTLE ET LA THÉOIUE DES GAZ.

194. Comparaison de l'ensemble de la Voie lactée avec une masse gazeuse
— 190. Dimensions de la Noie lactée, nombre de ses étoiles — ig6. Le
gaz auquel il convient de comparer la Voie lactée est monoatomique —
197. La Voie lactée est plutôt comparable à la matière radiante de
Crookes qu'à un véritable gaz — 198. Causes possibles de l'aplatissement
de la Voie lactée — 199. Les deux essaims d'étoiles de M. Kapteyn —
300. Les trois essaims d'étoiles de Schl\^i'arelli

CHAPITRE XII [.

FORMATION DES NÉBULEUSES SPIRALES d'aPRÈS M. SEE.

201. Formation d'une nébuleuse spirale par la rencontre de deux nuages
cosmiques. Nébuleuse annulaire de la Lvre — 202. Les nébuleuses s[)i-
rales seraient formées dun très grand nombre d'astres de très petites
dimensions 267

200 HYPOTHESES COSMOGOMQUES

CHAPITRE XIV.

HYPOTHÈSE DE M. É. DELOT.

2o3. Le système solaire serait dû au clioc d'un lube-tourbillon contre un
nuage cosmique amorphe — 3o4. Profil des nappes tourbillonnaires —
2o5. Formule qui, dans la période de formation du système, correspond
à la troisième loi de Kepler — 206. Loi exponentielle des distances pla-
nétaires — 207. Condition pour que toutes les nappes arrivent simulta-
nément dans le {)lan de l'écliptique — 208. ^laissance des planètes aux
dépens des nappes tourbillonnaires — 20g. Loi des inclinaisons des axes
de rotation des planètes — 210. Loi des rotations. Formation des dilTé-
rents systèmes sidéraux — 211, Conclusion

P^îes

INDEX ALPHABETIQUE.

A.

Âdiabatique — Dislribulion adiabalique des rotations dans une masse fluide
tournant autour d'un axe, 3i, 33 — Equilibre âdiabatique d'un gaz parfait,
32 1 et suiv.

Age du ravonnement solaire, d'après Helmuoi.tz et Lord Kelvin-, aoo, 202 —
Age relatif de la Terre et du Soleil, d'après Faye, 73.

Andromède (Nébuleuse d') Sa parallaxe d'après M. Bohlin, 2O9.

Anneaux de Lvplace, 9, 10, 11, 17, 18, 23, a'i — Leur instabilité, ^9 — Temps
nécessaire h leur transformation en planètes, ()5.

Anneaux de Saturne — Leur formation d'après ]va>'t. 5 — Diverses bypotlièscs
sur leur constitution. 35, 36 — Travaux de Maxwell, 36 à 44 — Limite supé-
rieure et limite inférieure de la densité d'un anneau fluide, /|i à 48 — Opinion
de Roche, 63, 64 — Faible distance de l'anneau intérieur à la planète, 66.

Anneaux intérieurs de Roche, 27, 66.

Aplatissement de la néi)uleuse de M. du Ligondès, 86 à 89.

ARRHENIUS (SVANTE), 208 — Tbéorie de M. Aurhe.mus, 289 à 206.

Aurores polaires, 247.

B.

BALMER, 232.

BARTOLI, 24i.

BELOPOLSKY, 180.

BELOT — Hypothèse de M. E. Belot, 271 à 279.

BODE (Loi de). 26, 276, 277.

BOHLIN, 269.

Boréales (Aurores), 247.

BOSLER (J.), 193.

BRILLOUIN -\L), 193.

BRUNHES (B.), 256.

BUFFON, 6, 8.

G.

Canoniques (Equations), 98, io5, i55 — (Variables), io4, i55.
Capture des planètes par le Soleil d'après M. See, 120 — des satellites par les-
planètes, d'après ^L See, 126 à 128.

Poing ARE. '9

2()0 HYPOTHESES COSMOGONIQUES

CARNOT (Principe de), 2, 90, i35, 242, 25i à 256.

CASSINI, 6, 35.

Chaleur solaire et chaleur terrestre, leur origine, 191 à 227.

Chaleur spécifique du Soleil, 202 à 208 — d'un gaz parfait en équilibre adiaba-

tique, 223 à 226.
Chaos primitif, d'après K.vnt, i — d'après M. du Ligoxdès, 83.
Charge électrique positive du Soleil, 246.
Cinétique (Théorie) — Voir Gaz.
CLAUSIUS, 90, 92, 25i, 206.
Comètes, G, 12, 74 — Leurs queues, 244-

Concentration de la nébuleuse de M. du Ligondès par suite des chocs, 86, 94.
Condensation centrale de la néliuleuse de Lapla.ce, 18 et suiv.
Constante solaire, 191.

Contraction d'une sphère gravitante homogène, 198.
Courants d'étoiles, 264, 265.
Couronne solaire, 245.
CROOKES, 261.
CURIE (P.), 220.

DARWIN, 52 — Théorie de Sir G. -H. Darwin, i3i à 189.

DELAMBRE. i3.

DELAUNAY, i32, i33, 172.

Démons de Maxwell, 253, 255.

Densité d'un anneau fluide, limite supérieure et limite inférieure, 4i à 48.

Déperdition de la chaleur solaire, 191, 192.

DESCARTES, 1.

Diane, i5G.

Discontinuité de la formation des anneaux de Laplace, 23 et suiv.

Dissociation des matières à l'intérieur du Soleil, 207.

Dissociation des éléments, d'après Sir N. Lock-ïer, 23o.

Distances initiales des planètes au Soleil, d'après Faye, 81.

Distances maxima des satellites aux planètes, d'après Roche, 62.

Distribution adiabatique des rotations dans une masse fluide tournant autour d'un

axe, 3i, 33.
DOPPLER, 196.

E.

Elasticité virtuelle des tourbillons, 271.

Entropie des soleils et des nébuleuses, 262.

Equilibre d'une masse fluide (Figures d'), 53 à 61, i84 à 188.

Equilibre adiabatique d'un gaz parfait, 221.

Essaims d'étoiles, 264, 265.

Etoiles — Leur classification d'après Sir N. Lockyer, 23 i — Leur température.

23 1, 232 — Leur évolutioH d'après M. Schuster, 236 — Courants d'éloile>,

264, 265.
EULER, 3i, 202.

INDEX ALPII.VIILTIQLE SQI-

FARENHEIT, 172.

PAYE (HERVÉ), 30, 83, ii5, i/n, 277 — Ilypolliùse de II. Faye, (uj à 82.
Figures créquilibre d'une masse fluide, 53 à (Ji, i84 à 188.
FIZEAU, 196.
Fonctions de F.vmé, 187.

Force centrale variable avec le temps, 71, 76 à 80.
Formation successive des anneaux de Laplace, 23.
FOUCHÉ M. , 20, 21.
FOURIER, 210, 21 5.
FRESNEL, ïSij, 2^0.

Frottement, sa faible influence dans le cas de grands volnnics lliiiilcs, 28
Frottement des marées, ses en"ets d'après Sir (î.-H. Dauwix, i3i à 180.

GAY-LUSSAC, 92.

Gaz — Théorie cinétique, 8g et suiv. — Théorème du viriel, 90 à (j'i — Loi de
répartition des vitesses des molécules, 96 à 1 10 — Equilibre adiabaliqiie d'un
gaz parfait, 221.

GREEN, 22.

HAMILTON, 98, io5, i55.

HELMHOLTZ, 28, 29, 73, 197, 198, 202, 207, 209, 220.

HIRN, 36, ',5.

J.

JACOBI — Ellipsoïde de Jacobi, 58, i84 à 188, 263 — Intégrale de .lAcobi dans

le problème restreint des trois corps, 127, 128.
JOLY, 219.

KANT (EMMANUEL), 7, 83, 8:1, 90 — Hvpotlièse de Kant, i à 6.

KAPTEYN, 264, 265.

KELVIN (Lord), 73, i83, 193, 196, 197, 209, 210, 212, 2i3, 217, 218, 220, 2^5,

240, 2'j8, 207, 271.
KEPLER, 4, 6, 10, 49, 5i, 64, 85, 118, i65, 194, 276.
KIRKWOOD, 65, 66.

292 HYPOTHÈSES COSMOGONIQLES

LAMÉ, 187.

LANE (HOMER), 231, 206.

LAPLACE, o, 71, 7;J, 82, 83, 182, i8.\, 19!) — Ilypolhùse de Lai>lmje, 7 à i4 —

Analyse de Ihypothèse de Laplace, i5 à G7.
LEBONfE.i. 189.
LÉVY fMAURICÈ), l^2, iGo.
LIAPOUNOFF, 189.

LIGONDÈS (R. DU), 2 — lljpothèso de M. du Ligondès, 83 à ii5.
LISSAJOUS, 87.

LOCKYER (Sir NORMAN), 235, 236 -- Théorie de Sir N. Lockyek, 229 à 200.
LOEWY(M.), 217.
Loi de Maxwell pour la répartition des vitesses dans la tiiéorie cinétique des

gaz, 107, 109.
LUGOL (P.), 193.
Lumière — Pression de radiation de ia lumière, 239 à 2/)3 — Liimiùrc zodiacale,

12.

Lune — Egalité des durées de rotation et de révolution, 12, i3, 179 — Augmen-
tation du grand axe de son orbite par l'effet du frottement des marées, i3i,
'67 — Accélération séculaire de son moyen mouvement, i32, 172 — Variation
de Texcentricité de son orbite par l'effet du frottement des marées, 167 — Va-
riation de l'inclinaison de son orbite sur l'équateur, 170 -■- Origine possible de
la Lune d'après Sir G. -H. Darwin, i84 à 189.

Lyre (Nébuleuse annulaire de la), 70. 268.

M.

MAC-LAURIN (Ellipsoïde de), 58, i84 à 188, 263.

Marées internes : elles sont la cause de la rotation directe des planètes, 5i —
Leur inilucnce sur la rotation de la Terre et sur les éléments de l'orbite de la
Lune, i3r à 172 — Théorie statique des marées, i/|2 et suiv.

MARIOTTE. 92, 202.

Matière radiante, 261, 2G2.

MAXWELL, 36, 87, 39, !\i, 44, 45, 95, loi, 107, 109. 1 10, m, 11 3, 239, 2 03,
205, 262, 2G4.

MAYER (ROBERT), 193.

Mort calorifique, 25i.

Mutations, 209.

N.

Nappes lourbillonnaires dans l'Inpothèse de M. E. 15elot, leur profil, 27'], 275.

NAVIER, 28.

Nébuleuse de Laplace, 8, 9 — Ses surfaces de niveau, i5, iG — Sa forte con-
densation centrale, 18 — ■Nébuleuse de Paye, 69 — Les nébuleuses d'après
M. AuRHEMLs, i47 et suiv. — Formation des nébuleuses spirales et des nébu-
leuses annulaires, d'après M. See, 267, 268.

NEWTON, I, 2. 78, 257.

NORDMANN (Ch.), 233. 333.

Novae, 249, 35o, 25i, 271.

iM)i;x ali'u\ui:tiqle

393

€LBERS, II.

Origine <lo la clialeur solaire et de la clialcur Icrrcslre, iiji à UJ"].

P.

Phobos, satellite de Mars, (iti.

Piriforme l'iiiure d'équilibre d'une masse lluide, 188, i8(j.

Planètes — Leur formalioii aux dépens des aiuieaux de Laplace, '19 — Leur

rotation directe, Tii.
P0INCARÉ(1I.), 37, 45, l4a, i")."S, i(io. i8(|, u^, 2J7.
POISSON, aa, aïo.
Postulat de Maxwell, 101.
POUILLET. 19 f.

Pression de radiation, aoij à 243.
Probabilités, 96, 99.

PUISEUX P.). 217.

'Queues des comètes, a'i'i.

Q

R.

Badioactivité, 20(|. 220.

Ralentissement de la rotation terrestre par l'elTct du frottement des marées, i3i,

Refroidissement tie la Terre — Son iniluence accélératrice sur la rotation ter-
restre. 180 et suiv. — Calculs de M. Rudzki, 218, 219.

Résistance de milieu, 89, 90, 117 à i25.

Rigidité i,'vrostalique, 271.

ROCHE E.). i5, 18, 25, 27, 28, 33, 54, (5i, 62, 63, 64, 66.

Rotation directe des planètes, sa cause, 5i — Rotation uniforme de la nébuleuse
de Lm>l\ce, 28 à 35.

RUDZKI, 218. 2i(|.

Satellites de Jupiter, i3, i4, 09 — Satellites de Mars, GG — Satellites à révolu-
tion rétrograde, G7, 7Ô.

Saturne (Anneaux de^ — ^ oir Anneaux.

SCHIAPARELLI, i83. 260.

SCHUSTER (A.) (Théorie de). 235 à 237.

SEE T.J.-J. Hvpolhèse de), 117 à ia(, — Formation des nébuleuses sp'ralpS
d'après M. See, 267 à 269.

2q4 hypotueses gosmogoniques

Serre chaude (Théorie de la), 235.

Soleil — Origine de sa clialeur, 191 à 209, 220 — Hypothèse chimique, ig3 —
Hypothèse météorique, 198 — Hypothèse de Helmiioltz, 197 — Chaleur spéci-
fique du Soleil, 202 à 208 — Sa température, 208 — Sa charge électrique
positive, 2/16.

Spectres des étoiles, 229, 235.

Stabilité de l'anneau de Saturne et des anneaux de Laplace, 35 et suiv. — des
figures d'équilibre d'une niasse fluide, 188.

STEFAN, 241.

Surfaces de niveau, de la nébuleuse de Laplace i5, 16 — dans une masse tluide
tournant autour d'un axe, 82.

T.

Température du Soleil, 208 — des étoiles, 281, 282.

Terre — Ralentissement de son mouvement de rotation par l'efTet du frottement
des marées, i3r, 167 — Influence accélératrice du refroidissement, 180 —
Influence retardatrice de la pluie météorique, iS4 — Origine de la chaleur ter-
restre, refroidissement de la Terre, 209 à 220.

Théorie cinétique, voir Gaz.

THOMSON (J.-J.), 271.

THOMSON (W.), voir KELVIN (Lord).

TISSERAND, 87, 54.

Tourbillons — Leur rôle cosmogonique d'après M. E. Belot, 271 et suiv.

V.

Viriel (Théorème du), 90 à 94.

Vitesses des molécules gazeuses dans la théorie cinétique, loi de Maxwell, 90,

107, 110.
Voie Lactée (La) et la théorie des gaz, 257 à 2G5.
VRIES (DE), 209.

W.

WAALS (VAN DER), 92.
Wàrmetod, 201,
WILSON, 24fi.
WOLF (C), I, i3i.

Zodiacale (Lumière), 12.

9.

•SAINT-AMAND (cHER). — IMPRIMKRIE BUSSIÈRE.

ERRATA

Paçie 96, noie (') : au lieu do : (Cli. vui, n' J71).
lire : (CI), viii, n' 168).

Pane 26a, linne i/j ; au lieu de : •

•^ ^ 1 000

lire : -7 -•

10 000

294

HYPOTHESES COSMOr.oNIQUES

Serre chaude (Théorie de la), 235.

Soleil — Origine de sa chaleur, 191 à 309, 220 — Hypothèse chimique, igS —
Hypothèse météorique, igS — Hypothèse de Helmiioltz, 197 — Chaleur spéci-
fique du Soleil, 202 à 208 — Sa température, 208 — Sa charge électrique
positive, 246.

Spectres des étoiles, 229, 235.

Stabilité de l'anneau de Saturne et des anneaux de Laplace, 35 et suiv. — des
figures d'équilibre d'une masse fluide, 188.

STEFAN, 241.

Surfaces de niveau, de la nébuleuse de Laplace i5, lO — dans une masse lluide
tournant autour d'un axe, 82.

Température du Soleil, 208 — des étoiles, a3i, 282.

Terre — Ralentissement de son mouvement de rotation par l'elTet du frottement
des marées, 181, 1G7 — Influence accélératrice du refroidissement, 180 —
Influence retardatrice de la pluie météorique, i84 — Origine de la chaleur ter-
restre, refroidissement de la Terre, 209 à 220.

Théorie cinétique, voir Gaz.

THOMSON (J.-J.), 271.

THOMSON (W.), voir KELVIN (Lord).

TISSERAND, 87, 54.

Tourbillons — Leur nMe cosmogonique d'après M. E. Belot, 271 et suiv.

V.

Viriel (Théorème du), 90 à 94.

Vitesses des molécules gazeuses dans la théorie cinétique, loi de Maxwell, 90,

107, 110.
Voie Lactée (La) et la théorie des gaz, 257 à 2G5.
VRIES (DE), 209.

«AINT-AMAND (CHER). — IMPRIMERIE BUSSIÈRE.

^,ù

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